2024年新高考数学一轮复习 第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

课时跟踪检测(二十六) 同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、全员必做题

1．cos＋sin＝(　 )

A．－2cos x  B．0

C．－2sin x  D.cos x－sin x

解析：选A　cos(π－x)＋sin＝－cos x－cos x＝－2cos x.

2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　 )

A．－2  B．2  C．±2  D.

解析：选B　tan θ＋＝＋＝＝2.

3．(2023·石家庄模拟)已知sin α＋cos α＝，则sin 2α 等于(　 )

A．－  B．  C．－  D.

解析：选D　sin α＋cos α＝两边平方得，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.

4．(2023·葫芦岛模拟)若＝，则tan θ＝(　 )

A.  B．－  C．－3  D.3

解析：选C　＝＝，分子分母同除以cos θ，得＝，解得tan θ＝－3.

5．(2023·全国高三专题练习)已知cos＋3cos(α－π)＝0，则＝(　 )

A.  B．－  C.  D.－

解析：选D　因为cos＋3cos(α－π)＝0，所以－sin α－3cos α＝0，所以tan α＝－3，＝＝sin αcos α＝＝－.

6．(2023·济南模拟)(多选)下列结论正确的有(　 )

A．sin＝cos

B．cos＋sin＝0

C．sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)＝1

D．sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)＝1

解析：选ABD　sin＝sin＝cos＝cos，故A正确；因为cos＝－sin＝－sin＝－sin，所以cos＋sin＝0，故B正确；因为sin(15°－α)＝sin＝cos(75°＋α)，所以sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)＝2cos2(75°＋α)≠1，故C错误；sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)＝cos2(75°＋α)＋sin2(75°＋α)＝1，故D正确．

7．sincostan的值是______．

解析：原式＝sincostan

＝＝××(－)＝－.

答案：－

8．已知角θ的终边过点A(4，a)，且sin(θ－π)＝，则tan θ＝________.

解析：sin(θ－π)＝－sin θ＝，sin θ＝－<0，由于角θ的终边过点A(4，a)，所以θ在第四象限，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝＝－.

答案：－

9．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．

解析：∵cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＋＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.

答案：0

10．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则＝________.

解析：由题设知，f(x)过定点P(2,3)，故tan α＝，所以

＝

＝＝－＝－＝－.

答案：－

11．已知cos α－sin α＝，α∈.

(1)求sin αcos α的值；

(2)求的值．

解：(1)∵cos α－sin α＝，α∈，平方可得1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝.

(2)sin α＋cos α＝＝＝，∴＝＝

＝(cos α＋sin α)＝.

12．(2023·吉林高三阶段练习)已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，P(－2，m)是角α终边上一点，且sin α＝.

(1)求m的值；

(2)求的值．

解：(1)∵sin α＝＝，

又P(－2，m)是角α终边上一点，

∴α是第二象限角，∴m>0，解得m＝1.

(2)tan α＝＝－，

＝＝

＝＝＝－.

二、重点选做题

1．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　 )

A.  B．  C.  D.

解析：选A　因为tan 2α＝＝，所以cos α－＝2(2－sin α)，即＝，所以sin α＝.又α∈，所以cos α＝，所以tan α＝.故选A.

2．设α，β均为锐角，且tan αcos β－sin β＝1，则(　 )

A．3α＋β＝π  B．2α＋β＝

C．3α－β＝π  D.2α－β＝

解析：选D　依题意，α，β均为锐角，且tan αcos β－sin β＝1，·cos β－sin β＝1，＝1，sin αcos β－cos αsin β＝cos α，sin(α－β)＝sin，0<α<，0<β<，－<－α<0，－<－β<0，－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，2α－β＝.

3.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________．

解析：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是，∴(cos θ－sin θ)2＝.∵cos θ>sin θ，∴cos θ－sin θ＝，又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

∴2sin θcos θ＝，∴1＋2sin θcos θ＝，

即(cos θ＋sin θ)2＝，∴cos θ＋sin θ＝，∴sin2θ－cos2θ＝－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝－.

答案：－

4．(2023·南京高三阶段练习)已知函数f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若角α终边有一点P(m，)，且cos α＝，求m的值；

(3)求函数g(x)＝2f2(x)＋f＋2的值域．

解：(1)f(α)＝＝＝cos α.

(2)∵cos α＝＝>0，则横坐标m>0，

∴m＝1.

(3)∵f(α)＝cos α，∴f(x)＝cos x，

g(x)＝2f2(x)＋f＋2

＝2cos2x＋cos＋2

＝－2sin2x＋sin x＋4＝－22＋，

∵sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝时，

g(x)max＝；

当sin x＝－1时，g(x)min＝1.∴g(x)的值域为.