2022西安长安区一中高一下学期期末考试数学试题含解析

长安一中2021—2022学年度第二学期期末考试

高一数学试题

时间：100分钟  分值：150分

一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（    ）

A. 3.5分钟 B. 4.5分钟 C. 5.5分钟 D. 6.5分钟

3. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（    ）

A.  B. 6 C.  D. 8

5. 某几何体三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 数列中，，，若，则（    ）

A. 3 B. 5 C. 4 D. 6

8. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为（    ）

A  B.  C.  D.

10. 在△ABC中，已知，则△ABC形状是（ ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

11. 在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知菱形的边长为3，，沿对角线折成一个四面体，使平面垂直平面，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

13. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

14. 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“函数”.

给出下列函数：①；②；③；④；⑤是定义在上的奇函数，且对一切实数有.其中是“函数”的个数为（    ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．

15. 不等式的解集为__________．

16. 直线关于直线的对称直线方程为__________．

17. 已知、满足，则的最小值是__________．

18. 在中，若，的面积为，角B的平分线交AC于点D，且，则________．

19. 在锐角三角形中，，则的最小值是________．

20. 如图所示，在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点F.给出下列四个结论：

①存在点E，使得 //平面；

②存在点E，使得 ⊥平面；

③对于任意的点E，平面⊥平面

④对于任意的点E，四棱锥的体积均不变

其中，所有正确结论的序号是________.

三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21. 已知数列的前项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知__________，求数列的前项和．

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．

条件：① ；  ②；

③

注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分．

22. 在锐角中，内角所对的边分别为，已知，

（1）求角的大小；

（2）求取值范围．

23. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足AD∥BC，，，E为AD的中点，AC与BE的交点为O．

（1）设H是线段BE上的动点，证明：三棱锥的体积是定值；

（2）求四棱锥的体积；

（3）求直线BC与平面PBD所成角的余弦值．

24. 已知二次函数.

（1）若，试判断函数零点个数；

（2）否存在，使同时满足以下条件：

①对任意，且；

②对任意，都有.

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.