2023年新疆乌鲁木齐市中考数学二模试卷

2023年新疆乌鲁木齐市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  比大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列算式中，结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在今年“双”来临之际，某品牌鞋专柜为更好的备货，特整理了前期销售这款鞋子尺码的平均数、中位数、众数、方差，其中作为销售主管最关心的数据是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5.  如图，直角三角板的直角顶点放在直线上，且，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  我国古代数学名著孙子算经中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，、、三点在正方形网格的格点上，若将绕点逆时针旋转得到，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如果，那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在边长为的正方形中，是边上一动点不含，两点，将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，则以下结论中正确的是(    )
线段长度的最小值为；
四边形的面积最大值为；
当≌时，；
当为中点时，是线段的垂直平分线．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______．

11.  不等式组的解集是______ ．

12.  不透明袋子中装有除颜色外都相同的个小球，其中白球个，黑球个从中任意摸出的一个小球恰为白球的概率为______ ．

13.  圆锥的母线长为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的底面圆半径长是______ ．

14.  已知点，在反比例函数为常数的图象上，则与的大小关系为______ ．

15.  如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点若，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
如图，▱中，点为对角线的中点，过点且分别交，于点，，连接，．
求证：≌；
求证：若平分，四边形为菱形．

19.  本小题分
我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类收集桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______ 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______ ；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

20.  本小题分
某商场销售每件进价为元的一种商品，物价部门规定每件售价不得高于元，经市场调查，发现每月的销售量件与每件的售价元满足．
商场每月想从这种商品销售中获利元，该如何给这种商品定价？
请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？

21.  本小题分
如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点在点的正北方向，点在点的北偏西，点在点的正西方向，点在点的东北方向，，，求的长结果保留根号

22.  本小题分
如图，是的直径，点是的中点，，且，与交于点．
求证：是的切线；
若，求的长；
延长、交于点，若，求的半径．

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
如图，点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；
点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：故选B．
有理数运算中加法法则：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减．
本题考查了有理数的加法，解题关键是理解加法的法则，先确定和的符号，再进行计算．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看底层是三个正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，错误，故不符合题意；
B.，错误，故不符合题意；
C.，错误，故不符合题意；
D.，正确，故符合题意．
故选：．
分别对各选项进行计算求解，然后判断即可．
本题考查了整式的混合运算，解题关键是掌握相关运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现最多的数，故销售主管最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．
故选：．
销售主管最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数．
本题考查学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由平角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：取格点，连接，如图，
在中，
，，
，
，
绕点逆时针旋转得到，
，
．
故选：．
取格点，连接，如图，先利用勾股定理计算出，再利用余弦的定义得，然后根据旋转的性质得到，从而得到的值．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】
解：原式
由，得到．
则原式
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，边长为，
，，
设，则，
由折叠知：，，
点、、三点在通一条直线上，
，即：，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
，
过点作于点，

则四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
当为最小时，为最小，
，
，
当时，为最小，最小值为，
即当时，为最小，
此时，
故结论正确；
设四边形的面积为，
则，
由可知：，，
，
当时，为最大，最大值为，
四边形的面积最大值为．
故结论正确；
 由翻折的性质可知：≌，
，，
在和中，
，，
≌，
又≌，
≌≌≌，
，
在上取一点，使，

，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
即：，
解得：，
，
故结论正确；
点为的中点，
，
设，
由可知：≌，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
即：，
，
不是线段的垂直平分线，
故结论不正确．
综上所述：正确的结论是．
故选：．
设，则，首先证和相似得，再过点作于点，由勾股定理得，据此得当为最小时，为最小，然后求出的最小值即可得到的最小值，进而可对结论进行判断；
设四边形的面积为，则，然后将，代入构造二次函数即可求出的最大值，进而可对结论进行判断；
先证≌≌≌，从而得，然后在上取一点，使，则为等腰直角三角形，则，继而可得出，最后由可求出的值，进而可对结论进行判断；
设，由可知≌，从而得，则，，然后利用勾股定理求出的值，进而可对结论进行判断．
此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，二次函数的最值等知识，解答此题的关键是构建二次函数解决最值问题，难点是正确的添加辅助线，构造矩形、等腰直角三角形．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
根据科学记数法对数据进行转化即可．
【解答】
解：．  

11.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：不透明袋子中装有除颜色外都相同的个小球，其中白球个，黑球个．
搅匀后从中任意摸出个球，摸到白球的概率为：．
故答案为：．
直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面半径为 ，圆锥的侧面展开扇形的半径为，
它的侧面展开图的圆心角是，
弧长，
即圆锥底面的周长是，
，
解得，
底面圆的半径为．
故答案为：．
根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径即圆锥的母线的长度求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式解出的值即可．
本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
反比例函数为常数在第一象限内随的增大而减小，
又，
，
故答案为：．
根据反比例函数的增减性进行判断即可．
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是正确判断的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
由作法得垂直平分，
，
，
设，则，
，
在中，
，
在中，．
故答案为：．
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，有已知条件可设，则，得到，在中，根据勾股定理求出，在中，根据正切三角函数的定义即可求出答案．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
，
当，时，
原式
． 

【解析】利用完全平方公式，单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，再把与 的值代入计算即可求出值．
本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形． 

【解析】由平行线的性质得出证出由证明≌即可；
由全等三角形的性质得出，证出四边形为平行四边形，再由平分，证明，得，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：名，
所以此次调查一共随机采访了名学生，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为；
故答案为：；；
选“绿”色的人数为名，
补全条形统计图为：

名，
所以估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为名；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中恰好抽中，两人的结果数为，
所以恰好抽中，两人的概率．
用选“蓝”色的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用乘以选“灰”色的人数所占的百分比得到“灰”所在扇形的圆心角的度数；
先计算选“绿”色的人数，然后补全条形统计图；
用乘以样本中选“红”色人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出恰好抽中，两人的结果数，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】解：由题意可得，
，
解得，不符题意，舍去，
答：商场每月想从这种商品销售中获利元，此时这种商品的定价为元；
设利润为元，
由题意可得：，
当时，随的增大而增大，
物价部门规定每件售价不得高于元，
，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元时可获得月最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据每件的利润销售量总利润，即可列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意，可以写出利润关于售价的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

21.【答案】解：延长，交于，
由题意得，，，，
，
，
过作于，
则，
，，，
，
，
，
答：的长为 

【解析】延长，交于，由题意得，，，，根据等腰直角三角形的性质得到，过作于，则，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
解：如图，连接，
，
点是的中点，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，
；
解：如图，连接，，交于点，延长、交于点，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
负值舍去，
的半径为． 

【解析】根据圆周角定理和直角三角形性质证明，即可解决问题；
连接，根据是的直径，得，再利用锐角三角函数即可解决问题；
连接，，交于点，延长、交于点，由，得，设，得，然后证明∽，对应边成比例即可求出的半径．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，圆内接四边形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接，是解决此类问题常添加的辅助线．
 

23.【答案】解：抛物线经过点，点，
，
解得：，
，
抛物线的顶点的坐标为；

设，且，如图，连接，设抛物线的对称轴交轴于，
则，

点、关于直线对称，
，
，，，
由翻折得：，，
点在抛物线的对称轴上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；

取中的点，连接，，设直线交轴于点，
，
为等边三角形，
，
，
，

点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，为等边三角形，
，，
，即，
≌，
，
在中，，，，
，
，
，
设直线的函数表达式为，把、代入，得：，
解得：，
直线的表达式为． 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线解析式为，再运用配方法化为顶点式即可得出抛物线的顶点的坐标为；
设，且，连接，设抛物线的对称轴交轴于，利用抛物线的对称性可得，由翻折的性质可得：，，推出是等边三角形，得出，，再运用解直角三角形即可求得答案；
取中的点，连接，，设直线交轴于点，可得为等边三角形，再证得≌，得出，利用解直角三角形求得，再运用待定系数法即可求得直线的表达式．
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，解本题的关键，是二次函数综合题，熟练掌握代入法求二次函数解析式，添加辅助线构造全等三角形．