2023年广东省广州市海珠区南武中学中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省广州市海珠区南武中学中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省广州市海珠区南武中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数|−2|，−1，0， 8中，最小的是(    )
A. |−2| B. 0 C. −1 D. 8
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：85，88，90，92，93，93，95则这组数据的众数和中位数分别是(    )
A. 93，92 B. 93，93 C. 95，92 D. 95，93
4. 下列运算正确的是(    )
A. 2 2− 2=1 B. (a−1)2=a2+2a+1
C. (−a2)3=−a5 D. a2⋅2a3=2a5
5. 从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是(    )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 34
6. 在下列二次根式中，x的取值范围是x>3的是(    )
A.    3−x B. x+3 C. x−3 D. 1x−3
7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于(    )
A. 23π
B. π
C. 2 33π
D. 3π
8. 已知抛物线的图象经过点(−1,10)、(2,3)、(5,10)，则这个抛物线的对称轴是(    )
A. x=6 B. x=2 C. x=4 D. x=8
9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(    )
A. 72
B. 52
C. 3
D. 4
10. 如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴(坐标原点除外)上两点A(0,7)、B(0,3)，C为x轴的正半轴(坐标原点除外)上一动点.当∠ACB取最大值时，点C的横坐标为(    )
A. 5
B. 2
C. 21
D. 21
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：3x2−9xy= ______ ．
12. 在▱ABCD中，若∠A+∠C=200°，则∠D=______．


13. 已知实数a在数轴上的对应点的位置如图，化简 (a−1)2+a= ______ ．

14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD.若BD=6，则AC=        ．

15. 反比例函数y=kx的图象经过点(m,n)，其中m、n是一元二次方程x2+x−6=0的两个根，则k= ______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG于点G，连接CG，则CG最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
解方程组：2x−y=−1x+y=7．
18. (本小题4.0分)
如图，AB=AD，AC平分∠BAD.求证：△ABC≌△ADC．

19. (本小题6.0分)
已知：P=m2−n2m2−mn÷(m+2mn+n2m).
(1)化简P；
(2)若函数y=3xm+n为反比例函数，求P的值．
20. (本小题6.0分)
为了宣传垃圾分类，普及垃圾分类知识，让学生知道更多的垃圾分类知识，学校举行了垃圾分类相关知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，抽取部分学生成绩作为样本，并将结果分为A、B、C、D四类，其中60分及以下为D类，61～80分为C类，81～99分为B类，100分为A类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题．

(1)此次抽样调查的样本容量为______ ，竞赛成绩为B类的有______ 人，扇形统计图中竞赛成绩为C类所对应的圆心角为______ °；
(2)若这次竞赛成绩为A类或B类的学生可获奖，全校共1200名学生，请估计全校获奖学生人数．
21. (本小题8.0分)
从广州到某市，可乘坐普通大巴走高速公路，也可以乘坐高铁.已知普通大巴行驶的路程是300千米，高铁行驶的路程是普通大巴的1.2倍．
(1)求高铁行驶的路程；
(2)若高铁行驶的平均速度(千米/时)是普通大巴的平均速度(千米/时)的2.4倍，且乘坐高铁所需时间比普通大巴所需时间缩短1.5小时，求高铁平均速度．
22. (本小题10.0分)
如图，已知点A(−2,−2)在双曲线y=kx上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B(1,a)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D.求线段CD的长．

23. (本小题10.0分)
如图，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为圆O的切线，切点为C．
(1)尺规作图：作∠BDC的平分线分别交AC、BC于点E、F，并求sin∠CFE的值；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，若AC=3，BC=4，求CF的长．

24. (本小题12.0分)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A(0,32)，B(2,−12)．
(1)求b的值(用含a的代数式表示)；
(2)若二次函数y=ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
(3)将线段AB向右平移2个单位得到线段AB′，若线段AB′与抛物线y1=ax2+bx+c+4a−1仅有一个交点，求a的取值范围．
25. (本小题12.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．
(1)求证：△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12，BE=4时．
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3.若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由题意知，−1<0<|−2|< 8，
故选：C．
根据实数的大小得出结论即可．
本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故A符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故D不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3.【答案】A 
【解析】解：这组数据的众数是93，中位数是92．
故选：A．
将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
本题考查了众数，中位数，掌握将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A、2 2− 2= 2，故A不符合题意；
B、(a−1)2=a2−2a+1，故B不符合题意；
C、(−a2)3=−a6，故C不符合题意；
D、a2⋅2a3=2a5，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5.【答案】C 
【解析】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出2个数的和为奇数的结果数为8，
所以取出2个数的和为奇数的概率=812=23．
故选：C．
画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出2个数的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能根据二次根式的定义得出关于x的不等式是解此题的关键，注意：形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，再求出即可．
【解答】
解：A、∵ 3−x是二次根式，
∴3−x≥0，
∴x≤3，故本选项错误；
B、∵ x+3是二次根式，
∴x+3≥0，
∴x≥−3，故本选项错误；
C、∵ x−3是二次根式，
∴x−3≥0，
∴x≥3，故本选项错误；
D、∵ 1x−3是二次根式，
∴1x−3>0，
∴x>3，故本选项正确；
故选：D．  
7.【答案】A 
【解析】解：连接OB，OC，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=2，
∴劣弧BC=60π×2180=2π3．
故选：A．
连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，得到△OBC是等边三角形，求出OB，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线的图象经过点(−1,10)、(5,10)，
∴对称轴为x=−1+52=2，
故选：B．
根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=90°，OD=OB，
∵DF=FE，
∴CF=FE=FD，
∵EC+EF+CF=18，EC=5，
∴EF+FC=13，
∴DC= DE2−EC2=12，
∴BC=CD=12，
∴BE=BC−EC=7，
∵OD=OB，DF=FE，
∴OF=12BE=72，
故选：A．
利用三角形中位线定理求出BE即可解决问题．
本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10.【答案】D 
【解析】解：如图，过A、B两点的⊙O′与x轴相切于C时，∠ACB最大，
作直径CD，连接BD，
∵⊙O′与x轴相切于C，
∴直径CD⊥OC，
∴∠BCO+∠BCD=90°，
∵CD是圆的直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠D+∠BCD=90°，
∴∠BCO=∠D，
∵∠BAC=∠D，
∴∠BCO=∠BAC，
∵∠BOC=∠AOC，
∴△OCB∽△OAC，
∴OC：AO=OB：OC，
∵A的坐标是(0,7)，B的坐标是(0,3)，
∴OB=3，OA=7，
∴OC：7=3：OC，
∴OC= 21，
∴C的横坐标是 21．
故选：D．
过A、B两点的⊙O′与x轴相切于C时，∠ACB最大，由切线的性质得到∠BCO+∠BCD=90°，由圆周角定理得到∠D+∠BCD=90°，因此∠BCO=∠D，而∠BAC=∠D，又∠BOC=∠AOC，即可证明△OCB∽△OAC，得到OC：AO=OB：OC代入有关数据，即可求出OC长，得到C的横坐标．
本题考查坐标与图形的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是明白过A、B两点的⊙O′与x轴相切于C时，∠ACB最大，由△OCB∽△OAC，求出OC的长，即可解决问题．

11.【答案】3x(x−3y) 
【解析】解：原式=3x(x−3y)．
故答案为：3x(x−3y)．
提公因式3x即可．
本题考查了提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

12.【答案】80° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，∠D=80°．
故答案为：80°．
根据平行四边形的对角相等，对边平行；可得∠A=∠C，∠A+∠D=180°，又由∠A+∠C=200°，可得∠A=100°，∠D=80°．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心．

13.【答案】1 
【解析】解：由题意可知：a<0，
则a−1<0，
(a−1)2+a
=|a−1|+a
=1−a+a
=1，
故答案为：1．
先根据数轴判断出a<0，再根据二次根式的性质进行化简即可求解．
本题主要考查了二次根式的性质和数轴，理解题意掌握二次根式的性质是解题的关键．

14.【答案】3 
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD=6，
∴∠B=∠BAD=15°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°，
又∵∠C=90°，
∴AC=12AD=3，
故答案为：3．
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=AD，根据等边对等角可得∠B=∠BAD=15°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12AD．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

15.【答案】−6 
【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+x−6=0的两个根，
∴mn=−6．
∵反比例函数y=kx的图象经过点(m,n)，
∴k=mn=−6．
故答案为：−6．
先根据m、n是一元二次方程x2+x−6=0的两个根得出mn的值，进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

16.【答案】3625 
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，连接HG延长HG交CD于点F，过点H作HE⊥CD于点E，

∵DG⊥PG，DH⊥AC，
∴∠DGP=∠DHA=90°，
∵∠DPG=∠DAC，
∴△ADH∽△PDG，
∴ADDP=DHDG，∠ADH=∠PDG，
∴∠ADP=∠HDG，
∴△ADP∽△HDG，
∴∠DHG=∠DAC=定值，
∴点G在射线HF上运动，
∴当CG⊥HF时，CG的值最小，
∴∠CGF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=CD=3，BC=AD=4，
∴∠ADH+∠HDC=90°，
∵∠DAC+∠ADH=90°，
∴∠HDC=∠DAC=∠DHG，
∴FD=HF，
∵∠FCH+∠HDC=90°，∠FHC+∠DHG=90°，∠HDC=∠DHG，
∴∠FHC=∠FCH，
∴HF=FC=FD=12CD=1.5，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC= CD2+AD2= 32+42=5，
∴DH=AD⋅CDAC=125，
∴CH= CD2−DH2=95，
∴HE=DH⋅CHCD=3625，
∵HE⊥CD，
∴∠HEF=90°，
∴∠CGF=∠HEF=90°，
∵∠CFG=∠HFE，FH=FC=1.5，
∴△CGF≌△HEF(AAS)，
∴CG=HE=3625，
∴CG的最小值为3625，
故答案为3625．
过点D作DH⊥AC于点H，连接HG延长HG交CD于点F，过点H作HE⊥CD于点E.证明△ADP∽△HDG，推出∠DHG=∠DAC=定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HF时，CG的值最小，想办法求出CG即可．
本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形解决问题．

17.【答案】解：2x−y=−1①x+y=7②，
由①+②得：3x=6，
解得：x=2，
将x=2代入②得：2+y=7，
解得：y=5，
∴原方程组的解为x=2y=5． 
【解析】根据方程组中方程的特点，运用加减消元法解答即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法．

18.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)． 
【解析】先利用角平分线的定义可得∠BAC=∠DAC，然后再利用SAS证明△ABC≌△ADC，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

19.【答案】解：(1)P=m2−n2m2−mn÷(m+2mn+n2m)
=(m+n)(m−n)m(m−n)÷m2+2mn+n2m
=m+nm÷(m+n)2m
=m+nm⋅m(m+n)2
=1m+n；

(2)∵函数y=3xm+n为反比例函数，
∴m+n=−1，
∴P=1−1=−1． 
【解析】(1)先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再关键分式的乘法法则进行计算即可；
(2)根据反比例函数的定义求出m+n=−1，再代入求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算和反比例函数的定义，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

20.【答案】200  60  162 
【解析】解：(1)样本容量=3015%=200，
竞赛成绩为B类的人数为200−30−90−20=60，
成绩为C类所对应的圆心角为90200×360°=162°，
故答案为200；60；162．
(2)1200×(15%+60200)=540(人)．
∴估计全校获奖学生大约为540人．
(1)根据条形统计图及扇形统计图可求出样本容量，A、B、C、D四类人数可知，即可解答；
(2)根据样本估计总体即可．
本题考查了条形统计图与扇形统计图，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．

21.【答案】解：(1)根据题意得：
300×1.2=360(千米)．
答：高铁行驶的路程是360千米；
(2)设普通大巴平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.4x千米/时，根据题意得：
300x−3602.4x=1.5，
解得：x=100，
经检验x=100是原方程的解，
则高铁的平均速度是100×2.4=240(千米/时)．
答：高铁的平均速度是240千米/时． 
【解析】(1)根据普通大巴行驶的路程是300千米，高铁行驶的路程是普通大巴的1.2倍，两数相乘即可得出答案；
(2)设普通大巴平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通大巴所需时间缩短1.5小时，列出分式方程，然后求解即可．
此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．

22.【答案】解：(1)将点A(−2,−2)代入y=kx，得k=4，
即y=4x，
将B(1,a)代入y=4x，得a=4，
即B(1,4)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A(−2,−2)、B(1,4)代入y=mx+n，得−2=−2m+n4=m+n，解得m=2n=2，
∴直线AB的解析式为y=2x+2；
(2)∵A(−2,−2)、B(1,4)，
∴AB= (−2−1)2+(−2−4)2=3 5，
∵S△ABC=12×AB×CD=12×BC×3，
∴CD=BC×3AB=4×33 5=4 55． 
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)利用面积法：S△ABC=12×AB×CD=12×BC×3，即可求解．

23.【答案】解：(1)如图所示，射线DE即为所求；
连接OC，
∵DC为圆O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠DOC+∠CDO=90，
∵DF平分∠CDO，
∴∠FDO=12∠CDO，
∴∠B=12∠DOC，
∴∠CFE=∠B+∠FDB=12(∠CDB+∠DOC)=45°，
∴sin∠CFE=sin45°= 22；
(2)∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠DCA+∠ACO=90°，∠OAC=∠ACO，
∴∠DCA=∠B，
∵∠CDA=∠BDC，
∴△DCA∽△DBC，
∴CDDB=ACBC=34，
∵∠ECF=90°，∠CFE=45°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴CE=CF，
∵∠DCA=∠B，∠CDF=∠BDF，
∴△DCE∽△DBF，
∴CEBF=CDDB，
∴CF4−CF=34，
∴CF=127． 
【解析】(1)根据作一个角等于已知角的作图方法即可得到结论；
(2)根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出图形是解题的关键．

24.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A(0,32)，B(2,−12)，
∴a>0c=324a+2b+c=−12，
∴b=−2a−1(a>0)．

(2)∵二次函数y=ax2−(2a+1)x+32，a>0，在1≤x≤3时，y的最大值为1，
∴x=1时，y=1或x=3时，y=1，
∴1=a−(2a+1)+32或1=9a−3(2a+1)+32，
解得a=−12(舍弃)或a=56．
∴a=56．

(3)∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，
∴A′(2,32)，B′(4,−12)，
∴直线A′B′的解析式为y=−x+72，
∵抛物线y=ax2−(2a+1)x+12+4a在2≤x≤4的范围内仅有一个交点，
∴即方程ax2−(2a+1)x+12+4a=−x+72在2≤x≤4的范围内仅有一个根，
整理得ax2−2ax+4a−3=0在2≤x≤4的范围内只有一个解，
即抛物线y=ax2−2ax+4a−3在2≤x≤4的范围内与x轴只有一个交点，

观察图象可知，x=2时，y≤0，x=4时，y≥0，
∴4a−4a+4a−3≤016a−8a+4a−3≥0，
解得，14≤a≤34，
∴14≤a≤34．
当方程ax2−(2a+1)x+12+4a=−x+72有等根时，Δ=0，
∴ax2−2ax+4a−3=0，
∴4a2−4a(4a−3)=0，
解得a=1或0(舍弃)，
当a=1时，交点的横坐标为1，不符合题意，舍弃．
∴14≤a≤34． 
【解析】(1)把A，B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．
(2)由题意，x=1或x=3时，y取得最大值1，由此构建方程求解即可．
(3)把问题转化为不等式组，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．

25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BCD=120°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD=12∠BCD=60°=∠ABC，
∵BE=CG，
∴△ABE≌△ACG(SAS)，
∴AE=AG，
∵AF平分∠EAG，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH(SAS)；

(2)①如图1，

过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，
∵AB=12，BE=4，
∴CG=4，
∴CE=DG=12−4=8，
由(1)知，△AEH≌△AGH，
∴EH=HG，
∴l△DGH=DH+GH+DG=DH+HE+8，
要是△DGH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，
在Rt△DCM中，∠DCM=180°−120°=60°，CD=AB=12，
∴CM=6，
∴DM= 3CM=6 3，
在Rt△DME中，EM=CE+CM=14，
根据勾股定理得，DE= EM2+DM2= 142+(6 3)2=4 19，
∴△DGH周长的最小值为4 19+8；

②Ⅰ、当OH与线段AE相交时，交点记作点N，如图2，连接CN，

∴点O是AC的中点，
∴S△AON=S△CON=12S△ACN，
∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，
∴S△AONS△AEC=14，
∴S△CEN=S△ACN，
∴AN=EN，
∵点O是AC的中点，
∴ON//CE，
∴AHAF=12；
Ⅱ、当OH与线段CE相交时，交点记作Q，如图3，

连接AQ，FG，∵点O是AC的中点，
∴S△AOQ=S△COQ=12S△ACQ，
∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，
∴S△COQS△ACE=14，
∴S△AEQ=S△ACQ，
∴CQ=EQ=12CE=12(12−4)=4，
∵点O是AC的中点，
∴OQ//AE，设FQ=x，
∴EF=EQ+FQ=4+x，CF=CQ−FQ=4−x，
由(1)知，AE=AG，
∵AF是∠EAG的角平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴FG=EF=4+x，
过点G作GP⊥BC交BC的延长线于P，
在Rt△CPG中，∠PCG=60°，CG=4，
∴CP=12CG=2，PG= 3CP=2 3，
∴PF=CF+CP=4−x+2=6−x，
在Rt△FPG中，根据勾股定理得，PF2+PG2=FG2，
∴(6−x)2+(2 3)2=(4+x)2，
∴x=85，
∴FQ=85，EF=4+85=285，
∵OQ//AE，
∴AHAF=EQEF=4285=57，
即AHAF的值为12或57． 
【解析】(1)先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出∠ACD=∠ABC，判断出△ABE≌△ACG，即可得出结论；
(2)①先判断出EH+DH最小时，△DGH的周长最小，在Rt△DCM中，求出CM=6，DM=6 3，在Rt△DME中，根据勾股定理得，DE=4 19，即可得出结论；
②分两种情况：Ⅰ、当OH与线段AE相交时，判断出点N是AE的中点，即可得出结论；
Ⅱ、当OH与CE相交时，判断出点Q是CE的中点，再构造直角三角形，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，判断出点N是AE的中点和点Q是CE的中点是解本题的关键．