2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期11月月考数学试题

一、填空题

1．函数的定义域是__________.

【答案】

【分析】由题意列不等式求解，

【详解】由题意得，解得或，

故答案为：

2．已知是方程的两个根，则的值是__________．

【答案】2

【分析】利用对数运算公式化简后，平方后得到两根之和和两根之积，再利用韦达定理得到结果.

【详解】因为是方程的两个根，根据韦达定理得 所以代入得=2

故答案为：2.

3．集合，，则集合的子集个数为______．

【答案】4

【分析】解方程组，根据方程组的解的个数可得中元素的个数，即可得解.

【详解】解：联立，解得或，

所以集合中有2个元素，

所以集合的子集个数为个.

故答案为：4.

4．偶函数的定义域为，则______.

【答案】1

【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可得到.

【详解】因为函数为偶函数，且定义域为，则，解得或(舍)，故.

故答案为：1

5．已知，则____________（结果用含a的式子表示）．

【答案】

【分析】先通过换底公式得到，再将转化为以3为底的形式，利用对数的运算性质计算即可.

【详解】由得，

即，

故答案为：

6．已知是偶函数，当时，，则当时，____________．

【答案】

【分析】设，则，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解.

【详解】解：由题意，当时，，

设，则，此时，

又函数是偶函数，可得，

所以.

故答案为：.

7．若函数是偶函数，则的单调递增区间是___________

【答案】

【分析】由函数为偶函数，以及偶函数定义域关于原点对称，故，结合二次函数的性质判断即可.

【详解】由题意，函数的定义域为，

若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故，

即，

由于为开口向上的二次函数，对称轴为，

故函数的单调递增区间为：.

故答案为：

8．设为实常数，.若是的必要非充分条件，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】先分类讨论解不等式，再通过是的必要非充分条件列不等式求实数的取值范围.

【详解】对于，

当时，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

综合得

即，

对于，变形得，

解得或

即：或

因为是的必要非充分条件

可得，解得

即实数的取值范围为

故答案为：

9．已知函数的定义域为，则的定义域是________．

【答案】

【分析】由题知函数的定义域为，再根据求解即可.

【详解】解：因为函数的定义域为，

所以，函数的定义域为，

所以，解得，

所以，的定义域是.

故答案为：

10．若函数，若方程无解，则实数t的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用分段函数的性质依次讨论,,,时，解的情况，计算即可.

【详解】当时，时，，当时，方程，方程无解,

当时，时，，方程有解,不符合题意.

当时，时，,无解，当时，方程时，方程有解, 不符合题意.

当时，时，,无解，当时，方程时，方程无解.

综上，方程无解，则实数t的取值范围是.

故答案为：

11．已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称，则实数的取值集合是________.

【答案】

【分析】设函数关于对称，可得，然后分类讨论即得.

【详解】设对称轴为，则，

所以，

若，则，

所以满足题意；

若，

若，则，即，

此时，，，，

于是满足题意，

所以满足题意；

同理，当，，时，满足题意；

综上，实数的取值集合是.

故答案为：.

12．设且满足，则______.

【答案】

【分析】等式整理成表达式.构造函数，判断单调性与奇偶性找的关系.

【详解】，即即，同理

又因为，所以

构造函数，

所以，，即

又因为，

即，所以是定义在上的奇函数.

所以式变为：

即

由幂函数知在上单调递增，

所以，，即.

故答案为：

13．设集合和，其中符号表示不大于x的最大整数，如，，，则______.

【答案】##

【分析】根据集合交集的定义，结合的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】当时，，显然不满足，不符合题意；

当时，，显然，所以；

当时，，显然，所以；

当时，，显然，不符合题意，

所以，

故答案为：

14．定义在实数集上的偶函数满足，则____________.

【答案】

【解析】，令，则，进一步可得函数的周期为4，，解方程即可.

【详解】因为，

所以，

即，

即，

令，则，

所以

故函数的周期为4，

所以，

又因为是偶函数，则为偶函数，

又因为，所以，即，

解得，

又，

即，即.

故答案为：

【点睛】本题主要考查抽象函数周期性，涉及到函数的奇偶性等知识，考查学生逻辑推理能力与数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.

二、单选题

15．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值

【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故

因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为

故选：D

16．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

【答案】C

【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．

【解析】函数的图像

三、解答题

17．函数．

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)解方程．

【答案】(1)偶函数，证明见解析

(2)、2、3、4

【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明；

（2）由于函数是偶函数，列出方程组，即可求出x.

【详解】（1）答：函数是偶函数.

证明：，

，

所以函数是偶函数.

（2）解：由（1）知函数是偶函数，

，

， 或；解得或，或，

即、2、3、4.

18．定义在R上的奇函数满足．

(1)求；

(2)当时，，求在上的解析式．

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）利用赋值法及函数的奇偶性得到，从而求得；

（2）利用函数的奇偶性求解析式的方法可解即可.

【详解】（1）因为是在R上的奇函数，，

所以令，得，则，

故.

（2）因为是在R上的奇函数，所以；

因为当时，，

所以当时，，，

所以；

又由（1）易得，

所以在上，.

19．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设．

(1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？（精确到0.1米）

【答案】(1)

(2)当AN为6米时，用料最省

【分析】（1）利用三角形相似得到，从而可得花坛的面积为求得，即AN的取值范围；

（2）利用表示扩建部分面积，再利用基本不等式即可求得时，扩建部分面积最小，从而用料最省.

【详解】（1）由题意可知，所以，

又，所以，则，

所以，则，

所以矩形花坛的面积为，解得或，

所以AN长的范围为．

（2）结合（1）中结论，

可得扩建部分面积为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当AN为6米时，扩建部分面积最小，用料最省．

20．设函数，且．

(1)求实数a的值；

(2)判断函数的奇偶性并证明；

(3)判断函数的单调性，并解关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)是偶函数；证明见解析

(3)在上单调递减；该不等式的解集为

【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；

（2）由于，根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性；

（3）分离函数即可由解析式判断的单调性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可.

【详解】（1）解：，

故，

即．

（2）解：，所以

故是偶函数．

（3）解：，

则在上单调递减．

又因为是偶函数，所以在上单调递增．

由得，

由函数的性质得：，

解得：．

故该不等式的解集为．