2022-2023学年北京市东城区重点中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年北京市东城区重点中学高二（下）月考数学试卷（6月份）

一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，若，则实数组成的集合为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列不等式不恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次的点数之和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学从中选门若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  已知等比数列的公比为，则“”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为(    )

A.  B.  C.  D. 无数

10.  已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  的二项展开式中项的系数为______ ．

12.  某届冬奥会奥运村有智能餐厅、人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为______ ．

13.  若函数的值域为，则的取值范围是______ ．

14.  某商品进货价每件元，据市场调查，当销售价格每件元在时，每天售出的件数，若要每天获得利润最多，则销售价格每件应定为______ 元

15.  已知，，，均为正数，并且，给出下列四个结论：
，，，中小于的数最多只有一个；
，，，中小于的数最多只有两个；
，，，中最大的数不小于；
，，，中最小的数不小于．
其中所有正确结论的序号为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
设全集，集合，．
当时，求；
若，求的取值范围．

17.  本小题分
袋中有个红球，个黑球，从中任取个球，其中含黑球的个数为．
求的分布列；
求的数学期望．

18.  本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．

19.  本小题分
某地区教委要对高三期中数学练习进行调研，考查试卷中某道填空题的得分情况已知该题有两空，第一空答对得分，答错或不答得分：第二空答对得分，答错或不答得分第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的从所有试卷中随机抽取份试卷，其中该题的得分组成容量为的样本，统计结果如表：
第一空得分情况

第二空得分情况

这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题的得分的分布列与数学期望；
从该地区高三学生中，随机抽取位同学，以样本中各种得分情况的频率作为概率，求这人中恰好有一个同学得满分的概率．

20.  本小题分
已知函数．
若在单调递增，求实数取值范围；
若有两个极值点，，且，证明：．

21.  本小题分
已知数集，具有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．
Ⅰ分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
Ⅱ证明：，且；
Ⅲ当时，证明：，，，，成等差数列．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，，
则，解得或，满足题意，
，解得或，
当时，符合题意，
当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去，
故实数组成的集合为．
故选：．
根据已知条件，结合集合元素的互异性，以及集合的包含关系，即可求解．
本题主要考查集合元素的互异性，以及集合的包含关系，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于，由得恒成立；
对于，由可知恒成立；
对于，由于，故当时，不成立，所以不恒成立；
对于，由得，所以恒成立．
故选：．
根据不等式的性质对给出的每个选项分别进行分析、判断后可得不恒成立的不等式．
本题考查不等式的性质及命题真假的判定，解题的关键是熟练运用不等式的相关知识求解，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断．

【解答】

解：对于，的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，
对于，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，
对于，的定义域为，关于原点对称，又，故为偶函数，故C错误，
对于，，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．
先求出事件包含的基本事件数，与在发生的条件下，事件包含的基本事件数，再用公式求出概率．
【解答】
解：由题意事件记两次的点数均为奇数，包含的基本事件是，，，，，，，，共个基本事件，
在发生的条件下，事件：两次的点数之和为，包含的基本事件是，共个基本事件，
，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，分两种情况讨论：
若从类课程中选门，从类课程中选门，有种选法；
若从类课程中选门，从类课程中选门，有种选法．
综上，两类课程中都至少选一门的选法有种．
故选：．
应用分类计数，从中选门中选门或中选门中选门，分别求得选法种数，再加总即可．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，对于等比数列数列，其公比为，但，即“”不是“”的充分条件，
反之，对于等比数列，满足，但其公比，即“”不是“”的必要条件，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
举出反例，说明“”是“”的既不充分也不必要条件，即可得答案．
本题考查充分必要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域的求法，函数的单调性的应用，属于中档题．
化简函数的解析式，利用函数的单调性，求解函数的值域即可．

【解答】

解：函数，
因为是增函数，是减函数，所以是减函数，又，
则是增函数，
又，
所以．
故选C．

8.【答案】 

【解析】解：易知，
当时，，故，
再令，，
，则在上单调递增，
所以，即，即，
所以．
故选：．
容易判断，的大小，然后构造函数，，判断的符号，比较，的大小．
本题考查利用函数的单调性比较大小，关键在于合理构造函数，将对应的，，看成对应的函数值，利用函数的单调性解决问题，属于难题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．
分情况讨论，并作出大致图象，由图象结合题意分析即可得解．

【解答】

解：函数的图象形状大致如下，

当时，要使有两个不相等的实数根，即的图象与直线有两个交点，如图，

当的对称轴在的左边，且两段在处相交时，可满足题意，此时，解得；
当时，如图，

要满足条件，需在处相接，且在处的函数值为，则，无解；
当时，，显然不合题意；
综上，满足条件的有个．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：由，得，即，得，
由，得，设其解为，
与互为“度零点函数”，
，即，解得，
，
，则，
设，，
则，
由得，即时，为增函数，
由得时，为减函数，
即当时，取得极大值，同时也是最大值，
，，
作出函数，，的图象如图：
则，
即，得，
即实数的取值范围是．
故选：．
先求出的零点，根据度零点函数，建立不等式关系，求出的零点范围，利用参数分离法进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合应用，根据函数零点定义求出函数定理，根据度零点函数定义建立不等式求出的零点范围，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：在的二项展开式中，通项公式为，
令，求得，可得项的系数为．
故答案为：．
由题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求得的值，可得展开式中含项的系数的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：运动员甲第二天去餐厅用餐包含以下两种情况，
第一天去餐厅，则概率为，
第一天去餐厅，则概率为，
运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为．
故答案为：．
利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式的运用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时符合条件，故可取；
当时，，解得，故，
综上知实数的取值范围是．
故答案为：．
本题中函数的值域为，故内层函数的值域要取遍全体正实数，当时符合条件，当时，可由保障内层函数的值域能取遍全体正实数．
本题考点是对数函数的值域与最值，考查对数函数的定义其定义域为全体实数的等价条件的理解，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设每天获得利润为，，
则，，
令，则，
则，
，
，当且仅当，即等号成立，
，
故当，即时，利润最大，
故答案为：．
设每天获得利润为，根据题意可得与的函数关系式，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型和基本不等式的应用，考查函数思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析个命题：
对于，假设在，，，中有个或更多的数小于，
不妨设，，，，
则有，
故假设不成立，则，，，中小于的数最多只有一个，正确；
对于，假设在，，，中有个或更多的数小于，
不妨设，，，
则，，，
则有，
故假设不成立，则，，，中小于的数最多只有两个，正确；
对于，假设，，，中最大的数小于，
即，，，
则，，，
显然，
故假设不成立，则，，，中最大的数不小于，正确；
对于，假设是，，，中最小的数，
当，其余，
满足，此时，
故错误．
故答案为：．
根据题意，利用反证法分析，可得其正确，对于，举出反例，可得错误，综合可得答案．
本题考查反证法的应用，涉及不等式的性质以及应用，属于中档题．
 

16.【答案】解：由题意可得集合，，
故A．
，或，
若，则，
即的取值范围为． 

【解析】求出集合，根据集合的并集运算即可求得答案．
求出集合的补集，根据，即可得答案．
本题主要考查集合的并集和补集运算，集合间的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：设含黑球的个数为则的取值为，，，，
，，，，
分布列为：

．
故答案为：． 

【解析】本题根据离散型随机变量分布列的特点和期望的公式，即可求得．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以函数得极大值为，极小值为． 

【解析】由函数，求得，再根据导数的几何意义即可得出答案；
根据函数极值的定义求出函数的极值即可．
本题考查利用导数法求曲线的切线方程及利用函数的单调性求极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
 

19.【答案】解：由表格数据分析知学生得分的频率为，
得分的频率为：，
得分的频率为：，
得分的频率为：，
由题意分析得的取值可以为：，，，，
则，，，．
故的分布列为：

所以的数学期望为：，
由题意知某位学生要得满分的概率为：，
得不到满分的概率为：，
所以随机抽取位同学，这人中恰好有一个同学得满分的概率为：
． 

【解析】根据表中得分情况先算出频数估计概率，分析得出该生这道题的得分的取值可以为：，，，，分别求出概率列出分布列，求出数学期望即可；
先找出学生得满分的概率和得不到满分的概率，再求解人中恰好有一个同学得满分的概率．
本题考查离散型随机变量分布列相关知识，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，，
因为在单调递增，所以在恒成立．
即在恒成立，
令，
则，在上恒小于等于，
故在单调递减，．
故，即实数的取值范围为．
证明：有两个零点，即有两个根．
由知，在上单调递增，在上单调递减，且．
所以，且．
要证，只需证，
又在单调递减，只需证．
又，只需证．
只需证，
只需证，
记，则，
故在上单调递减，
从而当时，，
所以，因此． 

【解析】由题意，转化为在恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果；
根据题意，将零点问题转化为方程根的问题，再讲不等式转化为函数的单调性，即可得到证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】Ⅰ解：由于和都不属于集合，该数集不具有性质；
由于、、、、、、、、、都属于集合，该数集具有性质 
Ⅱ证明：令，，则“与两数中至少有一个属于”，
不属于，属于．
令，那么是集合中某项，不行，是，可以．
如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．
令可以得到，
同理，令、，，，可以得到，
倒序相加即可得到，即；
Ⅲ证明：当 时，取，当时，，
由具有性质，，又时，，
，，，，，．
，，
则，，，
从而可得，，故，即，
又，，则，则有．
又，，
即，，，，是首项为，公差为的等差数列． 

【解析】Ⅰ利用新定义，可以判断集合不具有性质，具有性质；
Ⅱ令，，可得属于，证明，倒序相加即可得到结论；
Ⅲ当 时，取，当时，，由具有性质，结合等差数列的定义逐步可得．
本题考查数列的综合应用，考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，属于难题．