2023年湖北省十堰市张湾区中考数学适应性试卷

2023年湖北省十堰市张湾区中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若上升米记作米，则米表示(    )

A. 上升米 B. 下降米 C. 下降米 D. 上升米

2.  用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著九章算术中被称为“堑堵”“堑堵”的俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是(    )
 

A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性

6.  数学家斐波那契编写的算经中有如下分钱问题：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为人，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是米．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为，向前走米到达处，测得点的仰角为，已知测倾器的高度为米，则楼房的高度约为结果精确到米，，(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  电影流浪地球的票房元，该数据用科学记数法表示为______ ．

12.  若，则            ．

13.  如图，两条公路，恰好互相垂直，公路的中点与点被湖隔开若测得的长为，则，两点间的距离为______ ．

14.  如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第个图形一共有个花盆，第个图形一共有个花盆，第个图形一共有个花盆，则第个图形中花盆的个数为______ ．

 

15.  如图，在等边中是上任意一点，连接，于点，于点，平分，于点若，则的长为______ ．

16.  定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
化简代数式，然后从，，中选取一个合适的的值代入求值．

19.  本小题分
某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析如下：成绩得分用表示为整数，共分成四组：
A.；；；．
七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，．
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
抽取的七，八年级学生成绩统计表：

根据以上信息，解答下列问题：
这次比赛中______ 年级成绩更平衡，更稳定；
直接写出图表中，的值： ______ ， ______ ；
该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数？

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数和一次函数的函数表达式；
根据图象直接写出满足当时，的取值范围．

21.  本小题分
如图，在中，是边上一点，是的中点，过作，交的延长线于点．
求证：；
连接，如果是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论．

22.  本小题分
如图，在中，，平分，的平分线交于点，以为直径的经过点，交于另一点．
求证：是的切线．
若，，求阴影部分的面积．

23.  本小题分
某商场销售的一种商品的进价为元件，连续销售天后，统计发现：在这天内，该商品每天的销售价格元件与时间第天之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量件与时间第天之间满足一次函数关系．
直接写出与之间的函数关系式；
设销售该商品的日利润为元，求与之间的函数关系式，并求出在这天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
在这天内，日利润不低于元的共有多少天？请直接写出结果．

24.  本小题分
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点为中点，绕点旋转，连接、．
观察猜想：在旋转过程中，与的数量关系为______ ；
实践发现：当点、在内且、、三点共线时，如图，求证：；
解决问题：若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长．

 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，点在抛物线上，直线交抛物线于，两点，交轴于点．
求的值及点的坐标；
如图连接，当时，求的值；
如图直线交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：上升米记作米，
米表示下降米，故B正确．
故选：．
根据具有相反意义的量求解即可．
本题考查了具有相反意义的量，掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：“堑堵”的俯视图是一个矩形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，单项式乘单项式，积的乘方，幂的乘方，逐一计算，进行判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘单项式，积的乘方，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币，前次都是正面朝上，掷第次时正面朝上的概率是，
故选：．
根据概率的意义，概率公式，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：．
用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

6.【答案】 

【解析】解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人．
依题意得：．
故选：．
设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人．根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，
过作于，连接，
在中，米，米，
米，
在中，米，米，
米．
故这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：．
可将教室的墙面与地面展开，连接、，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
本题考查了平面展开最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作于，作，
，
，
，
米，
米，
米．
故选：．
过作于，作，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

为直径，
，
，
，
而，
，
，
，
而，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
∽，
：：，即：：，
，
．
故选：．
连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明∽，利用相似比得到，所以．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为，从而求得，，所以函数，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得的取值范围．
【解答】
解：令，即，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
，则．
又方程根为，
，．
函数，
该二次函数图象如图所示，

顶点坐标为，与轴交点为，
根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点．
在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；
且当时，函数的最大值为，最小值为，
则．
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
将两边同时乘得，再其整体代入即可求解．
本题主要考查代数式求值，解题关键在于利用整体思想解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：两条公路，恰好互相垂直，
，
是公路的中点，
，
即，两点间的距离为，
故答案为：．
由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：第个图形一共有个花盆；
第个图形一共有个花盆；
第个图形一共有个花盆；
第个图形一共有个花盆；
第个图形中花盆的个数为，
故答案为：．
据各图形中花盆的数量，找出变化规律并归纳公式，即可求出结论．
本题考查的是探索规律题，找出变化规律并归纳公式是解决此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，，
，
平分，
，，
，
，
又，，
在中，．
故答案为：．
根据等面积法得出，根据含度角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查的是角平分线的性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，利用面积法求得是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出最大、最小时点的位置是解题的关键．由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，最大；过正方形的顶点时，最小，分别求出的值即可得出答案．
【解答】
解：如图：设的中点是，过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时最大；过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小，

如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
．
如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
；
的取值范围为．
故答案为：．  

17.【答案】解：


． 

【解析】根据负整数指数幂法则，零次幂定义及绝对值的性质分别化简，再计算加减法．
此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的计算顺序及负整数指数幂法则，零次幂定义及绝对值的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
，
，
即，
当时，． 

【解析】先利用分式的运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件求出的取值范围，最后代入求值即可．
本题考查分式的混合运算和分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，确定的取值范围是解题的关键．
 

19.【答案】七     

【解析】解：因为两个年级的平均数相同，而七年级的方差比八年级小，
所以七年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：七；
把七年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数；
在七年级名学生的成绩中，出现的次数最多，故众数．
故答案为：；；
因为八年级的中位数是，八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，
所以有个学生的成绩比大，所以被抽取的名学生的成绩有人成绩优秀，
人．
答：估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数大约有人．
根据方差的意义解答即可；
根据中位数和众数的定义解答即可；
用乘样本中成绩优秀的学生人数所占比例即可．
本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，掌握相关统计量是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：把代入得，
，
把代入得，把，代入得，
解得，
；
或． 

【解析】用待定系数法求解析式即可；
根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，以及利用图象求不等式的解集，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：由题意得，
，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：时，四边形是矩形，证明如下：如图，

，，
四边形是平行四边形，
当时，是等腰三角形，
是的中点，
，
四边形是矩形，
时，四边形是矩形． 

【解析】证明≌，进而结论得证；
由，，可证四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，进而可得，的数量关系．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

22.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：连接，，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 

【解析】连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
连接，，根据等腰三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据等边三角形 到现在得到，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得，
当时，设函数解析式为：，
由图像可得，函数经过，，将点代入解析式得，，
解得：，
，
当时，此时，
综上所述可得，；
由题意可得，
当时，，
，，
当时，最大，，
当时，，
，
随增大而减小，
当时，最大，
，
综上所述：，当时，最大，；
根据题意可得，，且为整数，
解得：，且为整数，
，且为整数，
解得：，且为整数，
，
综上所述：日利润不低于元的共有天． 

【解析】根据函数图像利用待定系数法可直接得到答案；
根据利润利润单价数量，写出函数关系式，再根据函数的性质可直接得到答案；
根据利润不低于原列不等式即可得到答案．
本题考查一次函数解决销售利润问题，二次函数解决销售利润问题及不等式解决销售利润问题，解题的关键是求出利润与的函数关系式．
 

24.【答案】 

【解析】解：，理由如下，
如图所示，连接，

为等腰直角三角形，，
，
点为中点，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；

证明：如图所示，连接，

由可知，≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，即，
，
，
；

解：，，、、三点共线，
由可知，，

由可知，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
；
如图所示，由可知，≌，，，

，
是直角三角形，
，
不符合题意舍去；
如图，

是等腰直角三角形，
，
同法可证≌，
，
，即是直角三角形，
在中，，，
，
，
，
；
综上所述，的长为或．
如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证≌，由此即可求解；
由中≌，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
点、、三点共线，分类讨论，根据，中的结论即可求解．
本题属于几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：点在上，
，
解得：；
直线交轴于点，
，
解得：，
的值为，点的坐标为；

过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线交的延长线于点，过作轴的垂线，垂足为．

直线交轴于点，取，可得，
所以．
，则为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，
≌，
，，
，，
设直线为，则有，
解得：，
所以直线为，
则，
解得：，
所以点坐标为，
因为点在直线上，
所以，
解得：；

设点、的坐标分别为：、，
联立和并整理得：，
则，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
同理可得，直线的表达式为：，
令，则，
则． 

【解析】因为点在上，则，解得；直线交轴于点，所以，解得，即可求解；
证明≌，得到，，则，，进而求解；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，得到，同理可得，进而求解．
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，根与系数的关系等，综合性较强，有一定难度．