2020-2021学年江苏省徐州市邳州市运河中学普通班高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省徐州市邳州市运河中学普通班高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）在中，已知，则角的大小为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知，且为锐角，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）欧拉公式是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数和指数函数、三角函数紧密相联，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．当时，就有，根据上述背景知识，复数的虚部为　　

A．1 B． C． D．

5．（5分）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，，

6．（5分）、分别是复数、在复平面内对应的点，是原点，若，则三角形一定是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

7．（5分）函数，则下列结论正确的是　　

A．的最大值为1 

B．的图象关于点对称 

C．在上单调递增 

D．的图象关于直线对称

8．（5分）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为　　（参考数据：

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知向量，，，则　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为的反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，正确的是　　

A． B． 

C． D．在上的投影向量为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知复数满足，为虚数单位，则复数　　．

14．（5分）若，则　　．

15．（5分）中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为　　．

16．（5分）邳州市艾山九龙景区标志性建筑物鼎，距今已有多年的历史．它是每一位到邳州旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集多面体于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算该鼎的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶，该鼎顶的仰角分别是和，在楼顶处测得该鼎顶的仰角为，则小明估算该标志性建筑物的高度为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）若复数，是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．

18．（12分）如图，三个全等的矩形相接，且，．

（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

19．（12分）如图，在中，是边的中点，，和交于点，设，．

（1）用和表示向量，；

（2）若，求实数的值．

20．（12分）的面积为，，，的对边分别为，，且，﹣___．

（1）求；

（2）若，求．

从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

21．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，向量与垂直．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

22．（12分）如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点、在半径、上，且，，求花圃面积的最大值．

2020-2021学年江苏省徐州市邳州市运河中学普通班高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】已知等式利用正弦定理化简，求出三边之比，设出三边长，利用余弦定理表示出，将表示出的三边长代入求出的值，即可确定出的度数．

【解答】解：在中，已知，

，

设，，，，

由余弦定理得：，

因为为三角形内角，

则，

故选：．

2．【分析】根据，，三点共线，得到，即可求解结论．

【解答】解：，，，

，，三点共线，，即，

，解得．

故选：．

3．【分析】由已知结合同角基本关系及两角和的余弦公式即可直接求解．

【解答】解：因为，且为锐角，

所以，

则．

故选：．

4．【分析】利用欧拉公式，化简求解复数，推出虚部即可．

【解答】解：因为，

所以复数．

所以复数的虚部为1．

故选：．

5．【分析】利用向量夹角为钝角，得到数量积小于0并且排除反向的情况．

【解答】解：因为向量，，若与的夹角为钝角，

并且，即且，解得且；

故选：．

6．【分析】利用复数的几何意义，结合向量的性质进行判断即可．

【解答】解：设复数、在复平面内对应的向量为，，

则由，得，，

则向量，为邻边的平行四边形为矩形，

则角形一定是直角三角形，

故选：．

7．【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后判断选项的正误即可．

【解答】解：函数，

所以的最大值为2，所以不正确；

时，，所以的图象关于点对称，所以不正确；

由，可得，时，函数是增函数，所以函数在上单调递增，所以正确；

时，，所以的图象关于点对称，所以的图象不关于直线对称，所以不正确．

故选：．

8．【分析】由题意，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可．

【解答】解：设的外接圆半径为，则，，

又月牙内弧所对的圆心角为，内弧的弧长，

弓形的面积为，

以为直径的半圆的面积为，

则该月牙形的面积为，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，得出结论．

【解答】解：向量，，，

，不平行，故排除；

，，，故，故正确；

，故不正确；

，故正确，

故选：．

10．【分析】直接利用三角函数关系式中倍角公式和诱导公式的变换求出结果．

【解答】解：对于，故正确；

对于，故错误；

对于，故正确；

对于，故错误；

故选：．

11．【分析】由虚数与实数不能比较大小判定；设，则，然后逐一核对即可．

【解答】解：由虚数与实数不能比较大小判定错误；

设，则，

则，，

，故正确；

，故正确；

，

若，则，故错误．

故选：．

12．【分析】利用已知题意以及向量模，投影向量的求法对应各个选项逐个求解即可．

【解答】解：选项：因为，则，故正确，

选项，故正确，

选项，故错误，

选项：设在上的投影向量为，则，

因为，

所以，则，故正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【解答】解：，，

．

故答案为：．

14．【分析】由题意利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．

【解答】解：若，则，

故答案为：．

15．【分析】因为点在线段上，则由向量共线定理可设：，，然后根据平面向量基本定理表示出向量

，由此求出，，然后根据基本不等式即可求解．

【解答】解：因为点在线段上，则由向量共线定理可设：，

因为

，

所以，则

，

当且仅当，即时取等号，

此时的最小值为9，

故答案为：9．

16．【分析】中求得，在中运用正弦定理求得，解求得的值．

【解答】解：在中，．

在中，，，

所以，

由正弦定理，，

故，

在中，．

所以小明估算该标志性建筑物的高度为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【分析】（1）由实部为0且虚部不为0求解的值；

（2）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．

【解答】解：（1）是纯虚数，，解得，，

的值为；

（2）在复平面内对应的点在第二象限，，

解得，，

的取值范围是．

18．【分析】（1）由已知先求出，，然后结合两角和的正切公式即可求解；

（2）由已知，结合两角和的正切公式展开即可求解．

【解答】解：（1）如图，若，则，

所以，

，

（2）由图可得，，

因为，所以

即，

化简得，，所以，

所以的值为1

19．【分析】（1）根据平面向量加减运算的三角形法则进行表示；

（2）设，用表示出，求出的值．

【解答】解：（1）；

．

（2）设，

则，

又，

，

解得．

20．【分析】（1）根据条件可得出，然后可求出，从而求出；

（2）若选①，根据余弦定理即可求出的值；若选②根据正弦定理即可求出的值；若选③，根据余弦定理即可求出的值．

【解答】解：（1）在中，，

，即，且，

；

（2）若选①：则在中，由余弦定理，得，解得或（舍去），；

若选②：，则，

由正弦定理，得，解得；

若选③：，由余弦定理得，，解得或（舍去），．

21．【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算，正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合范围，可得的值．

（2）由（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，进而根据正切函数的性质即可求解其范围．

【解答】解：（1）因为向量与垂直，

所以，

在中，由正弦定理得，，

所以，

化简得，，即，

又因为，，

所以，

又因为，

所以．

（2）由（1）可知，

因为是锐角三角形，

所以，

所以，

所以，

所以

所以的取值范围为．

22．【分析】（1）由已知可得，又，设，，利用正弦定理求得，，作和后利用三角函数求最值；

（2）由已知结合余弦定理求解的最大值，代入三角形面积公式求解．

【解答】解：（1），，，

又，设，，

在中，由正弦定理可知，，

，，

的周长，．

化简得．

时，的周长有最大值为米．

答：周长的最大值为米；

（2）图2中与图1中面积相等，

而在中，，，，

．

由余弦定理知，，

，

，当且仅当时取“”．

平方米．

答：花圃面积的最大值为平方米，此时米．

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日期：2022/3/11 19:17:45；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367