[数学]河南省焦作市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]河南省焦作市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
所以，所以或，
由，得，解得，
所以，
所以.
故选：D.
2. 已知复数z满足，则复数z的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以.
故选：A.
3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点，
所以，
所以.
故选：B.
4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. b＜c＜a
【答案】A
【解析】由，且，即，
又，所以c＜b＜a．
故选：A．
5. 在中，边BC上的中线与边AC上的中线的交点为E，若，则（ ）
A. 1B. －1C. D.
【答案】D
【解析】由题可知E为三角形的重心，
则，
∴，，∴.
故选：D.
6. 随机抽查了某校名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后组的频数和为，设视力在到之间的学生人数为，各组中频率最大的为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】前两组的频数之和为，第四组的频数为，
后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为，
故第三组的频数为，因此，.
故选：B.
7. 已知函数，有下述三个结论：
①的最小正周期是；
②在区间上不单调；
③将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
【答案】C
【解析】因为函数
，
所以函数的最小正周期，故①正确；
当时，，由正弦函数的图象可知，函数，
在上先增后减，故②正确；
将图象上的所有点向右平移个单位长度后，
可得，故③错误，
所以结论正确为①②.
故选：C.
8. 如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为三棱柱，所以，面面，
又因为面面，面面，
所以，显然为三棱台，
设，（），三棱柱的高为，
则，
所以三棱柱体积为，
三棱台的体积为，
①三棱台的体积占，
则，得，得或，均不符合题意；
②三棱台的体积占，
则，得，得或，因为，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由题知，，
因为，，
所以，，
即的范围为.
故选：BC.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 在中，若A＞B，则
B. 在中，若，，A＝45°，则B＝60°
C. 在中，若，则是等腰三角形
D. 在中，
【答案】ACD
【解析】对于A，因为在上单调递减，
所以A＞B，则，故A正确；
对于B，若，，A＝45°，由正弦定理可得：，
则，解得：，则或，
因为，则，所以或，故B不正确；
对于C，由可得：
所以，则所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，，
因为在中，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为，所以，
令，则，
因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，所以由，得，
对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A正确，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为在上单调递减，且，
所以，即，所以D正确.
故选：AD.
12. 如图，若正方体的棱长为1，M是侧面（含边界）上的一个动点，P是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若，则点M在侧面内的运动轨迹的长度为
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于A，三棱锥的体积为，
因为P是的中点，所以的面积为定值，
因为点到平面的距离为正方体的棱长，
所以三棱锥的体积为定值，所以A正确；
对于B，过点作于，
则由正方体的性质和面面垂直的性质，可得平面，
因为平面，所以，
因为正方体的棱长为1，，
所以，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
所以点M在侧面内的运动轨迹的长度为，所以B正确；
对于CD，过点作于，则为的中点，连接，取的中点，
连接，则∥，
因为，
所以≌，所以，
因为，所以，所以，
因为平面，平面，
所以，因为，平面，
所以平面，所以平面，
因为平面平面，
所以点的轨迹是线段，
在中，，
所以的最大值为，所以C正确，
在中，，
所以，
所以点到的距离为，所以D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，，，，则向量在向量方向上的投影数量为______．
【答案】
【解析】，
所以向量在方向上的数量投影为.
故答案为：.
14. 已知圆台的下底面半径为，上底面半径为，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为______．
【答案】
【解析】设圆台的母线长为，
则圆台上底面面积，圆台下底面面积，
所以两底面面积之和为，
又圆台侧面积，则，所以，
所以圆台的高为.
故答案为：
15. 已知定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为当时，，所以，
因为，当时，即时，
由，所以，
同理可得，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：当时，令，则，解得，
对任意，都有，只需对任意，
函数的图象不在直线的上方即可，由图知，即t的取值范围是.
故答案为：.
16. 在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如图所示，作中点，连接、，
在上作的中心，过点作平面的垂线，
在垂线上取一点，使得，
因为三棱锥底面是等边三角形，是的中心，
所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，
又因，则即为球心，
因为平面平面，，，
平面平面，，
所以平面，
，
，
，，
设球的半径为，则，
，
即，解得，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，．
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数t的值．
解：（1）因为，，所以，
．因为，
所以，解得．
（2），因为，
所以，解得．
18. 在一次数学考试后，随机抽取了100名参加考试的学生，发现他们的分数（单位：分）都在内，按，，…，分组得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值；
（2）试估计这100名学生得分的中位数；（结果精确到整数）
（3）现在按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中分数在内的学生中抽取5人，再从这5人中任取2人参加这次数学考试的总结会，试求和两组各有一人参加总结会的概率.
解：（1）由频率分布直方图得，
解得a＝0.030.
（2）由频率分布直方图可得前四组的频率之和为0.4，前五组的频率之和为0.7，
故中位数位于区间内，则中位数为.
（3）在和两组中的人数分别为
100×(0.01×10)＝10和100×(0.015×10)＝15，
故在分组中抽取人，
记为A，B，在分组中抽取3人，记为c，d，e，
从这5人中任取2人，样本空间为，
共含有10个样本点，
设事件M为“和两组各有一人参加总结会”，
则，含有6个样本点，故.
19. 已知函数的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且．
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．
解：（1）由已知得的最小正周期，所以，
从而，
又，，所以，
所以．
（2）由已知得，
故，
令，，
得，，
所以函数的单调递减区间为，．
20. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
解：（1）∵四边形是矩形，∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵，平面，
∴平面平面，
又平面，
∴平面．
（2）∵平面，平面，∴，
在矩形中，，
又∵，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面．
（3）∵平面，平面，
∴平面平面，
又，平面平面，平面，
∴平面，
则为三棱锥的高，且，
∵，
∴，
∴．
21. 已知函数，．
（1）若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；
（2）若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．
解：（1）函数在区间上单调递减，
则由零点存在定理可得，即
解得，所以的取值范围是．
（2）若对任意，都有，使得成立，
则当时，，
因为a＞1，所以当时，单调递减，
单调递增，
所以，，
所以，
当1＜a＜2时，，，不符合条件，
当时，，，符合条件，
所以a的取值范围是．
22. 已知在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．
（1）求；
（2）若，为的平分线，求的长；
（3）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围．
解：（1）由及正弦定理得，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）设，∵，为的平分线，
∴，
由，得，
解得，即CD的长为．
（3）设的外接圆半径为R，
∵，
∴，即，
由正弦定理可得，
∴，，
∴的面积
，
∵是锐角三角形，
∴，，
∴，
∴，∴，
∴，
即锐角面积的取值范围是．