2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．不等式成立的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于，可得出，进而可得出，由此可得出，在所得不等式两边平方化简后得出，进而可得出结论.

【详解】

由于，则，即、不同时为零，即，则.

由可得，不等式两边平方可得，

即，显然恒成立，

因此，不等式成立的充要条件是.

故选：B.

【点睛】

本题考查充要条件的寻找，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

2．为实数，且有解，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意．

【详解】

有解，只需大于的最小值，，所以，有解．

故选C．

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题．

3．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得，且，进而可得，代入不等式解分式不等式即可求解.

【详解】

因为不等式的解集是，

可得，且，

所以，

或，

所以不等式的解集为或.

故选：A

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

4．不等式组的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】原不等式组等价于，解出该不等式组可得出解集.

【详解】

原不等式组等价于.

解不等式，即，解得，；

解不等式，即，即，

解得或，此时，；

解不等式，即，即，

解得或，此时，.

综上所述，原不等式组的解集为，故选C.

【点睛】

本题考查分段不等式的解集，同时也考查了利用穿根法求解高次不等式，考查运算求解能力，属于中等题.

二、填空题

5．已知集合，，则________

【答案】

【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合，再根据集合的交运算即可求解.

【详解】

或，

，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

6．不等式的解集是____________．

【答案】

【解析】【详解】

解：或

7．不等式的解集为________.

【答案】

【解析】利用分式不等式的解法，求得原不等式的解集.

【详解】

，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.

8．不等式的解集为________

【答案】

【解析】根据题意作出数轴，将各个因式等于零的值标记在数轴上，然后采用“穿针引线法”求解出不等式的解集.

【详解】

如下图所示：

根据图象可知：当或或时，，

所以不等式的解集为：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查高次不等式的解法，难度一般.利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.

9．若不等式ax2-bx+c＜0的解集是，则不等式bx2+ax+c＜0的解集是______

【答案】（-3，2）

【解析】由题分析得b＞0，且=1，=-6，再解一元二次不等式得解.

【详解】

∵不等式ax2-bx+c＜0的解集是（-2，3），

∴a＞0，且对应方程ax2-bx+c=0的实数根是-2和3，

由根与系数的关系，得，

即=-6，=1,

∴b＞0，且=1，=-6，

∴不等式bx2+ax+c＜0可化为x2+x-6＜0，

解得-3＜x＜2；

∴该不等式的解集为（-3，2）．

故答案为（-3，2）.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．已知，，且，则实数a的取值范围________

【答案】

【解析】求出集合、，由，讨论或，再由集合的包含关系即可求解.

【详解】

，，

由，当时，满足题意；

当时，，

因为，

所以，

综上所述，实数a的取值范围为.

【点睛】

本题考查了集合的包含关系求参数的取值范围、绝对值不等式的解法，属于基础题.

11．关于x的方程的解为不大于2的实数，则m的取值范围________

【答案】

【解析】讨论m的取值，当或或且时，根据题意可得，解分式不等式即可求解.

【详解】

由可得：

，

若，不成立；

，解得，不成立；

若且时，则，

即，可化为，

解得或，

综上，m的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及基本运算求解能力，属于基础题.

12．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】将不等式化为含参数的的一次不等式，再令，只要即可．

【详解】

不等式化为：，

令，则时，恒成立，

所以只需，即，

所以的范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查将一元二次不等式转化为一元一次不等式进行求解的问题，是基础题.

13．已知集合，，若，则a的取值范围________

【答案】

【解析】求出集合、，再由，讨论或，根据集合的包含关系即可求解.

【详解】

由集合，，

若，

若，可得，

解得，

若，，

可得或，，

则，

解不等式①可得，

解不等式②可得，取交集得，

又，可得或，

可得，

经验证，当符合题意；

当符合题意；，

综上所述，，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了由集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

14．已知不等式对于，恒成立，则a的取值范围________

【答案】

【解析】分离参数可得，令，则，再利用二次函数配方求最值，只需即可.

【详解】

由题意可知：不等式对于，恒成立，

即对于，恒成立，

令，则，

在上恒成立，

，

，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，考查了分离参数法，属于基础题.

三、解答题

15．已知.

(1)解关于的不等式；

(2)若不等式的解集为，求实数的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)由f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，得a2－6a－3<0，求解即可；

（2）f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可.

【详解】

(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，

∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，

∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.

∴原不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}

(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，

等价于解得.

16．已知，解关于x的不等式.

【答案】当，；当，；当，；当，.

【解析】将不等式化为，讨论的取值范围，当或或或，解分式不等式即可求解.

【详解】

，（）

（1）当时，（）式为，

解得或，

（2）当时，（）式为，

①若，则，，

解得或；

②若，则，，

解得，或，

③若，则，，

解得，或，，

综上所述，当，；当，；

当，；当，.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，注意高次不等式中“穿针引线”法的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

17．已知是实数, 关于的方程在区间上有实根, 求的取值范围.

【答案】．

【解析】【详解】

（1）当时,, 令得,

在上无零点, 故.

（2）当时,的对称轴为.

① 当,即时,须使,即的解集为.

②当,即时,须使,即,解得,

的取值范围是.

（3）当时, ① 当,即时,须有,即,

解得或,又的取值范围是.

②当时,即时,须有,即,的解集为.

综上所述 ,的取值范围是.

18．已知、、为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若，，则.

（1）证明：三个集合中至少有两个相等；

（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）可能，如奇数，偶数

【解析】（1）由题意三个集合中的元素都为零时，成立；不妨设，为、中最小的非负元素，若，可得的取法矛盾，即证.

（2）举特例比如奇数，偶数即可证出.

【详解】

（1）若，，则，

所以每个集合中均有非负元素，当三个集合中的元素都为零时，

命题显然成立，否则，设、、中的最小正元素为，

不妨设，设为、中最小的非负元素，

不妨设，则，

若，则的取法矛盾，所以，

任取，因，故，

所以包含，同理包含，所以.

（2）可能，比如奇数，偶数，

这时与，与都无公共元素.

【点睛】

本题考查了元素与集合的关系，考查了考生的分析能力，属于中档题.