2023年新疆乌鲁木齐市天山区八一中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年新疆乌鲁木齐市天山区八一中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列交通标志图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  袋子中装有个黑球和个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出个球，下列亊件是必然事件的是(    )

A. 至少有一个黑球 B. 至少有一个白球 C. 至少有两个黑球 D. 至少有两个白球

5.  如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在长为，宽为的矩形中，有形状、大小完全相同的个小矩形，若求阴影部分的面积，应先求一个小矩形的面积，设小矩形的长为，宽为，则列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点下列哪条线段的长度是方程的一个根(    )
 

A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长

8.  如图，在中，，按下列步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画圆弧分别交、于点和点再分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标可能为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于______

11.  已知反比例函数的图象经过点，那么的值是______．

12.  某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，现在平均每天生产______ 台机器．

13.  如图，在矩形中，对角线、交于点，已知，，则的长为______ ．

14.  如图，以边长为的等边顶点为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于，，则图中阴影部分的面积是______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为在抛物线移动过程中，的最小值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组，并在数轴上表示它的解集．

18.  本小题分
年以来，江北区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯区政府为了解月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取人，记录下他们的积分单位：分，并进行整理和分析积分用表示，共分为四组：：，：，：，：，下面给出了部分信息：
甲社区人的积分：，，，，，，，，
乙社区人的积分在组中的分数为：，，，
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
根据以上数据，你认为______ 社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好请说明理由一条理由即可；
若月份甲社区有人参与活动，乙社区有人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在组的一共有多少人？

19.  本小题分
如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
求证：四边形是菱形；
若菱形的周长为，，求菱形的面积．

20.  本小题分
青云山游乐园为引导游客游览景点在主要路口设置了导游指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形底座，且请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离结果精确到，参考数据：，
 

21.  本小题分
某工厂用天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第天的生产成本元件与天之间的关系如图所示，第天该产品的生产量件与天满足关系式．

 

第天，该厂生产该产品的利润是_____元；

设第天该厂生产该产品的利润为元．

求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

在生产该产品的过程中，当天利润不低于元的共有多少天？

22.  本小题分
如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，交的延长线于点．
求证：；
若，求：
的长；
的长．

23.  本小题分
已知和都是等腰直角三角形，．

如图：连，，求证：≌；
若将绕点顺时针旋转，
如图，当点恰好在边上时，求证：；
当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、；
B、；
C、；
D、，
．
故选：．
利用有理数的运算法则把数化为最简，比较大小即可得到结果．
本题考查有理数的比较，熟记有理数的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：．
根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】分析
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
详解
解：至少有一个黑球是必然事件，符合题意；
B.至少有一个白球是随机事件，不合题意；
C.至少有两个黑球是随机事件，不合题意；
D.至少有两个白球是随机事件，不合题意．
故选A．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据图形的旋转性质，得，已知，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得，再根据三角形内角和定理即可求出度数，再由旋转性质得出度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，图形的旋转性质．根据等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得、的关系为解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：大矩形的长为，
；
观察图形，可知：，
根据题意可列方程组，
故选：．
根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
，
解方程得，
线段的长是方程的一个根．
故选：．
根据勾股定理求出和，利用求根公式解方程，比较即可．
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知为的平分线，
，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
故B正确，不符合题意；
，，
，
，
故C正确，不符合题意；
，，
，
，，
，
，
故D错误，符合题意．
故选：．
由三角形内角和定理可求出由角平分线的作图方法可知为的平分线，即得出，从而可求出，故A正确；由等角对等边可知，故B正确；由含度角的直角三角形的性质可得出，进而得出，故C正确；结合勾股定理可求出，故D错误．
本题考查作图角平分线，角平分线的定义，三角形内角和定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据基本作图方法判断出为的平分线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设正方形的边长为，则．

，，
、关于对称，
，
，
当、、共线时，的值最小，如下图：

在中，，
的最小值为，
点的纵坐标为，
，
，
，
，
点的横坐标为，
．
结合选项可知，当时，点的坐标为
故选：．
连接由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，设正方形的边长为，则，，分别求出的最小值，的长即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，

直尺的两边互相平行，，
．
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题侧重考查反比例函数图象上的坐标特征，可以结合代入法进行解答根据点的坐标与函数解析式的关系，将点的坐标代入，可以得到，然后解方程，便可以得到的值．
【解答】
解：反比例函数的图象经过点，

；
故填．  

12.【答案】 

【解析】解：设：现在平均每天生产台机器，则原计划可生产台．
依题意得：．
解得：．
检验：当时，．
是原分式方程的解．
现在平均每天生产台机器．
故答案为：．
根据现在生产台机器的时间与原计划生产台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产台机器时间原计划生产台时间．
此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的对角线相等且平分解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，以为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，
设切点为，连接，则，
等边中，，，
．
在中，
，
，
故答案为：．
作，由勾股定理求出，然后根据得出答案．
本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积扇形的面积是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点横坐标最小时，顶点在点，
则函数的表达式为：，
此时点，
则函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
当顶点在处时，值最小
则抛物线的表达式为：，
当时，，
故答案为：．
时，，当顶点在点时，最小，此时点，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，本题关键在于确定的最小值时，抛物线所在的位置，进而求解．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】      乙 

【解析】解：乙社区组有人，组有人，组有人，组有人，
所以，，，
故答案为：，，；
乙社区表现好些，
理由：乙社区的中位数比甲社区的中位数大些；
人，
答：该月甲、乙两个社区积分在组的大约一共有人．
根据中位数和众数的意义求解；
根据中位数进行比较；
理由样本的百分比估计总体的百分比．
本题考查了统计的应用，掌握统计的有关概念是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：由可知，，，
四边形是菱形，周长为，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证≌，得，再由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的性质得，再由勾股定理求出，则，然后由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，

由题意得：四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
指示牌最高点到地面的距离，
指示牌最高点到地面的距离约为． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：四边形是矩形，从而可得，，进而可得，然后利用角的和差关系可得：，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】   
解设直线的解析式为，把，代入得
，解得
直线的解析式为
Ⅰ当时



当时，
Ⅱ当时，
，
随的增大而减小，
当时，，

第天的利润最大，最大利润为元．
Ⅰ当时，令元，
解得，．
抛物线开口向下，
由其图象可知，当时，
此时，当天利润不低于元的天数为：天
Ⅱ当时，
由可知当天利润均低于元，
综上所述，当天利润不低于元的共有天． 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
由图象可知，第天时的成本为元，此时的产量为，则可求得第天的利润．
利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】
解：由图象可知，第天时的成本为元，此时的产量为，
则第天的利润为：元，
故答案为．
见答案．  

22.【答案】证明：连接，
是切线
，
即，
为的直径，
，
即，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
；
，
，
弧的长为： 

【解析】连接，由是切线，得到，根据为的直径，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论；
根据垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，解方程得到，在根据三角函数求出；
根据弧长公式计算即可：
本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：证明：如图中，

和都是等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，

≌；
证明：如图中，连接．

同法可证≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
的长度为或． 

【解析】

【分析】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于常考题型．
根据证明三角形全等即可．
连接，证明，，利用勾股定理解决问题即可．
分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
的长度为或；
理由如下：
如图中，设交于，过点作于．

≌，
，，
，
，
，，，
，，
，
．

如图中，同法可证．


综上，的长度为或．