北京市清华大学2020届高三上学期11月中学生标准学术能力诊断性测试数学（理）试题（二卷） Word版含解析

中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试

理科数学试卷(二卷)

本试卷共150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合并集的定义求出，根据集体补集的定义求出.

【详解】因为，，所以，又因为集合

，所以，故本题选A.

【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.

2.已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（    ）

A. m与n异面 B. m与n相交

C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意作出图形，进行判断即可.

【详解】解：空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，

则可能平行（图1），也可能相交（图2），也m与n可能异面（如图3），

故选D．

【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．

3.复数满足，则(     )

A. 恒等于1 B. 最大值为1，无最小值

C. 最小值为1，无最大值 D. 无最大值，也无最小值

【答案】C

【解析】

【分析】

设复数，其中，，由题意求出，再计算的值．

【详解】解：设复数，其中，，

由，得，

，

解得；

，

即有最小值为1，没有最大值．

故选：．

【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．

4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是(    )

A. 16 B. 32 C. 44 D. 64

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解．

【详解】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．

则．

该几何体的表面积．

故选：．

【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．

5.已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

首先判断由，能不能推出，而后再看由，能不能推出，然后通过充分性、必要性的定义得出答案.

【详解】由不等式，可以构造一个函数：，可以判断该函数为偶函数且时，函数单调递增.当时，而，这时可以为负数、正数、零，因此的大小关系不确定，因此由“”不一定能推出“”.当成立时，利用偶函数的性质，可以得到：

，而，因此有，所以有且，如果，则有，所以，这与矛盾，故，故本题选B.

【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，构造函数，利用函数的性质和不等式的性质是解题的关键.

6.函数y＝ln|x|·cos(－2x)的图像可能是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。

【详解】解：

所以函数是奇函数，关于原点对称，故排除；当时，故故排除

故选：

【点睛】本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题，属于基础题。

7.已知两个不相等的非零向量，，满足，且与－的夹角为60°，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设，，由已知与的夹角为可得，由正弦定理得，从而可求的取值范围

【详解】解：设，，，

如图所示：

则由

又与的夹角为，

又由

由正弦定理得

故选：．

【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．

8.已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是(    )

A. 存x，y∈(0，1)，E(ξ)> B. 对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤

C. 对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D. 存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>

【答案】C

【解析】

【分析】

表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。

【详解】解：依题意可得，

因为

所以即故，错误；

即，故成立；

故错误

故选：

【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。

9.设函数，若，则的取值范围是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意构造新函数，结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可．

【详解】令，其中，

取可得

取可得

取可得

由可得：，

将代入可得：．

故选A．

【点睛】本题主要考查构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于比较困难的试题．

10.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设过且与一条渐近线平行的直线的方程，依题意在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，可求出与的关系，即可求出离心率的取值范围。

【详解】解：双曲线的渐近线为，由极限思想，设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即，依题意若在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，即

即

故选：

【点睛】本题考查双曲线中离心率的范围的求解，极限思想的运用，属于中档题。

11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，设二面角为，用含的式子表示点坐标，利用向量法表示出线面角的正弦值的平方，构造函数利用函数的单调性求出，即可求出线面角的正切值的最大值。

【详解】解：如图，

以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角为，可证，设棱形的边长为，则，，，，，

易知平面的法向量

设直线与平面所成角为，则

令，

则时即在上单调递增；

时即在上单调递减；

则

故选：

【点睛】本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题，综合性比较强，难度比较大。

12.己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为(    )

A. 2019 B. 2018 C. 4038 D. 4037

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出数列的前几项，猜想时构造函数证明猜想是正确的，即可求出.

【详解】解：依题意得，，

可猜想时

证明：令

则

可得在单调递减，在单调递增.

即

，满足条件，故猜想正确；

故选：

【点睛】本题考查由递推公式求数列的和，综合性较强，难度比较大。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________

【答案】

【解析】

由直线y=kx与圆相交得

所以概率为 .

14.如图，在△ABC中，AB>AC，BC＝，A＝60°，△ABC的面积等于，则角平分线AD的长等于__________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立解得：，根据余弦定理可求的值，利用角平分线可得，结合，解得的值，在中，由余弦定理可得的值．

【详解】解：，，的面积等于，

解得：，①

由余弦定理，

可得：，

解得：，②

由①②联立解得：，或（由于，舍去）．

， 为角平分线，可得，且，

解得：，

在中，由余弦定理可得：

．

故答案为： ．

【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

15.已知数列{an}满足an＋an＋1＝15－2n，其前n项和为Sn，若Sn≤S8恒成立，则a1的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意设，由递推式表示出、，要使恒成立则解得。

【详解】解：设，因为，则，，，，，，，，；

可知数列奇数项是递减的，且偶数项也是递减的.

且当时

当时

要使恒成立

则解得即

故答案为：

【点睛】本题考查数列的递推关系式及数列的前项和的性质，属于中档题。

16.已知P为椭圆C：上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若，则d＝__________.

【答案】

【解析】

【分析】

计算，的值得出点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算．

【详解】解：设，，则，

不妨设在第一象限，则，，

故以为圆心以为半径的圆为：，①

以为圆心以为半径的圆为：，②

①②得：，代入椭圆方程可得：，

故，，

当时，由得，故，

椭圆在处的切线的斜率．

切线方程为：，即，

原点到切线的距离．

故答案为：．

【点睛】本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：60分.

17.已知函数f(x)＝sinx－cosx

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(B)＝，b＝3，求△ABC面积的最大值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；

（2）由（1）可求利用余弦定理及重要不等式，可求面积最大值。

【详解】解：

（1）令，解得

，

故函数的单调递增区间为，

（2）由

或，

或，

是三角形的内角，

即

当且仅当时， 的面积取最大值是

【点睛】本题考查三角函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于一般题。

18.如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.

(1)求证：AE//平面PDC；

(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．

（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．

【详解】解：（1）证明：取的中点，连结、，

是的中点，，且，

，，，且，

四边形是平行四边形，，

又平面，平面．

（2）解：，是等腰三角形，

，又，，

平面，平面，

，又，平面，

平面，，，

又，平面，

连结，，则就是直线与平面所成角，

设，

在中，解得，，，

在中，解得，

在中，，

直线与平面所成角的余弦值为．

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各取2个球.

(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球”，表示出事件的概率，取出的4个球中恰有1个红球的，包含两个基本事件，利用互斥事件和概率计算公式计算；

（2）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3，4，结合（1）中信息分别求出相应的概率，写出分布列即可．

【详解】（1）设事件“从甲盒内取出个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球”

则，

设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”，

取出的4个球中恰有1个红球的概率为，

（2）可能的取值为0，1，2，3，4．

由（1）得，，，

，，

则的分布列为：

即

【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力．

20.如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P(4，0).

(1)求M点的横坐标；

(2) 求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，解方程可得所求坐标；

（2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值．

【详解】解：（1）设，，，，，，

则，，，

，

而，

由得，即；

（2）设直线即，

与抛物线联立得，

则，，

所以，

而到直线的距离为，

所以，

又由于，

所以，

令，则且，

所以，

令，

则，

当，，当时，，

故，

即面积的最大值为8．

【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

21.已知函数.

(1)若a＝0，求函数f(x)值域；

(2)设函数f(x)的两个零点为x1，x2，且x1≠x2，求证：x1·x2>e2.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，即可计算出函数的最大值，即可求出函数的值域。

（2）因为可得，设则，要证即证构造函数证明其恒大于零即可。

【详解】解（1）当时，

令解得

当时，,在上单调递增，

当时，,在上单调递减，

即函数的值域为

（2）不妨设，

即

设

要证

即证

即

设

在单调递增，

即

【点睛】本题考查导数与函数，利用导数求函数的最值及证明不等式，属于难题。

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.

(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|＝4，求△MAB面积的最大值与最小值.

【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）由，，可将直线的方程转化为直角坐标方程，由曲线的参数方程消去参数，可得其普通方程；

（2）设，由条件可得，再由到直线的距离求出最值即可．

【详解】解：（1）直线的极坐标方程为，即．

由，，可得直线的直角坐标方程为，

将曲线参数方程，消去参数，

得曲线的普通方程为；

（2）设，，

点的极坐标化为直角坐标为，

则，

点到直线的距离，其中

所以

面积的最大值为，最小值为

【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属中档题．

23.已知a，b，c为正实数，且满足a＋b＋c＝3.证明：

(1)ab＋bc＋ac≤3；

(2).

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用重要不等式证明；

（2）由基本不等式有：，，，三式相加可得：，即可证明．

【详解】（1）证明：正实数，，满足，

，，

当且仅当时等号成立

（2），，

当且仅当时等号成立

【点睛】本题考查了重要不等式、基本不等式的性质，属于基础题．