北师大版九年级数学下册《第3章 圆》 单元测试卷（含解析）

北师大新版九年级下册《第3章 圆》2023年单元测试卷

一 、单选题（本大题共14小题，共42分）

1.（3分）下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点可以确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形的三边距离相等；⑤三角形的内心是三条内角平分线的交点；其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.（3分）一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径，水面宽，则排水管内水的最大深度的长为
 

A.          B.        
C.          D.

3.（3分）如图，是的直径，点、在圆上，，则么
 

A.  B.  C.  D.

4.（3分）如图，MN是⊙O的直径，若∠E=25°，∠PMQ=35°，则∠MQP=（  ）
 

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°

5.（3分）平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为，则点与的位置关系是

A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定

6.（3分）如图，是的内接三角形，，，则的半径为
 

A.  B.  C.  D.

7.（3分）已知半径为的圆，直线上一点到圆心的距离是，则直线和圆的位置关系为

A. 相切 B. 相离 C. 相切或相交 D. 相切或相离

8.（3分）如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，若，则的度数为
 

A.  B.  C.  D.

9.（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°， ，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则下列说法不正确的是（    ） 
 

A.  B.
C. BD=DC D. △BCD是等腰三角形

10.（3分）如图，把图中的中各顶点横坐标乘以“”，纵坐标不变，所得到的图形是
 

A.
B.
C.
D.

11.（3分）如图，是的直径，与相切于点，交于点，若，则等于
 

A.  B.  C.  D.

12.（3分）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于
 

A.  B.  C.  D.

13.（3分）如图，正方形内接于，点在劣弧上，连接，交于点若，则的值为
 

A.  B.  C.  D.

14.（3分）如图，已知是的弦，，过点作于点，交于点，连接，若，则半径的长为
 

A.  B.  C.  D.

二 、填空题（本大题共6小题，共18分）

15.（3分）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点若，则的度数是______． 
 
 

16.（3分）如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过网格点、、，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径是______．
 

17.（3分）如图，点，，，在上，，垂足为若，，则______.
 

18.（3分）如图，、分别与相切于点、，与相切于点，且分别交、于点、，，的周长为，则的半径为______．
 

19.（3分）如图，、是的两条切线，、为切点，若，，则的直径等于______.
 

20.（3分）如图，半径为的与含有角的直角三角板的边切于点，将直角三角板沿边所在的直线向左平移，当平移到与相切时，该直角三角板平移的距离为______．
 

三 、解答题（本大题共5小题，共40分）

21.（8分）如图，的直径和弦相交于点，，的半径为，，求的长． 
 

22.（8分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为，求这个孔道的直径．
 

23.（8分）如图，是以为直径的的切线，切点为，过点作，交于点 
求证：是的切线； 
若，，求的长.
 

24.（8分）如图，已知中，，平分交于点，边上一点，经过点、，与交于点，与交于点，连结． 
求证：是的切线； 
若，，求的半径；在条件下，求的长．
 

25.（8分）如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点． 
求证：； 
若，，求的半径； 
在的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点点在线段上，求的长． 
 
 

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】 
该题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．也考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件在同圆或等圆中是解此题的关键． 
根据等弧的定义对①进行判断； 
根据确定圆的条件对②进行判断； 
根据圆心角、弦、弧的关系对③进行判断； 
根据三角形的外心的性质对④进行判断； 
根据三角形内心的定义对⑤进行判断． 
 
解：①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故错误； 
②任意不在一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误； 
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； 
④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故错误； 
⑤三角形的内心是三条内角平分线的交点，正确， 
正确的只有一个， 
故选A．
 

2.【答案】D;

【解析】

该题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答该题的关键由题意知，交于点，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论．【解答

解：由题意知，交于点， 
， 
， 
在中， 
，， 
， 
 
故选D
 

3.【答案】C;

【解析】解：是的直径， 
， 
， 
， 
， 
故选： 
根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的两锐角互余求出即可． 
此题主要考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：直径所对的圆周角是直角．
 

4.【答案】C;

【解析】解：连接PO、QO． 
根据圆周角定理，得 
∠POQ=2∠PMQ=70°， 
又OP=OQ， 
则∠OPQ=∠OQP=55°， 
则∠POM=∠E+∠OPE=80°， 
所以∠PQM=

∠POM=40°． 
故选C．

 

5.【答案】A;

【解析】解：由题意可作图，如下图所示： 
 
， 
点在内． 
故正确，、、错误， 
故选： 
本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系． 
此题主要考查点与圆的位置关系，根据与的关系判断是解题关键．
 

6.【答案】B;

【解析】解：， 
， 
，， 
， 
故选： 
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得，又，，根据勾股定理，即可得圆的半径． 
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
 

7.【答案】C;

【解析】解：因为圆的半径为，一条直线上有一点到圆心的距离为， 
所以这条直线与圆的位置关系为相切或相交， 
故选： 
若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切． 
此题主要考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相切是解答该题的关键．
 

8.【答案】D;

【解析】解：连接，易知，所以，，又因为为圆心，故得出故选 
利用圆的切线的性质连接，，根据角之间的关系即可得出的度数． 
考查了学生对圆的切线的认识和圆内角之间的关系．

 

9.【答案】A;

【解析】略
 

10.【答案】B;

【解析】解：把图中的中各顶点横坐标乘以“”，纵坐标不变，得到的图形与关于轴对称． 
故选： 
把图中的中各顶点横坐标乘以“”，纵坐标不变，得到的图形与关于轴对称． 
此题主要考查了坐标与图形性质，关于轴对称的点的坐标特征，掌握一个点关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解答该题的关键．
 

11.【答案】D;

【解析】解：是的切线，  
，  
，  
由圆周角定理得，，  
故选：． 
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 
该题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答该题的关键．
 

12.【答案】A;

【解析】解：连接， 
与边相切于点， 
， 
， 
， 
， 
故选： 
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论． 
此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解答该题的关键．

 

13.【答案】D;

【解析】解：如图，设的半径为，，则，，  
． 
在中，根据相交弦定理，得． 
即，所以．  
连接，由勾股定理，得，  
即，  
解得  
所以，  
故选D． 
设的半径为，，则，，利用相交弦定理，求出与的关系，即用表示出，即可表示出所求比值．  
该题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”熟记并灵活应用定理是解答该题的关键．

 

14.【答案】B;

【解析】解：连接， 
 
，， 
， 
，， 
， 
于点， 
， 
， 
即半径的长为， 
故选： 
连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理即可得到，解直角三角形即可得解． 
此题主要考查了圆周角定理，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
 

15.【答案】;

【解析】 
该题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，三角形外角性质，难度不大，属于基础题． 
连接，利用半径相等和等腰三角形的性质及三角形外角性质求得，进而求得，从而利用三角形的外角的性质求解． 
 
解：连接， 
 
，， 
， 
， 
， 
， 
故答案为．
 

16.【答案】2;

【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 
如图所示，则圆心是， 
， 
圆弧所在圆的半径是， 
故答案为：． 
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心， 
该题考查的是垂径定理，勾股定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答该题的关键．

 

17.【答案】2;

【解析】解：连接， 
 
，过圆心，， 
，， 
， 
， 
， 
， 
解得：， 
， 
， 
， 
故答案为： 
连接，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出和，再求出答案即可． 
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，能求出是解此题的关键．
 

18.【答案】;

【解析】解：，都是圆的切线， 
， 
同理，， 
的周长， 
； 
连接，， 
， 
， 
， 
故答案为：． 
可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于，又因为，所以可求出的长，然后解直角三角形求得即可． 
该题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出的周长．

 

19.【答案】;

【解析】解：连接， 
、是的两条切线，、为切点， 
，，， 
， 
是的垂直平分线， 
， 
， 
中，， 
， 
， 
， 
的直径为：， 
故答案为： 
连接，根据切线长定理可得：，，，由同圆的半径相等可知：，所以根据线段垂直平分线的逆定理可知：是的中垂线，由，利用特殊的三角函数值或直角三角形度的性质可得圆的半径的长，从而计算出直径． 
此题主要考查了切线长定理、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识，熟练掌握切线长定理是关键．

 

20.【答案】2;

【解析】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示： 
设平移后的与圆相切于点，连接，，， 
过作，可得为的中点， 
平移前圆与相切于点， 
，即， 
平移前圆与相切于点，平移后圆与相切于点， 
即与为圆的两条切线， 
，又， 
为等边三角形， 
，， 
， 
在中，，， 
， 
， 
， 
则该直角三角板平移的距离为． 
故答案为：． 
根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的与圆相切于点，连接，，，过作，根据垂径定理得到为的中点，由平移前与圆相切，切点为点，根据切线的性质得到与垂直，可得为直角，由与为圆的两条切线，根据切线长定理得到，再根据，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得出三角形为等边三角形，平移的距离，且，由求出为，在直角三角形中，由锐角三角函数定义表示出，把及的值代入，求出的长，由可求出的长，即为平移的距离． 
该题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，是一道多知识点的综合性题，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是本题的突破点．

 

21.【答案】解：作于点，连接． 
 
，半径长是 
，， 
在直角中，， 
， 
， 
， 
则， 
在直角中， 
， 
．;

【解析】该题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答该题的关键． 
作于点，连接，直角中利用角的性质和勾股定理可求得的长，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长，然后根据垂径定理可以得到，从而求解．
 

22.【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 
 
则AB=2AD， 
∵钢珠的直径是10mm， 
∴钢珠的半径是5mm， 
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， 
∴OD=3mm， 
在Rt△AOD中， 
∵AD===4mm， 
∴AB=2AD=2×4=8mm．;

【解析】 
先求出钢珠的半径及的长，连接，过点作于点，则，在中利用勾股定理即可求出的长，进而得出的长． 
该题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答该题的关键．
 

23.【答案】（1）证明：连接OB， 
 
∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A， 
∴∠PAO=90°， 
∵OA=OB，AB⊥OP， 
∴∠POA=∠POB， 
在△PAO和△PBO中， 
， 
∴△PAO≌△PBO（SAS）， 
∴∠PBO=∠PAO=90°， 
即OB⊥PB， 
∴PB是⊙O的切线； 
（2）解：设OP与AB交于点D． 
 
∵AB⊥OP，AB=6， 
∴DA=DB=3，∠PDA=∠PDB=90°， 
∵， 
∴PA=5， 
∴PD==， 
在Rt△APD和Rt△APO中，，， 
∴， 
∴PO=．;

【解析】 
连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 
设与交于点求出，由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义可求出答案． 
此题主要考查了切线的判定，锐角三角函数的定义以及全等三角形的判定和性质．证明是解答该题的关键．
 

24.【答案】（1）证明：连接OB， 
∵OB=OC， 
∴∠OCB=∠OBC， 
∵CB平分∠ACE， 
∴∠OCB=∠BCF， 
∴∠OBC=∠BCF， 
∴∠ABO=∠AEC=90°， 
∴OB⊥AE， 
∴AE是⊙O的切线； 
（2）解：连接DF交OB于G， 
∵CD是⊙O的直径， 
∴∠CFD=90°， 
∴∠CFD=∠CEA， 
∴DF∥AE， 
∴∠CDF=∠CAB， 
∵∠CDF=∠CBF， 
∴∠A=∠CBF， 
∴cos∠CBF=cos∠CEF=， 
∵AE=8， 
∴AC=10， 
∴CE=6， 
∵DF∥AE， 
∴DF⊥OB， 
∴DG=GF=BE， 
设BE=2x，则DF=4x，CD=5x， 
∴OC=OB=2.5x， 
∴AO=10-2.5x，AB=8-2x， 
∵AO2=AB2+OB2， 
∴（10-2.5x）2=（8-2x）2+（2.5x）2， 
解得：x=（负值舍去）， 
∴⊙O的半径=； 
（3）解：由（2）知BE=2x=3， 
∵AE是⊙O的切线； 
∴∠BCE=∠EBF， 
∵∠E=∠E， 
∴△BEF∽△CEB， 
∴， 
∴=， 
∴EF=， 
∴BF==．;
 

【解析】 
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，求得，于是得到结论； 
连接交于，根据圆周角定理得到，得到，推出，设，则，，得到，根据勾股定理得到负值舍去，于是得到的半径； 
由知，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到． 
该题考查了切线的性质和判定，勾股定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
 

25.【答案】证明： 
 
 
 
 
 
连接， 
 
，， 
 
 
，且 
∽ 
 
 
， 
是直径 
 
 
的半径为 
如图，过点作于点，连接， 
 
是切线， 
，且 
，且 
∽ 
 
， 
 
 
 
 
，且 
∽ 
 
即 
， 
 
;

【解析】该题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出的长是本题的关键． 
由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可证； 
通过证明∽，可得，可得，由勾股定理可求的长，即可求的半径； 
过点作于点，连接，通过证明∽，可得，可求，即可求的长，通过证明∽， 
可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求的长．