太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知i为虚数单位,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知,,,,则等于( )
A.B.C.D.
3．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论不正确的是( )
A.B.
C.D.
4．在平行四边形ABCD中,,设,,则向量( )
A.B.C.D.
5．下列命题正确的是( )
A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C.圆柱,圆锥,圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
6．在中,,,.若利用正弦定理解有两解,则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势,在两个相距为的军事基地C和D,测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且,,,.如图所示,则蓝方这两支精锐部队的距离为( ).
A.B.C.D.
8．如图,在中,,,D,F分别为BC,AC的中点,P为AD与BF的交点,且.若,则________;若,,,则________.则求解正确的是( )
A.,B.,C.,D.,
二、多项选择题
9．下列说法正确的有( )
A.任意两个复数都不能比大小
B.若,则当且仅当时,
C.若,且,则
D.若复数z满足,则的最大值为3
10．下列结论不正确的是( )
A.单位向量都相等
B.对于任意,,必有
C.若,则一定存在实数,使
D.若,则或
11．设P为所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若,则点P是的重心
B.若,则点P是的垂心
C.若,,则点P是的内心
D.若,则点P是的外心
三、填空题
12．若向量,,与的夹角为,则_____.
13．已知向量,满足,且,则在方向上的投影向量为_____.
14．已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,有以下个命题:①以,,为边长的三角形一定存在;
②以,为边长的三角形一定存在;③以,,为边长的三角形一定存在;④以,,为边长的三角形一定存在,其中正确的命题有________(填写所有正确命题的序号).
四、解答题
15．已知向量与的夹角,且,.
（1）求,,;
（2）与的夹角的余弦值.
16．已知函数,其中,,.
（1）求函数的单调递减区间.
（2）在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,且向量共线,求边长b和c的值.
17．已知向量与向量的夹角为,其中,.
（1）求的值;
（2）若向量与的夹角是锐角,求实数的取值范围.
18．在①;
②;
③设的面积为S,且.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上.并加以解答.
在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且________.
（1）求角B的大小;
（2）若,,且C为钝角,求的周长的取值范围.
19．已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的相伴特征向量,同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数,试求的相伴特征向量;
（2）记向量的相伴函数为,求当且,的值;
（3）已知,,为的相伴特征向量,,请问在的图象上是否存在一点P,使得.若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：
故z在复平面内对应的点位于第二象限,故选:B
2．答案：A
解析：,,
,
,,
,
,解得,
故选:A.
3．答案：D
解析：由在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:
在A中,由余弦定理得:,故A正确;
在B中,由正弦定理得:,
,故B正确;
在C中,,
由余弦定理得:,
整理,得,故C正确;
在D中,由余弦定理得:
,
故D错误.
故选:D.
4．答案：A
解析：
5．答案：A
解析：A中,“以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥”正确;
以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体是圆台,故B错误;
圆锥只有一个底面,故C错误;圆锥的侧面展开图为扇形,此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长;故选:A
6．答案：B
解析：如图,,,则,
以C为圆心,为半径画圆弧,要使有两个解,则圆弧和BA边应该有两个交点,
故且,即,解得.
7．答案：B
解析：由题意知,又因为,所以.所以.在中,,由正弦定理得,所以,
在中,
由余弦定理得,
所以.故答案为:.
8．答案：C
解析：由题意可知点P为三角形ABC的重心.因为,所以,所以,,则;
因为,,,所以.又,
所以,
所以.
9．答案：BD
解析：对于A选项,当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以A不正确;
对于B选项,复数的实部与虚部都是0时,复数是0,所以B正确;
对于C选项,当,满足,但,所以C不正确;
对于D选项,复数z满足,则复数z在复平面内的轨迹为单位圆,则的几何意义,是单位圆上的点到的距离,它的最大值为3,所以D正确;
故选:BD.
10．答案：ACD
解析：对于A,单位向量的模长相等,方向不一定相同,不一定是相等的向量,A错误;
对于B,任意,根据向量加法的几何意义知,当且仅当,共线同向时取“=”,B正确;
对于C,若,不一定存在实数,使,如且时,命题不成立,C错误;
对于D,若,则或或,D错误.
故选:ACD
11．答案：ABD
解析：对于A:若,则.
以,为邻边作平行四边形PADB,M为PD的中点,则,所以,又,所以,
故P为的重心.
所以A正确;
对于B:若,则,
即,即,所以.
同理,则,故P为的垂心.
故B正确;
对于C:在边AB,AC上分别取点E,F,使,,则,以AE,AF为邻边作平行四边形AEGF,则四边形AEGF为菱形.
连接AG,则AG为的角平分线,由,所以点P在角平分线AG上,故点P的轨迹一定通过的内心.
所以C错误;
对于D:若,则,同理有,,故P为的外心.
所以D正确.
故选:ABD
12．答案：
解析：依题意,
,
又因为,所以.故填:.
13．答案：
解析：
14．答案：①③④
解析：不妨设,.
①,,①真;
②若,,则,②假;
③,,③真;
④,,,
,
,.④真.
15．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）已知向量与的夹角,且,,
则,
所以;
（2）与的夹角的余弦值为
16．答案：（1）
（2）,
解析：（1）
,
由题意有,解得
所以单调递减区间为;
（2）,
,,,,,
与向量共线,
,,,
,,.
17．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）
（2）与的夹角是锐角
,且与不能同向共线
且,
或
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）选①,利用正弦定理化简得,
整理得,
即,
,,,.
选②,,
,.,或.
选③,,,
,根据余弦定理可得,.
,,.
（2）,.
,
,
的周长
.
钝角为钝角三角形,且C为钝角.则,
又,.
,.
的周长的取值范围是
19．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为,,
.,,.
.
（3）由为的相伴特征向量知:.
所以.
设,,,
,,又,
,.,
,,.
又,当且仅当时,和同时等于,
这时式成立.在图像上存在点,使得