河南省焦作市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

焦作市普通高中2022—2023学年（下）高一年级期末考试

数  学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则复数z的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

3．已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

5．在中，边BC上的中线与边AC上的中线的交点为E，若，则（    ）

A．1 B．－1 C． D．

6．随机抽查了某校100名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，各组中频率最大的为0.34，则a的值为（    ）

A．64 B．54 C．48 D．27

7．已知函数，有下述三个结论：

①的最小正周期是；

②在区间上不单调；

③将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．① B．② C．①② D．①②③

8．如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知向量，，则的值可以是（    ）

A．1 B．2 C． D．3

10．下列命题正确的是（    ）

A．在中，若A＞B，则

B．在中，若，，A＝45°，则B＝60°

C．在中，若，则是等腰三角形

D．在中，

11．若，则（    ）

A． B． C． D．

12．如图，若正方体的棱长为1，M是侧面（含边界）上的一个动点，P是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．若，则点M在侧面内的运动轨迹的长度为

C．若，则的最大值为

D．若，则的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知点，，，，则向量在向量方向上的投影数量为______．

14．已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为______．

15．已知定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是______．

16．在三棱锥P－ABC中，平面平面ABC，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知向量，．

（Ⅰ）若，求实数k的值；

（Ⅱ）若，求实数t的值．

18．（12分）

在一次数学考试后，随机抽取了100名参加考试的学生，发现他们的分数（单位：分）都在内，按，，…，分组得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）试估计这100名学生得分的中位数；（结果精确到整数）

（Ⅲ）现在按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中分数在内的学生中抽取5人，再从这5人中任取2人参加这次数学考试的总结会，试求和两组各有一人参加总结会的概率．

19．（12分）

已知函数的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．

20．（12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABEF为矩形，平面ABEF，，且AB＝CE＝2AF＝2．

（Ⅰ）求证：平面BCE；

（Ⅱ）求证：平面平面BCE；

（Ⅲ）求三棱锥C－ADE的体积．

21．（12分）

已知函数，．

（Ⅰ）若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；

（Ⅱ）若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．

22．（12分）

已知在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若a＝1，b＝3，CD为∠ACB的平分线，求CD的长；

（Ⅲ）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围．

焦作市普通高中2022—2023学年（下）高一年级期末考试

数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．D   2．A   3．B   4．A   5．D    6．B   7．C   8．C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．BC    10．ACD    11．AD   12．ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．   14．4    15．   16．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解析 （Ⅰ）因为，，所以，

．因为，

所以1×（－1＋3k）＝－11×（2＋k），解得．

（Ⅱ），因为，

所以，解得．

18．解析 （Ⅰ）由频率分布直方图得，解得a＝0.030．

（Ⅱ）由频率分布直方图可得前四组的频率之和为0.4，前五组的频率之和为0..7，故中位数位于区间内，且中位数为．

（Ⅲ）在和两组中的人数分别为100×（0.01×10）＝10和100×（0.015×10）＝15，

故在分组中抽取人，记为A，B，在分组中抽取3人，记为c，d，e．

从这5人中任取2人，样本空间为，共含有10个样本点，

设事件M为“和两组各有一人参加总结会”，则，含有6个样本点，故．

19．解析 （Ⅰ）由已知得的最小正周期，所以，

从而，又，，所以．

所以．

（Ⅱ）由已知得．

故，

令，，得，，

所以函数的单调递减区间为，．

20．解析（Ⅰ）∵四边形ABEF是矩形，∴，

又平面BCE，∴平面BCE．

∵，平面BCE，∴平面BCE．

∵，∴平面平面BCE，

又平面ADF，∴平面BCE．

（Ⅱ）∵平面ABEF，平面ABEF，∴，

在矩形ABEF中，，又，∴平面BCE．

又平面ABC，∴平面平面BCE．

（Ⅲ）∵平面ABEF，平面CDFE，∴平面平面ABEF．

又，平面平面CDFE＝EF，∴平面CDFE，

则AF为三棱锥A－CDE的高，且AF＝1．∵AB＝CE＝2，∴，

∴．

21．解析 （Ⅰ）函数在区间上单调递减，

则由零点存在定理可得即

解得，所以的取值范围是．

（Ⅱ）若对任意，都有，使得成立，

则当时，．

因为a＞1，所以当时，单调递减，单调递增，

所以，，

所以．当1＜a＜2时，，，不符合条件，

当时，，，符合条件，所以a的取值范围是．

22．解析 （Ⅰ）由及正弦定理得，

∴，即，

∴．∵，∴，∵，∴．

（Ⅱ）设CD＝x．∵，∴．

由，得．

解得，即CD的长为．

（Ⅲ）设的外接圆半径为R．∵，

∴，即．

由正弦定理可得，∴，．

∴的面积

．

∵是锐角三角形，∴，，∴，

∴，∴，

∴，即锐角面积的取值范围是．