太康县第一高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

太康县第一高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是(   )

A.e B. C. D.

2、设函数的导数为，且，则(   )

A.0 B.4 C. D.2

3、已知函数的导函数为，且，则(   )

A. B.1 C.2 D.4

4、若，则函数在处可导是函数在可导的(   ).

A.充要条件  B.充分非必要条件

C.必要非充分条件  D.既非充分又非必要条件

5、若过点可以作曲线的两条切线，则(   )

A.  B.

C.  D.

6、设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

7、若函数且在区间内单调递增，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8、设a为实数，若函数有且仅有一个零点，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知函数，则(   )

A.当时，函数的极大值为

B.若函数图象的对称中心为，则

C.若函数在R上单调递增，则或

D.函数必有3个零点

10、已知，，且，下列结论中恒成立的是(   )

A.  B.

C.  D.

11、已知是的导函数，，则下列结论正确的为(   )

A.与的图像关于直线对称

B.与有相同的最大值

C.将图像上所有的点向右平移个单位长度可得的图像

D.当时，与都在区间上单调递增

12、已知函数，则下列结论正确的是(   )

A.函数只有两个极值点

B.方程有且只有两个实根，则的取值范围为

C.方程共有4个根

D.若，，则的最大值为2

三、填空题

13、函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.

14、已知函数，若恒成立，则k的最小值是______________.

15、已知是函数的导函数，且，则下列说法正确的是______.

（1）；

（2）曲线在处的切线斜率最小；

（3）函数在存在极大值和极小值；

（4）在区间上至少有一个零点.

16、已知函数，若在上有解，则的最小值___.

四、解答题

17、已知函数(其中)，且，求：

(1)的表达式；

(2)曲线在处的切线方程.

18、已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

19、已知，.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的值.

20、某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

（1）求该段抛物线的方程；

（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？

21、已知函数.

（1）当为函数的极值点时，求函数的单调区间.

（2）当时，求证：.

22、已知函数，.

（1）证明：函数存在两个极值点，，且有；

（2）试比较函数的极大值与极小值之和与3的大小，并说明理由.

参考答案

1、答案：C

解析：设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，则，解得.故选：C

2、答案：C

解析：由，令得，解得.故选：C.

3、答案：A

解析：，故选：A.

4、答案：C

解析：充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足；必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足.故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.故选：C

5、答案：B

解析：设切点为，则，所以，则，化简得：①，则，因为过点可以作曲线的两条切线，所以方程①有两个不同正解，所以，所以.故选：B.

6、答案：B

解析：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或.故选：B.

7、答案：A

解析：令，则，当或时，，当时，，所以在和上递减，在上递增，当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，所以，解得，此时在上递增，则恒成立，当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，所以，无解，综上所述，a的取值范围是.故选：A.

8、答案：C

解析：当时，，则且不恒为零，所以，函数在上单调递增，所以，，又因为，所以，函数在上只有一个零点；因为函数只有一个零点，则函数在上无零点，则当时，，则，由可得，由可得.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，只需，解得.故选：C.

9、答案：BD

解析：A项：当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误；B项：因为函数图象的对称中心为，所以有，故正确；C项：恒成立，显然必有两根，，，则在递减，故错误；D项：，必有2相异根，且非零，故必有3个零点，故正确.故选择：BD

10、答案：BC

解析：对于A，因为，，且，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，由于函数在上单调递减，所以，故A不正确；对于B，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；对于C，因为，，且，所以，则，设，则恒成立，所以在上单调递增，则，则，即，故C正确；对于D，因为，，且，所以，则，所以，当时，等号成立，故D不正确.故选：BC.

11、答案：BC

解析：已知的图像与的图像关于直线对称，，故A选项错误；，其中，最大值为，，其中，最大值为，故B选项正确；，.将的图像向右平移个单位得的图像，故C选项正确；当时，，，当时，在上单调递增，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递减，综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.故选：BC

12、答案：ACD

解析：

对于A，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项A正确；对于B，由选项A知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项B错误；对于C，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项C正确；对于D，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项D正确.故选：ACD

13、答案：

解析：，在上的最小值为，说明在上单调递减，所以当时，恒成立，即.所以.所以.故答案为：.

14、答案：1

解析：

由题意可知，当时，恒成立，即恒成立，作出函数的图象如图示，，即在原点处的切线斜率为1，由图象可知，当时，即有时，恒成立，故当时，恒成立，则；当时，恒成立，即恒成立，设，所以在内恒成立，即在上单调递减，所以，则，综上所述，k的最小值为1，故答案为：1

15、答案：（2）（3）（4）

解析：，，，，，，，c的正负不确定，不一定成立，①错；，当时，有最小值，即曲线在处的切线斜率最小，②正确；，即有两个不相等的根，函数在上存在极小值和极大值，③正确；，，，若，则，，在上有一个零点；若，则，，在上有一个零点，在区间上至少有一个零点，④正确.

16、答案：

解析：设函数在上的零点为m，则，所以点在直线上.设O为坐标原点，则，其最小值就是O到直线l的距离的平方，所以，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，，所以的最小值为.故答案为：

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)，于是有，

所以，

又，即，

.

(2)由(1)知，，所以，

所以切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，

即.

18、答案：（1）递增区间为，，递减区间

（2）最大值为59，最小值为-49

解析：（1）的定义域为R，且，令得，令得，所以递增区间为，，递减区间；

（2）

所以函数在上的最大值为59，最小值为-49.

19、答案：（1）见解析

（2）

解析：（1），，，当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增.综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）情况一：若，即时，由的单调性，其在上恒为正，无零点，在增区间至多有一个零点，不符题意.情况二：若，即时，由于，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，取，则，，，，当时，，由于在区间上单调递增，故在恒为正，无零点，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，符合题意，情况三：若，即时，同情况二可得在增区间恒为正，无零点，仅有一个零点，不符题意，综上，a的取值范围是.

20、答案：（1），

（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大

解析：（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，，

所以，解得，故该段抛物线的方程为，.

（2）由（1）可设，所以梯形ABCD的面积，，设，，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.

21、答案：（1）见解析

（2）证明见解析

解析：（1）的定义域为，，若为函数的极值点，则，解得，当时，，，令，则，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.所以当时，为函数的极小值点，满足题意，即当为函数的极值点时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）当时，，设，，则，易知在上单调递增，又因为，，所以，使，（即），所以当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，，当时，，所以，所以，，所以当且时，，原命题得证.

22、答案：（1）证明见解析

（2）极大值与极小值之和小于3，理由见解析

解析：（1）证明：由题可知的定义域为，因为，，所以，令，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增.又，则在上有且仅有一个零点.即在上有且仅有一个零点，又因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点，综上，时，；时，；时，，所以函数存在两个极值点，.设，则，则在上为单调递增函数，由，知，从而有，化简可得，又因为，两式相减，可得，即，所以成立.

（2）由（1）可知，为极大值，为极小值，由，，得，从而有，令，则有，，令，当时，，所以在上单调递减，即在上单调递减，由，知，所以在上单调递增，所以，所以函数的极大值与极小值之和小于3.