1.5-根与系数的关系-2023年升初三人教版暑假衔接教材

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❊1.5 根与系数的关系
考点先知

知 识
考 点
根与系数的关系
1.利用根与系数的关系求根
2.利用韦达定理判断根的正负
3.利用韦达定理求代数式的值
4.根据代数式的值求参数的值
5.韦达定理在三角形中的应用

代根法
6.代根发与韦达定理的应用
7.构造方程求代数式的值
题型精析

知识点一 根与系数的关系


内容
根与系数的关系的推导
由求根公式可得：，，
1.；
2..
【注意】韦达定理的使用前提是△≥0.
题型一 利用韦达定理求方程的根

例1

已知关于x的方程有一个根为-2，则另一个根为（ ）
A．5
B．2
C．-1
D．-5
【答案】C
【分析】根据关于x的方程有一个根为，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】∵关于x的方程有一个根为，设另一个根为m，
∴，
解得，，
故选C．
例2

已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值
设方程的另一个根为，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴方程的另一个根为，的值为1．
变1
若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一根.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+3=0，
解得：b=4，
把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0，
设另一根为m，可得1+m=4，
解得：m=3，
则b的值为4，方程另一根为x=3.
变2
若是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】解：∵x=3+7 是此方程的一个根，设另一个解为 x2
则 x1+x2=6 ，
∴x2=3−7 ，即方程的另一个根为 3−7
∵x1x2=c
∴c=(3+7)(3−7)=2 .
题型二 利用韦达定理判断根的正负

例1

一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5
D．有两个正根，且有一根大于4
【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．
【解答】解：，
△，
方程有两个不相等的实数根；
设方程的两个根为，
则：，，
方程的有一个正根，一个负根；
故选：．
例2

关于的方程为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根
B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根
D．无实数根
【分析】先计算根的判别式的值得到△，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为，，利用根与系数的关系得，，根据有理数的性质得到、的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：方程化为一般式为，
△，
方程有两个不相等的实数解，
设方程的两个分别为，，
根据根与系数的关系得，，
方程有一个正根和一个负根．
故选：．
变1
关于的一元二次方程有（ ）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根
D．一个正数根和一个负数根
【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．
【解答】解：，
△，
所以方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为、，则，则和异号，
即方程有一个正数根和一个负数根，
故选：．
变2
关于的方程为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为，，利用根与系数的关系表示出与，判断即可．
【解答】解：设方程两根设为，，
方程整理得：，
由根与系数的关系得：，，
则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．
故选：．
例3

一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（ ）
A．a，c异号
B．a，c异号；a，b同号
C．a，c异号；b，c同号
D．b，c异号
【答案】B
【分析】设一元二次方程的两根为，根据根与系数的关键得到，再根据题意有，由此即可得到答案．
【详解】解：设一元二次方程的两根为，
∴，
∵一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大，
∴，
∴a，c异号；a，b同号，
故选B．
变3
一元二次方程中，若，，，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有两个正的实数根
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况．
【解答】解：，，，
，
△，
方程有两个不相等的实数根，
．
两根异号，
故选：．
例4

若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：，
，
由△，
，
，
故选：．
变4
若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用根的判别式△及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，
，
解得：，
实数的取值范围是．
故选：．
知识点二 韦达定理与代数式


内容
代数式变形的目的
将代数式变形为含有与的形式，以便于能够利用韦达定理求代数式的值.
常见的代数式的变形
1.；
2.；
3.；
4.；
5.；
6.；
7.；
8..
题型三 利用韦达定理求代数式的值

例1

已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1）
（2）


（3）
（4）



（5）
（6）


（7）
（8）



【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)7
(6)5
(7)3
(8)7

【分析】根据的两根之和为，两根之积为，本题中的a为1，b为﹣3，c为1解答即可．
∵，是方程的两个实数根，
∴，．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
变1
已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1）
（2）



（3）
（4）



（5）




例2

一元二次方程x2+4x+1=0的两个根是x1，x2，则的值为______．（其中x2＞x1）
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣4，x1x2=1，再通过通分和完全平方公式变形得到x2x1−x1x2=(x1+x2)(x2+x1)2−4x1x2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣4，x1x2=1，
所以x2x1−x1x2=x22−x12x1x2
=(x1+x2)(x2−x1)x1x2
=(x1+x2)(x2+x1)2−4x1x2x1x2
=−4×(−4)2−4×11
=﹣83．
故答案为﹣83
例3

已知方程，记两根为，求的值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，先根据二次根式的性质将化为，再利用完全平方公式变形，最后将代入计算即可．
【详解】解：∵方程的两根是、
∴，
∵，
∴





．
故选：C．
变2
已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】16
【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，
所以．
故答案为：16．
变3
已知：m、n是方程的两根，则______．
【答案】0
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得m2−m−2=0,n2−n−2=0,m+n=1,mn=−2，从而得到m2−1=m+1,n2−1=n+1，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m、n是方程x2−x−2=0 的两根，
∴m2−m−2=0,n2−n−2=0,m+n=1,mn=−2，
∴m2−1=m+1,n2−1=n+1，
∴m2−1n2−1
=m+1n+1
=mn+m+n+1
=−2+1+1
=0
故答案为：0
变4
已知a、b是方程2x2+5x+1=0的两实数根，则式子的值为______．
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b=−52，a•b=12，进而可得出a＜0，b＜0，再将a+b=−52，a•b=12代入aab+bba=−(a+b)2+2abab中即可求出结论．
【解答】解：∵a、b是方程2x2+5x+1=0的两实数根，
∴a+b=−52，a•b=12，
∴a＜0，b＜0，
∴aab+bba=aa⋅aa⋅b+bb⋅ba⋅b=−a2−b2ab=−(a+b)2+2abab=−(−52)2+2×1212=−2124．
故答案为：−2124．
题型四 根据代数式的值求参数的值

例1

已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则k的值为______．
【分析】该一元二次方程含有参数，所以务必要计算△.
【解答】
（注意：可以不用解出来）
∵
∴
将，代入得：
，解得，.
再将的值带入△，判断是否满足△≥0即可.
【答案】1
【解析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）=8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣（3k+1），x1x2=2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）=8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1=8k2，
∴2k2+1+3k+1+1=8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1=0，
解得：k1=﹣，k2=1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的两个不相等实数根，
∴△=（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k=1．
例2

已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，使得成立，则k的值______．
【分析】根据判别式的意义得到△=（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2=﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤14，
由根与系数的关系得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1•x2=﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15=0，
解得k1=5（舍去），k2=﹣3．
∴k=﹣3，
故答案为﹣3．
变1
已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为7，那么m的值是______．
【解答】_________________________（注意：可以不用解出来）
______；______；
由题意得：_____________________=7；
代入韦达定理得：_____________________=7；
解得：_________；
再将m的值代入△，满足△≥0即可得出正确答案.
【答案】
【分析】由方程一元二次方程有两个实数根，可得，然后把两个实数根的平方和变形为两根之积或两根之和的形式，根据这两种情况确定m的值即可．
【详解】解：∵有两个实数根，
设原方程的两个实数根为a、b，则，，
，


又，
，
解得：或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
，
故答案为：．
变2
已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为______．
【解答】_________________________（注意：可以不用解出来）
______；______；
由题意得：_____________________=3；
代入韦达定理得：_____________________=3；
解得：_________；
再将m的值代入△，满足△≥0即可得出正确答案.
【答案】-3
【分析】先根据根的判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得到，，接着利用得到，所以，然后解关于的方程，从而得到满足条件的的值．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∵方程的两实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理得，
解得，，
∵，
∴．
故选：A．
例3

已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据根的判别式，即可判断．
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到m的值．
【详解】（1）
∴方程总有两个实数根．
（2）∵方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知：，
∵，
∴联立得，
解得
∴，
∴．
变3
已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【详解】（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴

解得：，
∴，
∴，
即．
例4

已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）设为方程的两个实数根，且满足，试求出k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k的值为或

【分析】（1）将原方程改为一元二次方程的一般形式，再求出其根的判别式的值即可判断；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将变形为，最后代入，解出k的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程，无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）解：∵为方程的两个实数根，
∴，．
∵
∴，
∴
∴．
将，代入，得：，
解得：，
∴k的值为或．
例5

已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，据此建立关于的不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
（2）解：原方程的两个实数根为、，
，，
，
，，
，，
，
，
即，
解得：．
变4
已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，且，求m的值．
【答案】见解析。
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1﹣x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）=0有实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1.x2，
∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=42，即32﹣16m=16，
解得：m=1．
变5
已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】(1)
(2)k的值为．

【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，由得到，把已知条件去绝对值后利用整体代入得到，然后解关于k的一元二次方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：根据题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，
∵，
∴k的值为．
题型五 韦达定理与三角形

例1

已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为、，则、为方程的两个根，
根据根与系数的关系得，，
所以斜边长为．
故选：．
变2
直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
【解答】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与．
直角三角形两直角边是方程的两根，
，．
根据勾股定理可得：，
．
故选：．
例2

若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则的值为（ ）
A．32
B．36
C．32或36
D．不存在
【分析】等腰三角形一边为4，有两种情况，腰为4 或者底为4，分开讨论．
【解答】解：利用一元二次方程的根与系数的关系得，，
若，则，不成立（根据三角形两边之和大于第三边），
所以，
则，
故选：．
变2
已知是关于的一元二次方程的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（　　）
A．-4
B．8
C．-4或-8
D．4或-8
【答案】C
【分析】利用根与系数的关系可求出a+b=6，结合等腰三角形的性质可得出a=b=3或a,b两数分别为1，5，再利用两根之积等于-n+1，即可求出n值．
【解答】解：∵a,b是关于x的一元二次方程x2-6x-n+1=0的两根，
∴a+b=6．
又∵等腰三角形边长分别为a,b,5，
∴a=b=3或a,b两数分别为1，5．
当a=b=3时，-n+1=3×3，解得：n=-8；
当a,b两数分别为1，5时，-n+1=1×5，解得：n=-4．
故选：C．
例3

关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）在直角三角形中，，斜边，两直角边的长恰好是方程的两根，求的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于即可得证；
（2）根据勾股定理得到，利用完全平方公式变形后，把各自的值代入计算即可求出的值．
【解答】（1）证明：，，，
△

，
则无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：两直角边的长，恰好是方程的两根，
，，
，
根据勾股定理得：，即，
，即，
解得：（舍去）或，
则的值为6．
变3
（1）不解方程，判别关于的一元二次方程的根的情况；
（2）在中，斜边，直角边、的长是（1）中方程的两个不相等的实数根，求的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值与0的关系即可；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再利用勾股定理求出的值即可．
【解答】解：（1）△

，
方程有两个不相等的实数根；
（2）直角边、的长是（1）中方程的两个不相等的实数根，
，，
根据勾股定理得：，
即，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
则．
例4

已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰的三边，，中，另两边、恰好是这个方程的两个根，求值．
【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到，，再根据等腰三角形的性质得到或，然后分别解关于的方程即可．
【解答】（1）证明：△，
无论取何值，此方程总有实数根；
（2）解：解方程，
得，
，，
、、为等腰三角形的三边，
或，
或4．
变4
已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值．
【分析】（1）证明△即可；
（2）求出方程的解，根据是等腰三角形分类讨论即可．
【解答】（1）证明：△


，
方程总有两个实数根；
（2）解：原方程分解因式得：，
，，
当等腰三角形的腰是2时，，不合题意，
等腰三角形的腰是6，
，
．
故的值为7．
知识点三 代根法


内容
代根法
若是一元二次方程的两个根，则此时既可用韦达定理，也可将或代入方程.
题型六 代根法与韦达定理

例1

设α、β是方程的两根，则的值为（ ）
A．6076
B．-6074
C．6040
D．-6040
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出，，，，进而得出，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵α、β是方程的两根，
∴，，，，
∴，，
∴




．
故选：B．
变1
已知，是方程的两根，则代数式的值是（　　）
A．18
B．-18
C．27
D．-27
【答案】C
【分析】根据，是方程的两根，得到、、，将恒等变形得到从而得到答案．
【详解】解：，是方程的两根，
、、，





，
故选：C．
例2

若α，β是方程的两个实数根，则代数式的值为______.
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“二次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵α，β是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：，
∴.
【答案】C
【分析】先根据方程根的定义得到，则，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵α是方程的根，
∴，即，
∴，
∵α，β是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：C．
例3

已知，是方程的两个根，则代数式的值等于______．
【分析】将代入方程中可得，根据根与系数的关系可得，原式可变形为，最后整体代入即可求解．
【解答】解：，是方程的两个根，
，，




．
故答案为：1．
变2
已知是方程的两个实数根，求的值为______．
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“二次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，
∴________________，
∴________________，
∵α，β是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：______，
∴___________=___________.
【答案】4
【分析】由已知中，是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
可得，，
．
所以的值为4．
故答案为：4．
变3
已知是关于的方程的两个根，则的值为（　　）
A．2023
B．2022
C．2021
D．2020
【答案】B
【分析】先根据方程根的概念和根与系数的关系得出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，是关于的方程的两个根，
∴，，
∴，
∴



．
故选：B．
例4

已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．-10
B．-7
C．-5
D．3
【答案】B
【分析】欲求的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
，即
∴
=
=
=
=．
故选：B．
变4
若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解．
【详解】解：由，是方程的两个实数根，可得：，且，
∴；
故答案为．
例5

若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“三次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：，
∴.
【分析】由根与系数的关系可得：，，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：整理得：，
，是方程的两个实数根，
，，





．
故答案为：4046．
例6

一元二次方程的两个根为，则的值为（　　）
A．10
B．9
C．8
D．7
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=3、x1•x2=1，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1，x2，
∴x12﹣3x1+1=0，x1+x2=3，x1•x2=1，
∴x12=3x1﹣1，
则x12+3x2+x1x2+1=3x1﹣1+3x2+x1x2+1=3（x1+x2）+x1x2=3×3+1=10，
故选：A．
例7

已知α、β是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．4
B．
C．5
D．
【分析】根据方程根的定义得到α2=a+1，即可得到α4=α2+2α+1，然后根据根与系数的关系即可求得α4+3β的值．
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根，
∴α2﹣α﹣1=0，α+β=1，
∴α2=a+1，
∴α4=α2+2α+1，
则α4+3β=α2+2α+1+3β=α2﹣α﹣1+3α+3β+2=3×1+2=5．
故选：C．
变5
已知，是方程的两个实根，则的值为______.
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“三次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，即，
∴__________，
∴________________，
∵，是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：______，
∴___________=___________.
【分析】根据题意利用根与系数关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：，是方程的两个实根，
，即，，，
则原式





．
故选：．
变6
已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045
B．4044
C．2022
D．1
【分析】把代入方程表示出，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：把代入方程得：，即，
，是方程的两个实数根，
，，
则原式



．
故选：．
变7
设，是一元二次方程的两根，则等于（ ）
A．1
B．5
C．11
D．13
【分析】先利用一元二次方程解的定义和降次的方法得到，，则化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
，
，
，是一元二次方程的两根，
，
．
故选：．
变8
设，是方程的两个根，则的值为______．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2=4，x1x2=1，
x12=4x1﹣1，
∴x13=4x12−x1，
∴原式=4x12−x1+4x22+x1﹣1
=4（x12+x22）﹣1
=4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1
=4×16﹣8﹣1
=55，
故答案为：55
知识点四 构造一元二次方程求值


内容
构造一元二次方程
若满足，，则是方程的两个根.
构造倒数关系的方程
若满足①，②，则将②两边除以，即③，所欲和是方程的两个根.（即b相同，a、c交换位置）
题型七 构造一元二次方程求值

例1

已知实数s、t满足，，且，则的值是______．
【答案】
【分析】由题意可知实数、关于x的方程的两个不相等的实数根，则，再由进行求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，，且，
∴实数、关于x的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴

，
故答案为：．
例2

已知实数、满足，，则______．
【答案】或
【分析】实数、满足等式，，①当时，，可能是方程的同一个根，两数相等；②当a≠b时，由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．
【详解】解：①当时，原式．
②当时，可以把，看作是方程的两个根．
由根与系数的关系，得，．
∴．
故本题答案为：或．
例3

如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2021=______．
【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021=2（n+3）﹣mn+2m+2021=2n+6﹣mn+2m+2021=2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
=2（n+3）﹣mn+2m+2021
=2n+6﹣mn+2m+2021
=2（m+n）﹣mn+2027
=2×1﹣（﹣3）+2027
=2+3+2027
=2032．
故答案为：2032．
变1
若实数a、b分别满足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，则的值为______．
【答案】
【解析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．
∵a、b分别满足a2﹣4a+3=0，b2﹣4b+3=0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴．
变2
若实数m，n满足条件：，，则的值是（ ）
A．2
B．-4
C．-6
D．2或-6
【答案】D
【分析】分和两种情况求解即可．
【详解】解：当时，
．
当时，
由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得，
∴．
综上可知，的值是2或．
故选D．
例4

已知，且，，则______.
【观察】观察两个方程，两个方程的“b相同，a、c交换了位置”.
【解答】将除以得，，
【再次观察】方程与方程长得一模一样，
∴是方程的两个根.
∴（1）若，即（不合题意，舍去）
（2）若，则，所以.
【分析】把方程两边除以得到，则、可看作方程的两根，然后利用根与系数的关系解决问题．
【解答】解：，，
，
即，
、可看作方程的两根，
，
．
故选：．
例5

已知实数α，β满足α2+3α-1=0，β2-3β-1=0，且αβ≠1，则的值为______．
【分析】原方程变为（1α2）﹣3（1α）﹣1=0，得到1α、β是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．
【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1=0，β2﹣3β﹣1=0，且αβ≠1，
∴1α、β是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，
∴1α+β=3，βα=−1，1α2=1+3α，
∴原式=1+3α+3β=1+3（1α+β）=1+3×3=10，
故答案为10．
例6

已知a、b为非零常数，，满足，则______．
【答案】3
【分析】由题意易得，则有是方程的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是方程的两个根，
∴，
∴；
故答案为3．
变3
实数x，y分别满足99x2+2021x=-1．y2+2021y=-99，且xy≠1．则______．
【观察】观察两个方程，两个方程的“b相同，a、c交换了位置”.
【解答】将除以得：_____________________，
【再次观察】方程_____________________与方程_____________________长得一模一样，
∴________是方程______________的两个根.
∴（1）若，即（不合题意，舍去）
（2）若，则________，________，
∴_________________________________.

【分析】把y2+2021y=﹣99变形为99（1y）2+2021•1y+1=0，加上99x2+2021x+1=0，则实数x、1y可看作方程99t2+2021t+1=0，利用根与系数的关系得到x+1y=−202199，x•1y=199，再把原式变形为x+10•xy+1y，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵y2+2021y=﹣99，
∴99（1y）2+2021•1y+1=0，
∵99x2+2021x=﹣1，
即99x2+2021x+1=0，
∴实数x、1y可看作方程99t2+2021t+1=0的两实数解，
∴x+1y=−202199，x•1y=199，
∴原式=x+10•xy+1y
=−202199+10×199
=−201199．
故答案为−201199．
变4
已知a2-2a-1=0，b2+2b-1=0，且ab≠1，则的值为______．
【分析】先变形b2+2b﹣1=0得到（1b）2﹣2•1b−1=0，则a和1b可看作方程x2﹣2x﹣1=0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵b2+2b﹣1=0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（1b）2﹣2•1b−1=0，
∵ab≠1，
∴a和1b可看作方程x2﹣2x﹣1=0的两根，
∴a+1b=2，
∴ab+b+1b=a+1+1b=2+1=3．
故答案为：3．
变5
已知，且有及，则的值为（ ）
A．
B．2018
C．3
D．
【答案】D
【分析】把两边都除以，得，从而知x、是的两根，根据韦达定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
则x、是的两根，
∴，
∵3，
∴，
故选：D．
课后强化

1.已知关于x的一元二次方程2x2+mx-3=0的一个根是-1，则另一个根是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．
【答案】C
【解析】【解答】设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：﹣1•x1=﹣ 32 ，
解得x1= 32 .
故答案为：C.
2.已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值．
【答案】解：将x=-2代入方程
12-10-4k=0
k= 12
∴a+-2=- 53
∴a= 13
3.一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号、以及两根的和，两根的积就可以了．
【解答】解：，，，
△，
方程有两个不相等的实数根，
两根的和为4，两根的积为2，
有两个正根，且有一根大于3．
故选：．
4.一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
【分析】先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为、，根据根与系数的关系得出，，再判断即可．
【解答】解：，
△，
即方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为、，
则，，
由得出方程的两个根一正一负，
由和得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，
故选：．
5.若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是______．
【分析】根据根与系数的关系及根的判别式△，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：方程有一正实根和一负实根，
，
解得：．
故答案为：．
6.已知方程的两根分别为，则______．
【答案】-2
【解析】【解答】.解: ∵ 方程x2+2x-1=0的二次项系数a=1,一次项系数b=2,
∴x1+x2=−ba = −21 =-2.
故答案是:-2.
7.已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是______．
【答案】﹣ 65
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=﹣5，
1a+1b = a+bab = 6−5 =﹣ 65 ．
故答案是：﹣ 65 ．
8.已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2，不解方程求：
（1）x12+x22的值；
（2）(x1-2)(x2-2) 的值
【答案】（1）解：根据题意得 x1+x2=−32，x1x2=−2
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−2)=254；
（2）解：由（1）可知 x1+x2=−32，x1x2=−2
所以： (x1−2)(x2−2)=x1x2−2(x1+x2)+4=−2−2×(−32)+4=5
9.已知方程的两根是、．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求得的值，进而求得的值．
（2）先根据二次根式的性质将化为，然后通分化简可得，最后将代入计算即可；
【详解】（1）解：∵方程的两根是、
∴
∴
∴；
（2）解：由（1）可知：，




，
∴（负值舍去）；
10.已知是方程的两个根，且满足，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入即，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
当时，方程为，，不合题意舍去；
当时，方程为，，符合题意．
∴所求k的值为．
故答案为：．
11.关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为

【分析】（1）由要保证一元二次方程总有两个不相等的实数根，就必须使其根的判别式恒成立，即得出关于k的不等式，解出k的解集即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出关于k的一元二次方程，再解这个方程即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程为，
∴，，．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，
∴，．
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
∴的值为．
12.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足，求m的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可用m表示出和，利用已知条件可得到关于m的方程，则可求得m的值．
【详解】（1）∵原方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两实根分别为，，
∴，
∵，
∴，即．
解得，
∵，
∴．
13.已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用“”即可求解；
（2）先对左边进行变形，得到两根之和与两根之差，再根据根与系数的关系和根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）根据题意得，
解得；
（2）根据题意得，
∵，
∴，
∴或，
即或，
解得或，
而，
∴m的值为．
14.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当的斜边长为，且两条直角边的长和恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，由此可证出：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系结合勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，进而可得出原方程，再根据根与系数的关系结合三角形的周长，即可求出的周长．
【解答】（1）证明：△．
，
，即△，
无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：、是方程的两个根，
，．
，，
，
，．
、均为正数，
，
，此时原方程为，
，
的周长为．
15.已知关于的一元二次方程．
（1）若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根；
（2）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（3）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求的值．
【分析】（1）把代入原方程求出，根据根与系数的关系求出另一根；
（2）根据一元二次方程根的判别式解答；
（3）分两种情况讨论，列出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：将代入原方程得：，
解得：，
方程的另一根为．
的值为1，方程的另一根为3．
（2）证明：△．
，即△，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（3）解：当腰为4时，把代入得，，
解得；
当底为4时，则程有两相等的实数根，
△，
，
，
综上，的值为4或3．
16.已知：m、n是方程的两根，则______．
【答案】16
【分析】根据m、n是方程的两根，即可得到，，，，从而得到，，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵m、n是方程的两根，
∴，，，，
∴，，
∴，
故答案为：16．
17.设、是方程的两根，则的值为（ ）
A．6076
B．
C．6040
D．
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出，，，，进而得出，，然后代入计算即可．
【解答】解：、是方程的两根，
，，，，
，，





．
故选：．
18.设，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【分析】由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
【详解】，是一元二次方程的两个根，
，，
，
，
故答案为：．
19.已知，是方程的两根，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得到的值．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴




；
故答案为：．
20.一元二次方程的两根为，则的值为______．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，由此整体代入所求式子中进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
21.设、是一元二次方程的两根，则等于（ ）
A．
B．8
C．6
D．0
【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把转化为，然后整体代入即可．
【解答】解：、是一元二次方程的两根，
，，，
，

，
故选：．
22.设，是方程的两个实数根，则（ ）
A．2016
B．2017
C．2018
D．2019
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再计算，则原式可化简为，然后利用根与系数的关系求解．
【解答】解：是方程的两实数根，
，
，
原式，
，是方程的两实数根，
，
原式．
故选：．
23.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根和，且，则k的值
是______．
【分析】先由x12﹣2x1+2x2=x1x2，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么△=0，解方程即可求解．
【解答】解：∵x12﹣2x1+2x2=x1x2，
x12﹣2x1+2x2﹣x1x2=0，
x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）=0，
（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，
∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．
①如果x1﹣2=0，那么x1=2，
将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，
整理，得k2+4k+4=0，
解得k=﹣2；
②如果x1﹣x2=0，
则△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）=0．
解得：k=−94．
所以k的值为﹣2或−94．
故答案为：﹣2或−94．
24.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的二根为，，且，则m=______．
【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2=2，x1•x2=m，且x12﹣2x1+m=0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的二根为x1、x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=m，且x12﹣2x1+m=0，
∴x12﹣x1=﹣m+x1，
∵x12﹣x1+x2=3x1x2，
∴﹣m+x1+x2=3x1x2，
即﹣m+2=3m，
解得：m=12，
故答案为：12．