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2022年湖北省十堰市中考数学适应性试卷
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这是一份2022年湖北省十堰市中考数学适应性试卷，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖北省十堰市中考数学适应性试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）】下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1．（3分）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ）
A．﹣2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃
2．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．ab﹣a＝b B．2a2b÷b＝2a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
5．（3分）某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现用身高为176cm的队员替换下场上身高为174cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，中位数不变
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数不变
D．平均数变大，中位数变大
6．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9
C．+2＝ D．﹣2＝
7．（3分）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（ ）
A．2.6×2.5 B．2.7×2.4 C．2.8×2.3 D．3×2.2
8．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．6﹣2 B．12﹣4 C．3﹣4 D．6﹣8
10．（3分）如图，A为反比例函数y＝（其中k＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OA，AB，OC交AB于点D，若OB＝4，OA＝AB＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）不等式组的解集为 ．
13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC与FB相交于点G，则∠AGB＝ ．
14．（3分）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如4的位置位于第2行第1列、记作（2，1），类似地，12的位置记作（3，4），则2022的位置记作 ．
15．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形ACB中，半径CA＝4，以AC为直径作半圆O，过点O作BC的平行线交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（3分）“已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线的距离d可用公式d＝计算．”根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为，直线l的表达式为y＝﹣2x+5，M是直线l上的动点，N是⊙C上的动点，则MN的最小值为 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（）﹣1﹣﹣|﹣2|．
18．（6分）化简：÷（a﹣）．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
20．（9分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 人；
（2）图1中∠α的度数是 度，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该校九年级有学生1000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
21．（7分）已知，如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AD＝CF．
（2）问：添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形吗？如果能，请你添加一个条件，并给出证明；如果不能，请说明理由．
22．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是6，求EC的长．
23．（9分）某超市购进一种商品，已知该商品的进价为36元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）的关系式为：m＝5x+40．
（1）填空：第10天的日销量为 kg．
（2）哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）请求出日销售利润不低于3510元的天数．
24．（10分）（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离为 ．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在BC下方的抛物线上是否存在点P，使△PBC面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的最大面积；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴下方抛物线上有一点Q，若∠QAB＝∠BCD，求点Q的坐标．
2022年湖北省十堰市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）】下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1．（3分）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ）
A．﹣2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升3℃，记作+3℃，
温度下降2℃记作﹣2℃，
故选：B．
【点评】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．ab﹣a＝b B．2a2b÷b＝2a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据同类项定义，单项式除法法则、积的乘方与幂的乘方法则、完全平方公式逐项判断．
【解答】解：A、ab与a不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、2a2b÷b＝2a2，故B正确，符合题意；
C、（﹣3a2b）2＝9a4b2，故C错误，不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握单项式除法法则、积的乘方与幂的乘方法则、完全平方公式等知识．
4．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A，满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；
B、不满足条件，也不满足结论，故错误；
C、满足条件，不满足结论，故正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故错误．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
5．（3分）某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现用身高为176cm的队员替换下场上身高为174cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，中位数不变
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数不变
D．平均数变大，中位数变大
【分析】根据平均数、中位数的意义进行判断即可．
【解答】解：用身高为176cm的队员替换场上身高为174cm的队员，使总身高增加，进而平均数身高变大，
但换人后，从小到大排列的顺序不变，因此中位数不变，
故选：C．
【点评】本题考查平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义和计算方法是正确判断的前提．
6．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9
C．+2＝ D．﹣2＝
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【解答】解：设有x辆车，则可列方程：
3（x﹣2）＝2x+9．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
7．（3分）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（ ）
A．2.6×2.5 B．2.7×2.4 C．2.8×2.3 D．3×2.2
【分析】解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案．
【解答】解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：
连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC＝＝＝≈2.236＞2.2．
∴只有3×2.2薄木板能从门框内通过，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，只要根据已知条件构造出直角三角形即可解答．
8．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，
在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝120×＝40（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝120×＝120（m），
∴BC＝BD+CD＝160（m）．
故选：A．
【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．6﹣2 B．12﹣4 C．3﹣4 D．6﹣8
【分析】延长AD、BC交于E，根据圆内接四边形的性质得到∠DCB＝90°，根据直角三角形的性质得到BE＝2AB，DE＝CE，根据正弦的定义求出CE，进而得到答案．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠A＝90°，∠AEB＝30°，
∴BE＝2AB，DE＝CE，
在Rt△ABE中，sinB＝，即，
解得：CE＝9﹣，
则BE＝BC+CE＝12﹣，
∴AB＝BE＝6﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、解直角三角形的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（3分）如图，A为反比例函数y＝（其中k＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OA，AB，OC交AB于点D，若OB＝4，OA＝AB＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出OH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，进一步得出反比例函数的解析式，设C点的坐标为（4，b），代入反比例函数解析式即可求得点C坐标，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．
【解答】解：过点A作AH⊥x轴于点H，AH交OC于点M，
∵OB＝4，OA＝AB＝2，
∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，
在Rt△AON中，
AH＝＝＝6，
∴A（2，6），
∵A为反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝2×6＝12；
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵OB＝4，BC⊥OB，
∴C点的横坐标为4，
设C点的坐标为（4，b），
∵点C在反比例函数的y＝的图象上，
∴b＝＝3，
∴C点的坐标为（4，3），
∴BC＝3，
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝，
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标，利用相似三角形的性质求出的值．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为 4.5×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据450000000用科学记数法表示为4.5×108．
故答案为：4.5×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）不等式组的解集为 x＞1 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：，
解①得x＞，
解②得x＞1．
故不等式组的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC与FB相交于点G，则∠AGB＝ 120° ．
【分析】先根据正多边形的内角，可得∠ABC＝∠BAF＝120°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABF＝∠BAC＝∠BCA＝30°，最后由三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：正六边形的内角是∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝AF，
∴∠ABF＝∠BAC＝30°，
∴∠AGB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正六边形的内角是解题的关键．
14．（3分）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如4的位置位于第2行第1列、记作（2，1），类似地，12的位置记作（3，4），则2022的位置记作 （44，43） ．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，第44行第一个数是1936，则可求得2022位置．
【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，第44行第一个数是1936，
∵2022﹣1936＝86，
86÷2＝43，
∴2022在第44行第43个数，记作（44，43）．
故答案为：（44，43）．
【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．
15．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形ACB中，半径CA＝4，以AC为直径作半圆O，过点O作BC的平行线交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】连接CE，由图可知S阴影＝S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE．根据已知条件易求得OA＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．∠ECB＝∠OEC＝30°，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
【解答】解：如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC＝BC＝4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，
∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．
又∵OE∥BC，
∴∠AOE＝∠COE＝90°．
∴在直角△OEC中，OC＝CE，
∴∠OEC＝30°，OE＝2，
∴∠ECB＝∠OEC＝30°，
∴S阴影＝S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE＝2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
16．（3分）“已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线的距离d可用公式d＝计算．”根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为，直线l的表达式为y＝﹣2x+5，M是直线l上的动点，N是⊙C上的动点，则MN的最小值为 ．
【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+5的距离d，再减去半径即可求得MN的最小值
【解答】解：过点C作CM⊥直线l，交圆C于N点，此时MN的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝．
∵⊙C的半径为，
∴MN的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数的性质、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（）﹣1﹣﹣|﹣2|．
【分析】利用负整数指数幂的意义，二次根式的性质和绝对值的意义解答即可．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣（2﹣）
＝2﹣2﹣2+
＝﹣．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，二次根式的性质和绝对值的意义，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
18．（6分）化简：÷（a﹣）．
【分析】首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可．
【解答】解：÷（a﹣）
＝÷
＝
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，要熟练掌握，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）设方程两个根分别为a，b，则有|a﹣b|＝2，a+b＝5m，ab＝6m2，利用二次根式性质及完全平方公式变形，计算即可求出m的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣5m，c＝6m2，
∴Δ＝25m2﹣24m2＝m2≥0，
则该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程两个根分别为a，b，则有|a﹣b|＝2，a+b＝5m，ab＝6m2，
∴＝2，即＝2，
两边平方得：（a+b）2﹣4ab＝4，
代入得：25m2﹣24m2＝4，即m2＝4，
∵m＜0，
∴m＝﹣2．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
20．（9分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 40 人；
（2）图1中∠α的度数是 54 度，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该校九年级有学生1000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 200 人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
【分析】（1）根据B级的人数是12，所占的百分比是30%，据此即可求得总人数；
（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得α的值，然后利用百分比的意义求得C级的人数，进而补全直方图；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
故本次抽样测试的学生人数是40人；
故答案为：40；
（2）∠α的度数是360°×＝54°，
C级人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
把条形统计图补充完整，如图所示：
故答案为：54．
（3）1000×＝200（人）．
故不及格的人数约有200人，
故答案为：200；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（7分）已知，如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AD＝CF．
（2）问：添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形吗？如果能，请你添加一个条件，并给出证明；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AD＝CF即可；
（2）根据矩形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵E为DC的中点，
∴ED＝EC．
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF．
（2）解：能．
当DC＝AF时，四边形ACFD是矩形．
理由如下：
∵AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形．
∵DC＝AF，
∴四边形ACFD是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答．
22．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是6，求EC的长．
【分析】（1）欲证明AC是切线，只要证明AB⊥AC即可；
（2）设EC＝EB＝x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠DAC＝∠B，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，
在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝12，
∴AC＝6，
在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2+AC2，
∴x2＝（12﹣x）2+62，
解得x＝，
∴CE＝．
【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．（9分）某超市购进一种商品，已知该商品的进价为36元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）的关系式为：m＝5x+40．
（1）填空：第10天的日销量为 90 kg．
（2）哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）请求出日销售利润不低于3510元的天数．
【分析】（1）将x＝10代入m＝5x+40即可得出结论；
（2）分别算出1≤x≤20和20＜x≤40两个阶段的利润，根据二次函数的性质求出最大值再进行比较即可；
（3）在（2）的基础上，分别求出日销售利润不低于3510元的天数，再求和即可．
【解答】解：（1）将x＝10代入m＝5x+40，
则m＝5×10+40＝90；
故答案为：90．
（2）设利润为W元，
当1≤x≤20时，
W＝（62﹣36）×（5x+40）＝130x+1040，
∵130＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴W的最大值为：130×20+1040＝3640（元）；
当20＜x≤40时，
W＝（5x+40）（﹣x+72）
＝﹣x2+160x+1440
＝﹣（x﹣32）2+4000，
∵﹣＜0，
∴当x＝32时，W有最大值4000元，
∵4000＞3640，
∴第32天时利润最大，为4000元．
（3）由（2）知，当1≤x≤20时，
令W＝130x+1040≥3510，
解得x≥19，
∴共有2天；
当20＜x≤40时，
令W＝﹣（x﹣32）2+4000≥3510，
∴18≤x≤46，
∴20＜x≤40，共20天，
综上，日销售利润不低于3510元的天数为22天．
【点评】本题考查二次函数的应用，解此类型题目首先要根据题意找到等量关系式，列出方程，再结合实际和二次函数的图象与性质进行逐步的分析．
24．（10分）（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 60° ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 AD＝BE ；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离为 或 ．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝2CH+BE．
（3）由PD＝1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD＝90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为：AD＝BE．
（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为或．
理由如下：
∵PD＝1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，
作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，
如图3①．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°．
∴BD＝．
∵DP＝1，
∴BP＝．
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB＝∠ADB＝45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．
∴＝2AH+1．
∴AH＝．
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP＝2AH﹣PD．
∴＝2AH﹣1．
∴AH＝．
综上所述：点A到BP的距离为或．
【点评】此题是四边形的综合题，本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在BC下方的抛物线上是否存在点P，使△PBC面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的最大面积；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴下方抛物线上有一点Q，若∠QAB＝∠BCD，求点Q的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）设P（m，m2﹣4m+3），过点P作PE∥y轴交BC于点E，如图1，运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则E（m，﹣m+3），可得PE＝﹣m2+3m，根据三角形面积公式可得S△PBC＝×PE×OB＝（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）如图2，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BD，则∠BFD＝90°，F（2，0），BF＝DF＝1，根据等腰直角三角形性质，可得：∠DBF＝45°，BD＝，∠CBO＝45°，BC＝3，∠CBD＝＝90°，由三角函数定义可得：tan∠DCB＝＝＝，过点B在x轴下方作BK⊥x轴，使BK＝AB＝，连接AK交抛物线于另一点Q，可推出∠QAB＝∠BCD，求出直线AK的解析式为y＝x+，再联立方程组求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得：3a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
故该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）在BC下方的抛物线上存在点P，使△PBC面积最大.
设P（m，m2﹣4m+3），过点P作PE∥y轴交BC于点E，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则E（m，﹣m+3），
∴PE＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m，
∴S△PBC＝×PE×OB＝×（﹣m2+3m）×3＝（m﹣）2+，
∵＜0，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，最大面积为，此时点P的坐标为（，﹣）；
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点D（2，﹣1），
如图2，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BD，
则∠BFD＝90°，F（2，0），BF＝DF＝1，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴∠DBF＝45°，BD＝，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，BC＝3，
∴∠CBD＝∠CBO+∠DBF＝45°+45°＝90°，
∴tan∠DCB＝＝＝，
过点B在x轴下方作BK⊥x轴，使BK＝AB＝，连接AK交抛物线于另一点Q，
则∠ABK＝90°，tan∠QAB＝＝，K（3，﹣），
∴tan∠QAB＝tan∠DCB，
∴∠QAB＝∠BCD，
设直线AK的解析式为y＝ex+f，
则，
解得：，
∴直线AK的解析式为y＝x+，
联立方程组得：，
解得：，．
∴Q（，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，三角函数定义，等腰直角三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法等相关知识是解题关键．
2022年湖北省十堰市中考数学适应性试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）】下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1．（3分）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ）
A．﹣2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃
2．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．ab﹣a＝b B．2a2b÷b＝2a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
5．（3分）某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现用身高为176cm的队员替换下场上身高为174cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，中位数不变
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数不变
D．平均数变大，中位数变大
6．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9
C．+2＝ D．﹣2＝
7．（3分）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（ ）
A．2.6×2.5 B．2.7×2.4 C．2.8×2.3 D．3×2.2
8．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．6﹣2 B．12﹣4 C．3﹣4 D．6﹣8
10．（3分）如图，A为反比例函数y＝（其中k＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OA，AB，OC交AB于点D，若OB＝4，OA＝AB＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）不等式组的解集为 ．
13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC与FB相交于点G，则∠AGB＝ ．
14．（3分）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如4的位置位于第2行第1列、记作（2，1），类似地，12的位置记作（3，4），则2022的位置记作 ．
15．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形ACB中，半径CA＝4，以AC为直径作半圆O，过点O作BC的平行线交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（3分）“已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线的距离d可用公式d＝计算．”根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为，直线l的表达式为y＝﹣2x+5，M是直线l上的动点，N是⊙C上的动点，则MN的最小值为 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（）﹣1﹣﹣|﹣2|．
18．（6分）化简：÷（a﹣）．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
20．（9分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 人；
（2）图1中∠α的度数是 度，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该校九年级有学生1000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
21．（7分）已知，如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AD＝CF．
（2）问：添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形吗？如果能，请你添加一个条件，并给出证明；如果不能，请说明理由．
22．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是6，求EC的长．
23．（9分）某超市购进一种商品，已知该商品的进价为36元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）的关系式为：m＝5x+40．
（1）填空：第10天的日销量为 kg．
（2）哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）请求出日销售利润不低于3510元的天数．
24．（10分）（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离为 ．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在BC下方的抛物线上是否存在点P，使△PBC面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的最大面积；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴下方抛物线上有一点Q，若∠QAB＝∠BCD，求点Q的坐标．
2022年湖北省十堰市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）】下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1．（3分）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ）
A．﹣2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升3℃，记作+3℃，
温度下降2℃记作﹣2℃，
故选：B．
【点评】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．ab﹣a＝b B．2a2b÷b＝2a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据同类项定义，单项式除法法则、积的乘方与幂的乘方法则、完全平方公式逐项判断．
【解答】解：A、ab与a不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、2a2b÷b＝2a2，故B正确，符合题意；
C、（﹣3a2b）2＝9a4b2，故C错误，不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握单项式除法法则、积的乘方与幂的乘方法则、完全平方公式等知识．
4．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A，满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；
B、不满足条件，也不满足结论，故错误；
C、满足条件，不满足结论，故正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故错误．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
5．（3分）某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现用身高为176cm的队员替换下场上身高为174cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，中位数不变
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数不变
D．平均数变大，中位数变大
【分析】根据平均数、中位数的意义进行判断即可．
【解答】解：用身高为176cm的队员替换场上身高为174cm的队员，使总身高增加，进而平均数身高变大，
但换人后，从小到大排列的顺序不变，因此中位数不变，
故选：C．
【点评】本题考查平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义和计算方法是正确判断的前提．
6．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9
C．+2＝ D．﹣2＝
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【解答】解：设有x辆车，则可列方程：
3（x﹣2）＝2x+9．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
7．（3分）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（ ）
A．2.6×2.5 B．2.7×2.4 C．2.8×2.3 D．3×2.2
【分析】解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案．
【解答】解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：
连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC＝＝＝≈2.236＞2.2．
∴只有3×2.2薄木板能从门框内通过，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，只要根据已知条件构造出直角三角形即可解答．
8．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，
在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝120×＝40（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝120×＝120（m），
∴BC＝BD+CD＝160（m）．
故选：A．
【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．6﹣2 B．12﹣4 C．3﹣4 D．6﹣8
【分析】延长AD、BC交于E，根据圆内接四边形的性质得到∠DCB＝90°，根据直角三角形的性质得到BE＝2AB，DE＝CE，根据正弦的定义求出CE，进而得到答案．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠A＝90°，∠AEB＝30°，
∴BE＝2AB，DE＝CE，
在Rt△ABE中，sinB＝，即，
解得：CE＝9﹣，
则BE＝BC+CE＝12﹣，
∴AB＝BE＝6﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、解直角三角形的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（3分）如图，A为反比例函数y＝（其中k＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OA，AB，OC交AB于点D，若OB＝4，OA＝AB＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出OH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，进一步得出反比例函数的解析式，设C点的坐标为（4，b），代入反比例函数解析式即可求得点C坐标，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．
【解答】解：过点A作AH⊥x轴于点H，AH交OC于点M，
∵OB＝4，OA＝AB＝2，
∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，
在Rt△AON中，
AH＝＝＝6，
∴A（2，6），
∵A为反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝2×6＝12；
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵OB＝4，BC⊥OB，
∴C点的横坐标为4，
设C点的坐标为（4，b），
∵点C在反比例函数的y＝的图象上，
∴b＝＝3，
∴C点的坐标为（4，3），
∴BC＝3，
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝，
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标，利用相似三角形的性质求出的值．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为 4.5×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据450000000用科学记数法表示为4.5×108．
故答案为：4.5×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）不等式组的解集为 x＞1 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：，
解①得x＞，
解②得x＞1．
故不等式组的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC与FB相交于点G，则∠AGB＝ 120° ．
【分析】先根据正多边形的内角，可得∠ABC＝∠BAF＝120°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABF＝∠BAC＝∠BCA＝30°，最后由三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：正六边形的内角是∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝AF，
∴∠ABF＝∠BAC＝30°，
∴∠AGB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正六边形的内角是解题的关键．
14．（3分）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如4的位置位于第2行第1列、记作（2，1），类似地，12的位置记作（3，4），则2022的位置记作 （44，43） ．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，第44行第一个数是1936，则可求得2022位置．
【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，第44行第一个数是1936，
∵2022﹣1936＝86，
86÷2＝43，
∴2022在第44行第43个数，记作（44，43）．
故答案为：（44，43）．
【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．
15．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形ACB中，半径CA＝4，以AC为直径作半圆O，过点O作BC的平行线交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】连接CE，由图可知S阴影＝S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE．根据已知条件易求得OA＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．∠ECB＝∠OEC＝30°，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
【解答】解：如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC＝BC＝4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，
∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．
又∵OE∥BC，
∴∠AOE＝∠COE＝90°．
∴在直角△OEC中，OC＝CE，
∴∠OEC＝30°，OE＝2，
∴∠ECB＝∠OEC＝30°，
∴S阴影＝S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE＝2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
16．（3分）“已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线的距离d可用公式d＝计算．”根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为，直线l的表达式为y＝﹣2x+5，M是直线l上的动点，N是⊙C上的动点，则MN的最小值为 ．
【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+5的距离d，再减去半径即可求得MN的最小值
【解答】解：过点C作CM⊥直线l，交圆C于N点，此时MN的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝．
∵⊙C的半径为，
∴MN的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数的性质、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（）﹣1﹣﹣|﹣2|．
【分析】利用负整数指数幂的意义，二次根式的性质和绝对值的意义解答即可．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣（2﹣）
＝2﹣2﹣2+
＝﹣．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，二次根式的性质和绝对值的意义，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
18．（6分）化简：÷（a﹣）．
【分析】首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可．
【解答】解：÷（a﹣）
＝÷
＝
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，要熟练掌握，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）设方程两个根分别为a，b，则有|a﹣b|＝2，a+b＝5m，ab＝6m2，利用二次根式性质及完全平方公式变形，计算即可求出m的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣5m，c＝6m2，
∴Δ＝25m2﹣24m2＝m2≥0，
则该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程两个根分别为a，b，则有|a﹣b|＝2，a+b＝5m，ab＝6m2，
∴＝2，即＝2，
两边平方得：（a+b）2﹣4ab＝4，
代入得：25m2﹣24m2＝4，即m2＝4，
∵m＜0，
∴m＝﹣2．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
20．（9分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 40 人；
（2）图1中∠α的度数是 54 度，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该校九年级有学生1000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 200 人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
【分析】（1）根据B级的人数是12，所占的百分比是30%，据此即可求得总人数；
（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得α的值，然后利用百分比的意义求得C级的人数，进而补全直方图；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
故本次抽样测试的学生人数是40人；
故答案为：40；
（2）∠α的度数是360°×＝54°，
C级人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
把条形统计图补充完整，如图所示：
故答案为：54．
（3）1000×＝200（人）．
故不及格的人数约有200人，
故答案为：200；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（7分）已知，如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AD＝CF．
（2）问：添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形吗？如果能，请你添加一个条件，并给出证明；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AD＝CF即可；
（2）根据矩形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵E为DC的中点，
∴ED＝EC．
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF．
（2）解：能．
当DC＝AF时，四边形ACFD是矩形．
理由如下：
∵AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形．
∵DC＝AF，
∴四边形ACFD是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答．
22．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是6，求EC的长．
【分析】（1）欲证明AC是切线，只要证明AB⊥AC即可；
（2）设EC＝EB＝x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠DAC＝∠B，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，
在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝12，
∴AC＝6，
在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2+AC2，
∴x2＝（12﹣x）2+62，
解得x＝，
∴CE＝．
【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．（9分）某超市购进一种商品，已知该商品的进价为36元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）的关系式为：m＝5x+40．
（1）填空：第10天的日销量为 90 kg．
（2）哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）请求出日销售利润不低于3510元的天数．
【分析】（1）将x＝10代入m＝5x+40即可得出结论；
（2）分别算出1≤x≤20和20＜x≤40两个阶段的利润，根据二次函数的性质求出最大值再进行比较即可；
（3）在（2）的基础上，分别求出日销售利润不低于3510元的天数，再求和即可．
【解答】解：（1）将x＝10代入m＝5x+40，
则m＝5×10+40＝90；
故答案为：90．
（2）设利润为W元，
当1≤x≤20时，
W＝（62﹣36）×（5x+40）＝130x+1040，
∵130＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴W的最大值为：130×20+1040＝3640（元）；
当20＜x≤40时，
W＝（5x+40）（﹣x+72）
＝﹣x2+160x+1440
＝﹣（x﹣32）2+4000，
∵﹣＜0，
∴当x＝32时，W有最大值4000元，
∵4000＞3640，
∴第32天时利润最大，为4000元．
（3）由（2）知，当1≤x≤20时，
令W＝130x+1040≥3510，
解得x≥19，
∴共有2天；
当20＜x≤40时，
令W＝﹣（x﹣32）2+4000≥3510，
∴18≤x≤46，
∴20＜x≤40，共20天，
综上，日销售利润不低于3510元的天数为22天．
【点评】本题考查二次函数的应用，解此类型题目首先要根据题意找到等量关系式，列出方程，再结合实际和二次函数的图象与性质进行逐步的分析．
24．（10分）（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 60° ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 AD＝BE ；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离为 或 ．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝2CH+BE．
（3）由PD＝1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD＝90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为：AD＝BE．
（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为或．
理由如下：
∵PD＝1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，
作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，
如图3①．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°．
∴BD＝．
∵DP＝1，
∴BP＝．
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB＝∠ADB＝45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．
∴＝2AH+1．
∴AH＝．
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP＝2AH﹣PD．
∴＝2AH﹣1．
∴AH＝．
综上所述：点A到BP的距离为或．
【点评】此题是四边形的综合题，本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在BC下方的抛物线上是否存在点P，使△PBC面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的最大面积；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴下方抛物线上有一点Q，若∠QAB＝∠BCD，求点Q的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）设P（m，m2﹣4m+3），过点P作PE∥y轴交BC于点E，如图1，运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则E（m，﹣m+3），可得PE＝﹣m2+3m，根据三角形面积公式可得S△PBC＝×PE×OB＝（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）如图2，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BD，则∠BFD＝90°，F（2，0），BF＝DF＝1，根据等腰直角三角形性质，可得：∠DBF＝45°，BD＝，∠CBO＝45°，BC＝3，∠CBD＝＝90°，由三角函数定义可得：tan∠DCB＝＝＝，过点B在x轴下方作BK⊥x轴，使BK＝AB＝，连接AK交抛物线于另一点Q，可推出∠QAB＝∠BCD，求出直线AK的解析式为y＝x+，再联立方程组求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得：3a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
故该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）在BC下方的抛物线上存在点P，使△PBC面积最大.
设P（m，m2﹣4m+3），过点P作PE∥y轴交BC于点E，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则E（m，﹣m+3），
∴PE＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m，
∴S△PBC＝×PE×OB＝×（﹣m2+3m）×3＝（m﹣）2+，
∵＜0，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，最大面积为，此时点P的坐标为（，﹣）；
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点D（2，﹣1），
如图2，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BD，
则∠BFD＝90°，F（2，0），BF＝DF＝1，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴∠DBF＝45°，BD＝，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，BC＝3，
∴∠CBD＝∠CBO+∠DBF＝45°+45°＝90°，
∴tan∠DCB＝＝＝，
过点B在x轴下方作BK⊥x轴，使BK＝AB＝，连接AK交抛物线于另一点Q，
则∠ABK＝90°，tan∠QAB＝＝，K（3，﹣），
∴tan∠QAB＝tan∠DCB，
∴∠QAB＝∠BCD，
设直线AK的解析式为y＝ex+f，
则，
解得：，
∴直线AK的解析式为y＝x+，
联立方程组得：，
解得：，．
∴Q（，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，三角函数定义，等腰直角三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法等相关知识是解题关键．
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