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2023年山东省青岛市部分学校中考数学二模试卷
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这是一份2023年山东省青岛市部分学校中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）代数式2﹣1可以表示（ ）
A．2的相反数B．2的绝对值
C．2的倒数D．2的倒数的相反数
2．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（a3）3＝a6
C．﹣a2•（﹣a）4＝a6D．
4．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，设1号车的平均速度为x km/h，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）甲、乙两位同学在射击选拔比赛中，各射击了5次，他们的成绩（单位：环）
设两人射击成绩的平均数依次为甲，乙，射击成绩的方差依次为S甲2，S乙2，则下列关系中完全正确的是（ ）
A．，S甲2＞S乙2
B．，S甲2＜S乙2
C．，S甲2＞S乙2
D．，S甲2＜S乙2
6．（3分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C是⊙O上一点，延长OC交过点A的切线于点P，若∠P＝40°（ ）
A．35°B．20°C．30°D．25°
7．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（2，2）
8．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为21＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．x＜﹣2或x＞2D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，点B落在扇形BAC的弧AC的点B'处，点C的对应点为点C'（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），以搭成一个大正方体，至少还需要（ ）
A．36B．52C．54D．55
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．（3分）分解因式：﹣m+2m2﹣m3＝ ．
12．（3分）2024年我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥七号和嫦娥八号任务，已知月球与地球的平均距离约为384000000米 ．
13．（3分）抛物线y＝kx2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
14．（3分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，垂足为点E，且交BD于点F，垂足为点H，且交BD于点G，若BC＝2，CD＝ ．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣2，0）；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＝﹣15a，y1）D（0，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，7．正确的有 （填序号）．
三、作图题（本题满分4分）
17．（4分）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．
四、解答题（本大题满分68分，共有9道小题）
18．（8分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
19．（6分）某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．九年级（1）班的小明和小刚都想参加．现设计了如下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，这个游戏规则是否公平？并说明理由．
20．（6分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t＜45”，B组“45＜t＜60”，D组“75＜t＜90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，请补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 组内；
（4）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
21．（6分）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，B，D′三点共线，AD′＝40cm，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
22．（6分）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，……，和点B1，B2，B3，B4，……，分别在直线y＝kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），
【探究】
（1）点A1的坐标是 ；
（2）点A2的坐标是 ；
（3）点An的坐标是 （n为正整数）．
23．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝
（1）求反比例函数的表达式和点P的坐标；
（2）求△AOP的面积．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，连接BE、DF，已知∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接ED，BF，若∠ABE＝∠ADE，使四边形BEDF为正方形．
25．（10分）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，销售量为y千克．
（1）求出y与x的函数关系；
（2）当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
（3）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（4）为了在该批水果保质期内尽快销售完，且又要保证每天盈利不低于1500元，那么涨价多少元时可使销售量最大？最大销售量是多少？
26．（10分）已知，如图1，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝10cm，点G从点B出发，沿BC方向匀速运动，过点G作GH⊥BC交AB于点H；将平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，沿射线BC方向匀速运动，速度为2cm/s，△DEF也停止运动．设运动时间为t（0＜t≤8），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点F在线段GD的垂直平分线上？
（2）设四边形AHGD的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值？
（4）连接EG，试求当AG平分∠BAC时，四边形EGFD与四边形AHGE面积之比．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1．（3分）代数式2﹣1可以表示（ ）
A．2的相反数B．2的绝对值
C．2的倒数D．2的倒数的相反数
【解答】解：，
∴代数式2﹣3可以表示为2的倒数．
故选：C．
2．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（a3）3＝a6
C．﹣a2•（﹣a）4＝a6D．
【解答】解：A．÷×＝5；
B．（a3）8＝a9，故此选项不合题意；
C．﹣a2•（﹣a）6＝﹣a6，此选项不合题意；
D．＝1．
故选：D．
4．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，设1号车的平均速度为x km/h，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设1号车的平均速度为x km/h，则2号车的平均速度是6.2x km/h
，
故选：A．
5．（3分）甲、乙两位同学在射击选拔比赛中，各射击了5次，他们的成绩（单位：环）
设两人射击成绩的平均数依次为甲，乙，射击成绩的方差依次为S甲2，S乙2，则下列关系中完全正确的是（ ）
A．，S甲2＞S乙2
B．，S甲2＜S乙2
C．，S甲2＞S乙2
D．，S甲2＜S乙2
【解答】解：∵甲＝（8+10+7+7+8）÷5＝7，
乙＝（10+5+10+8+5）÷5＝8，
∴甲＝乙，
∵S甲5＝×[（4﹣8）2+（10﹣2）2+（7﹣3）2+（7﹣3）2+（8﹣6）2]＝1.5，
S乙2＝×[（10﹣8）2+（2﹣8）2+（10﹣3）2+（8﹣7）2+（7﹣6）2]＝3.2，
∴S甲2＜S乙2．
故选：B．
6．（3分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C是⊙O上一点，延长OC交过点A的切线于点P，若∠P＝40°（ ）
A．35°B．20°C．30°D．25°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AP与⊙O相切于点A，
∴AP⊥AB，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣∠P＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠AOC＝，
故选：D．
7．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（2，2）
【解答】解：设点C的坐标是C（x，y），
∵点A的坐标为（1，2），旋转角为90°，
∴x＝OB+AD＝6+2＝3，
y＝AB﹣CD＝8﹣1＝1，
∴点C的坐标是（6，1）．
故选：B．
8．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为21＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．x＜﹣2或x＞2D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2．
∵由函数图象可知，当x＞8或﹣2＜x＜0时，
∴当y2＞y2时，x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜0．
故选：A．
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，点B落在扇形BAC的弧AC的点B'处，点C的对应点为点C'（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
＝﹣（﹣）
＝π+，
故选：C．
10．（3分）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），以搭成一个大正方体，至少还需要（ ）
A．36B．52C．54D．55
【解答】解：由主视图可知，搭成的几何体有三层；由左视图可知；
第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，
共有10个正方体，
∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，
∴搭成的大正方体的共有3×4×4＝64个小正方体，
∴至少还需要64﹣10＝54个小正方体．
故选：C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．（3分）分解因式：﹣m+2m2﹣m3＝ ﹣m（m﹣1）2 ．
【解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+6）
＝﹣m（m﹣1）2，
故答案为：﹣m（m﹣6）2．
12．（3分）2024年我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥七号和嫦娥八号任务，已知月球与地球的平均距离约为384000000米 3.84×108 ．
【解答】解：384000000用科学记数法表示为3.84×108．
故答案为：5.84×108．
13．（3分）抛物线y＝kx2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【解答】解：∵y＝kx2﹣x+1为二次函数，
∴k≠7，
∵二次函数y＝kx2﹣x+1的图象与x轴有交点，
∴△＝3﹣4k×1≥5，
∴k≤且k≠5，
故答案为：k≤且k≠4．
14．（3分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为 y＝3x+5 ．
【解答】解：∵取出一个白球的概率P＝，
∴＝，
∴12+4x＝7+x+y，
∴y与x的函数关系式为：y＝2x+5．
故答案为：y＝3x+8．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，垂足为点E，且交BD于点F，垂足为点H，且交BD于点G，若BC＝2，CD＝ ．
【解答】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE＝FE，BF＝BC＝2，
同理：CH＝GH，DG＝CD＝，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE＝，
在矩形ABCD中，，，
由勾股定理得：BD＝，
∴GF＝BF+DG﹣BD＝，
∴HE＝，
故答案为：．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣2，0）；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＝﹣15a，y1）D（0，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，7．正确的有 ③④⑥ （填序号）．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，﹣，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①不符合题意．
②根据抛物线的轴对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点6﹣4ac＞0．
故②不符合题意；
③∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a．
∵当x＝﹣5时，y＝0．
∴4a﹣5b+c＝12a+c＝0，
∴c＝﹣12a＞0，
∴5a+c＜8a﹣12a＝﹣4a＞5，
故③符合题意；
④∵b＝﹣4a，c＝﹣12a，
∴9a+7b+c＝9a﹣12a﹣12a＝﹣15a．
故④符合题意；
⑤∵点C（3，y4），D（0，y2）是抛物线上的两点，
∴点C到直线x＝4的距离小于点D直线x＝2的距离，
∴y1＞y3．
故⑤不符合题意；
⑥由于图象过点（﹣3，n），
由对称性可知：图象也过点（7，n），
令y＝n，
∴ax7+bx+c＝n有两个解，分别是﹣3，7，
故⑥符合题意．
故答案为：③④⑥．
三、作图题（本题满分4分）
17．（4分）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．
【解答】解：如图所示：P点即为所求．
四、解答题（本大题满分68分，共有9道小题）
18．（8分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
【解答】解：（1）
＝6﹣1+﹣4
＝；
（2）÷（x2+8x）
＝•
＝•
＝．
19．（6分）某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．九年级（1）班的小明和小刚都想参加．现设计了如下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，这个游戏规则是否公平？并说明理由．
【解答】解：这个游戏规则不公平，
理由：由题意可得，树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，摸出的两个球上的数字和为奇数占8种，
所以P（奇数）＝＝，
P（偶数）＝＝，
因为，
所以这个游戏规则不公平．
20．（6分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t＜45”，B组“45＜t＜60”，D组“75＜t＜90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 100 ；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 72 度，请补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 C 组内；
（4）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：72；
（3）∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组；
故答案为：C；
（4）1800×＝1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
21．（6分）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，B，D′三点共线，AD′＝40cm，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【解答】解：（1）∵B为AD′中点，
∴AB＝AD′,
∵AD′＝40cm，
∴AB＝20cm；
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,
∵AB＝BD,
∴AD＝3AE,
∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,
∴∠BAE＝BAC＝70°,
在Rt△ABE中，AB＝20cm
∴AE＝AB•cs70°≈20×6.34＝6.8(cm),
∴AD＝5AE＝13.6(cm),
∵AD′＝40cm，
∴40﹣13.6＝26.6(cm)．
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．
22．（6分）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，……，和点B1，B2，B3，B4，……，分别在直线y＝kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），
【探究】
（1）点A1的坐标是 （3，） ；
（2）点A2的坐标是 （6，） ；
（3）点An的坐标是 （） （n为正整数）．
【解答】解：过点A1作x轴的垂线，垂足为M，
∵B1（2，0），B2（5，0），
∴OB1＝5，OB2＝4，
∴B6B2＝4﹣4＝2．
又∵A1B5＝A1B2，
∴，
∴OM＝5+1＝3．
∵∠B2A1B2＝60°，A4B1＝A1B5，
∴△A1B1B3是等边三角形，
∴∠A1B1B7＝60°．
又∵OB1＝A1B7＝2，
∴∠A1OM＝30°．
在Rt△A5OM中，
tan30°＝，
∴，
则点A1的坐标为（3，）．
故答案为：（3，）．
（2）同理可得，
点A4的坐标为（6，）．
故答案为：（6，）．
（3）依次类推，
点A3的坐标为（12，），
点A4的坐标为（24，），
…，
由此可见，点An的坐标为（）．
故答案为：（）．
23．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝
（1）求反比例函数的表达式和点P的坐标；
（2）求△AOP的面积．
【解答】解．（1）把点B（4，得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵把P（1，m）代入y＝＝4，
∴点P坐标为（4，4）；
（2）∵点A与点B关于原点对称，点B（4，
∴点A（﹣3，﹣1），
设AP与y轴交于点C，直线AP的函数关系式为y＝ax+b，
把点A（﹣4，﹣2），4）分别代入得，，
解得，
∴直线AP的函数关系式为y＝x+3，
∴点C的坐标（0，8），
∴S△AOP＝S△AOC+S△POC＝+＝．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，连接BE、DF，已知∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接ED，BF，若∠ABE＝∠ADE，使四边形BEDF为正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝CO，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBD＝∠FDO，
在△EBD与△FDO中，
，
∴△EBD≌△FDO（SAS），
∴BE＝DF；
（2）解：添加∠BED＝90°，
∵∠BED＝90°，OE⊥BD，
∴∠DEO＝∠EDO＝45°，BE＝DE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴BE∥DF，
∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵∠BED＝90°，BE＝DE，
∴四边形BEDF是正方形．
25．（10分）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，销售量为y千克．
（1）求出y与x的函数关系；
（2）当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
（3）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（4）为了在该批水果保质期内尽快销售完，且又要保证每天盈利不低于1500元，那么涨价多少元时可使销售量最大？最大销售量是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：y＝200﹣10x；
（2）设该商场每天获得的利润为W元，
∴W＝（5+x）（200﹣10x）
＝﹣10x2+150x+1000
＝﹣10（x﹣）2+1562.5，
∴当涨价2.5元时，该商场每天获得的利润最大；
（3）根据题意得：（5+x）（200﹣10x）＝1500，即x3﹣15x+50＝0，
解得：x1＝10，x4＝5，
∵要顾客得到实惠，
∴x1＝10舍去，
∴x＝7，
答：每千克应涨价5元；
（4）根据已知得：（5+x）（200﹣10x）≥1500，即﹣10x3+150x+1000≥1500，
∵W＝﹣10x2+150x+1000，a＝﹣10时开口向下，
∴5≤x≤10，
∵y＝﹣10x+200，k＝﹣10＜7，
∴y随x的增大而减少，
∴涨价5元时可使销售量最大，此时y最大＝﹣10×5+200＝150，
答：涨价2元时可使销售量最大，最大销售量是150千克．
26．（10分）已知，如图1，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝10cm，点G从点B出发，沿BC方向匀速运动，过点G作GH⊥BC交AB于点H；将平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，沿射线BC方向匀速运动，速度为2cm/s，△DEF也停止运动．设运动时间为t（0＜t≤8），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点F在线段GD的垂直平分线上？
（2）设四边形AHGD的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值？
（4）连接EG，试求当AG平分∠BAC时，四边形EGFD与四边形AHGE面积之比．
【解答】解：（1）由题意得：BG＝t，CF＝2t，AB＝10，
∴CG＝8﹣t，GF＝2﹣t+2t＝8+t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AB＝DF＝10，
∵点F在线段GD的垂直平分线上，
∴FG＝FD，
∴5+t＝10，
∴t＝2，
当t＝2s时，点F在线段GD的垂直平分线上．
（2）∵AC＝3cm，BC＝8cm，
∴AC2+BC7＝62+82＝102＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵GH⊥BC，
∴tan∠HBG＝＝，
∴，
∴GH＝t，
∵CF＝2t，
∴0＜t≤2，
∴点G在BC上，
∴S平行四边形ABFD＝BF•AC＝6（8+3t）＝48+12t，
S△BGH＝BG•GH＝，
S△GFD＝GF•AC＝，
∴S四边形AHGD＝S平行四边形ABFD﹣S△BGH﹣S△GFD
＝48+12t﹣﹣24﹣3t＝﹣．
（3）∵S＝﹣+2t+24（0＜t≤8），
∴抛物线的对称轴是：t＝12，
∵4＜t≤8时，S随t的增大而增大，
当t＝8s，四边形AHGD的面积最大+9×8+24＝72．
（4）如图3，连接AG，过点G作GN⊥AB于N，
∵AG平分∠BAC，∠ACB＝90°，
∴GN＝GC＝8﹣t，
∴sin∠NBG＝，
∴，
∴t＝5，
此时：GF＝4+t＝13，ED＝BC＝8，
∵tan∠HBG＝，
∴GH＝，
∴S四边形EGFD＝S△EGF+S△EFD＝×13×6+，
∴S四边形ABGE＝S△ABG+S△AGE＝×10×6＝45，
∴S△BGH＝＝，
∴S四边形AHGE＝S四边形ABGE﹣S△BGH＝45﹣＝，
∴S四边形EGFD：S四边形AHGE＝63：＝．第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
8
10
7
7
8
乙
10
5
10
8
7
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
8
10
7
7
8
乙
10
5
10
8
7
1．（3分）代数式2﹣1可以表示（ ）
A．2的相反数B．2的绝对值
C．2的倒数D．2的倒数的相反数
2．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（a3）3＝a6
C．﹣a2•（﹣a）4＝a6D．
4．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，设1号车的平均速度为x km/h，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）甲、乙两位同学在射击选拔比赛中，各射击了5次，他们的成绩（单位：环）
设两人射击成绩的平均数依次为甲，乙，射击成绩的方差依次为S甲2，S乙2，则下列关系中完全正确的是（ ）
A．，S甲2＞S乙2
B．，S甲2＜S乙2
C．，S甲2＞S乙2
D．，S甲2＜S乙2
6．（3分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C是⊙O上一点，延长OC交过点A的切线于点P，若∠P＝40°（ ）
A．35°B．20°C．30°D．25°
7．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（2，2）
8．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为21＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．x＜﹣2或x＞2D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，点B落在扇形BAC的弧AC的点B'处，点C的对应点为点C'（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），以搭成一个大正方体，至少还需要（ ）
A．36B．52C．54D．55
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．（3分）分解因式：﹣m+2m2﹣m3＝ ．
12．（3分）2024年我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥七号和嫦娥八号任务，已知月球与地球的平均距离约为384000000米 ．
13．（3分）抛物线y＝kx2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
14．（3分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，垂足为点E，且交BD于点F，垂足为点H，且交BD于点G，若BC＝2，CD＝ ．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣2，0）；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＝﹣15a，y1）D（0，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，7．正确的有 （填序号）．
三、作图题（本题满分4分）
17．（4分）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．
四、解答题（本大题满分68分，共有9道小题）
18．（8分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
19．（6分）某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．九年级（1）班的小明和小刚都想参加．现设计了如下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，这个游戏规则是否公平？并说明理由．
20．（6分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t＜45”，B组“45＜t＜60”，D组“75＜t＜90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，请补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 组内；
（4）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
21．（6分）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，B，D′三点共线，AD′＝40cm，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
22．（6分）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，……，和点B1，B2，B3，B4，……，分别在直线y＝kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），
【探究】
（1）点A1的坐标是 ；
（2）点A2的坐标是 ；
（3）点An的坐标是 （n为正整数）．
23．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝
（1）求反比例函数的表达式和点P的坐标；
（2）求△AOP的面积．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，连接BE、DF，已知∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接ED，BF，若∠ABE＝∠ADE，使四边形BEDF为正方形．
25．（10分）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，销售量为y千克．
（1）求出y与x的函数关系；
（2）当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
（3）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（4）为了在该批水果保质期内尽快销售完，且又要保证每天盈利不低于1500元，那么涨价多少元时可使销售量最大？最大销售量是多少？
26．（10分）已知，如图1，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝10cm，点G从点B出发，沿BC方向匀速运动，过点G作GH⊥BC交AB于点H；将平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，沿射线BC方向匀速运动，速度为2cm/s，△DEF也停止运动．设运动时间为t（0＜t≤8），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点F在线段GD的垂直平分线上？
（2）设四边形AHGD的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值？
（4）连接EG，试求当AG平分∠BAC时，四边形EGFD与四边形AHGE面积之比．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1．（3分）代数式2﹣1可以表示（ ）
A．2的相反数B．2的绝对值
C．2的倒数D．2的倒数的相反数
【解答】解：，
∴代数式2﹣3可以表示为2的倒数．
故选：C．
2．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（a3）3＝a6
C．﹣a2•（﹣a）4＝a6D．
【解答】解：A．÷×＝5；
B．（a3）8＝a9，故此选项不合题意；
C．﹣a2•（﹣a）6＝﹣a6，此选项不合题意；
D．＝1．
故选：D．
4．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，设1号车的平均速度为x km/h，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设1号车的平均速度为x km/h，则2号车的平均速度是6.2x km/h
，
故选：A．
5．（3分）甲、乙两位同学在射击选拔比赛中，各射击了5次，他们的成绩（单位：环）
设两人射击成绩的平均数依次为甲，乙，射击成绩的方差依次为S甲2，S乙2，则下列关系中完全正确的是（ ）
A．，S甲2＞S乙2
B．，S甲2＜S乙2
C．，S甲2＞S乙2
D．，S甲2＜S乙2
【解答】解：∵甲＝（8+10+7+7+8）÷5＝7，
乙＝（10+5+10+8+5）÷5＝8，
∴甲＝乙，
∵S甲5＝×[（4﹣8）2+（10﹣2）2+（7﹣3）2+（7﹣3）2+（8﹣6）2]＝1.5，
S乙2＝×[（10﹣8）2+（2﹣8）2+（10﹣3）2+（8﹣7）2+（7﹣6）2]＝3.2，
∴S甲2＜S乙2．
故选：B．
6．（3分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C是⊙O上一点，延长OC交过点A的切线于点P，若∠P＝40°（ ）
A．35°B．20°C．30°D．25°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AP与⊙O相切于点A，
∴AP⊥AB，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣∠P＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠AOC＝，
故选：D．
7．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（2，2）
【解答】解：设点C的坐标是C（x，y），
∵点A的坐标为（1，2），旋转角为90°，
∴x＝OB+AD＝6+2＝3，
y＝AB﹣CD＝8﹣1＝1，
∴点C的坐标是（6，1）．
故选：B．
8．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为21＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．x＜﹣2或x＞2D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2．
∵由函数图象可知，当x＞8或﹣2＜x＜0时，
∴当y2＞y2时，x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜0．
故选：A．
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，点B落在扇形BAC的弧AC的点B'处，点C的对应点为点C'（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
＝﹣（﹣）
＝π+，
故选：C．
10．（3分）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），以搭成一个大正方体，至少还需要（ ）
A．36B．52C．54D．55
【解答】解：由主视图可知，搭成的几何体有三层；由左视图可知；
第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，
共有10个正方体，
∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，
∴搭成的大正方体的共有3×4×4＝64个小正方体，
∴至少还需要64﹣10＝54个小正方体．
故选：C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．（3分）分解因式：﹣m+2m2﹣m3＝ ﹣m（m﹣1）2 ．
【解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+6）
＝﹣m（m﹣1）2，
故答案为：﹣m（m﹣6）2．
12．（3分）2024年我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥七号和嫦娥八号任务，已知月球与地球的平均距离约为384000000米 3.84×108 ．
【解答】解：384000000用科学记数法表示为3.84×108．
故答案为：5.84×108．
13．（3分）抛物线y＝kx2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【解答】解：∵y＝kx2﹣x+1为二次函数，
∴k≠7，
∵二次函数y＝kx2﹣x+1的图象与x轴有交点，
∴△＝3﹣4k×1≥5，
∴k≤且k≠5，
故答案为：k≤且k≠4．
14．（3分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为 y＝3x+5 ．
【解答】解：∵取出一个白球的概率P＝，
∴＝，
∴12+4x＝7+x+y，
∴y与x的函数关系式为：y＝2x+5．
故答案为：y＝3x+8．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，垂足为点E，且交BD于点F，垂足为点H，且交BD于点G，若BC＝2，CD＝ ．
【解答】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE＝FE，BF＝BC＝2，
同理：CH＝GH，DG＝CD＝，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE＝，
在矩形ABCD中，，，
由勾股定理得：BD＝，
∴GF＝BF+DG﹣BD＝，
∴HE＝，
故答案为：．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣2，0）；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＝﹣15a，y1）D（0，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，7．正确的有 ③④⑥ （填序号）．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，﹣，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①不符合题意．
②根据抛物线的轴对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点6﹣4ac＞0．
故②不符合题意；
③∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a．
∵当x＝﹣5时，y＝0．
∴4a﹣5b+c＝12a+c＝0，
∴c＝﹣12a＞0，
∴5a+c＜8a﹣12a＝﹣4a＞5，
故③符合题意；
④∵b＝﹣4a，c＝﹣12a，
∴9a+7b+c＝9a﹣12a﹣12a＝﹣15a．
故④符合题意；
⑤∵点C（3，y4），D（0，y2）是抛物线上的两点，
∴点C到直线x＝4的距离小于点D直线x＝2的距离，
∴y1＞y3．
故⑤不符合题意；
⑥由于图象过点（﹣3，n），
由对称性可知：图象也过点（7，n），
令y＝n，
∴ax7+bx+c＝n有两个解，分别是﹣3，7，
故⑥符合题意．
故答案为：③④⑥．
三、作图题（本题满分4分）
17．（4分）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．
【解答】解：如图所示：P点即为所求．
四、解答题（本大题满分68分，共有9道小题）
18．（8分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
【解答】解：（1）
＝6﹣1+﹣4
＝；
（2）÷（x2+8x）
＝•
＝•
＝．
19．（6分）某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．九年级（1）班的小明和小刚都想参加．现设计了如下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，这个游戏规则是否公平？并说明理由．
【解答】解：这个游戏规则不公平，
理由：由题意可得，树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，摸出的两个球上的数字和为奇数占8种，
所以P（奇数）＝＝，
P（偶数）＝＝，
因为，
所以这个游戏规则不公平．
20．（6分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t＜45”，B组“45＜t＜60”，D组“75＜t＜90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 100 ；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 72 度，请补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 C 组内；
（4）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：72；
（3）∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组；
故答案为：C；
（4）1800×＝1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
21．（6分）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，B，D′三点共线，AD′＝40cm，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【解答】解：（1）∵B为AD′中点，
∴AB＝AD′,
∵AD′＝40cm，
∴AB＝20cm；
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,
∵AB＝BD,
∴AD＝3AE,
∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,
∴∠BAE＝BAC＝70°,
在Rt△ABE中，AB＝20cm
∴AE＝AB•cs70°≈20×6.34＝6.8(cm),
∴AD＝5AE＝13.6(cm),
∵AD′＝40cm，
∴40﹣13.6＝26.6(cm)．
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．
22．（6分）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，……，和点B1，B2，B3，B4，……，分别在直线y＝kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），
【探究】
（1）点A1的坐标是 （3，） ；
（2）点A2的坐标是 （6，） ；
（3）点An的坐标是 （） （n为正整数）．
【解答】解：过点A1作x轴的垂线，垂足为M，
∵B1（2，0），B2（5，0），
∴OB1＝5，OB2＝4，
∴B6B2＝4﹣4＝2．
又∵A1B5＝A1B2，
∴，
∴OM＝5+1＝3．
∵∠B2A1B2＝60°，A4B1＝A1B5，
∴△A1B1B3是等边三角形，
∴∠A1B1B7＝60°．
又∵OB1＝A1B7＝2，
∴∠A1OM＝30°．
在Rt△A5OM中，
tan30°＝，
∴，
则点A1的坐标为（3，）．
故答案为：（3，）．
（2）同理可得，
点A4的坐标为（6，）．
故答案为：（6，）．
（3）依次类推，
点A3的坐标为（12，），
点A4的坐标为（24，），
…，
由此可见，点An的坐标为（）．
故答案为：（）．
23．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝
（1）求反比例函数的表达式和点P的坐标；
（2）求△AOP的面积．
【解答】解．（1）把点B（4，得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵把P（1，m）代入y＝＝4，
∴点P坐标为（4，4）；
（2）∵点A与点B关于原点对称，点B（4，
∴点A（﹣3，﹣1），
设AP与y轴交于点C，直线AP的函数关系式为y＝ax+b，
把点A（﹣4，﹣2），4）分别代入得，，
解得，
∴直线AP的函数关系式为y＝x+3，
∴点C的坐标（0，8），
∴S△AOP＝S△AOC+S△POC＝+＝．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，连接BE、DF，已知∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接ED，BF，若∠ABE＝∠ADE，使四边形BEDF为正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝CO，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBD＝∠FDO，
在△EBD与△FDO中，
，
∴△EBD≌△FDO（SAS），
∴BE＝DF；
（2）解：添加∠BED＝90°，
∵∠BED＝90°，OE⊥BD，
∴∠DEO＝∠EDO＝45°，BE＝DE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴BE∥DF，
∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵∠BED＝90°，BE＝DE，
∴四边形BEDF是正方形．
25．（10分）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，销售量为y千克．
（1）求出y与x的函数关系；
（2）当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
（3）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（4）为了在该批水果保质期内尽快销售完，且又要保证每天盈利不低于1500元，那么涨价多少元时可使销售量最大？最大销售量是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：y＝200﹣10x；
（2）设该商场每天获得的利润为W元，
∴W＝（5+x）（200﹣10x）
＝﹣10x2+150x+1000
＝﹣10（x﹣）2+1562.5，
∴当涨价2.5元时，该商场每天获得的利润最大；
（3）根据题意得：（5+x）（200﹣10x）＝1500，即x3﹣15x+50＝0，
解得：x1＝10，x4＝5，
∵要顾客得到实惠，
∴x1＝10舍去，
∴x＝7，
答：每千克应涨价5元；
（4）根据已知得：（5+x）（200﹣10x）≥1500，即﹣10x3+150x+1000≥1500，
∵W＝﹣10x2+150x+1000，a＝﹣10时开口向下，
∴5≤x≤10，
∵y＝﹣10x+200，k＝﹣10＜7，
∴y随x的增大而减少，
∴涨价5元时可使销售量最大，此时y最大＝﹣10×5+200＝150，
答：涨价2元时可使销售量最大，最大销售量是150千克．
26．（10分）已知，如图1，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝10cm，点G从点B出发，沿BC方向匀速运动，过点G作GH⊥BC交AB于点H；将平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，沿射线BC方向匀速运动，速度为2cm/s，△DEF也停止运动．设运动时间为t（0＜t≤8），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点F在线段GD的垂直平分线上？
（2）设四边形AHGD的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值？
（4）连接EG，试求当AG平分∠BAC时，四边形EGFD与四边形AHGE面积之比．
【解答】解：（1）由题意得：BG＝t，CF＝2t，AB＝10，
∴CG＝8﹣t，GF＝2﹣t+2t＝8+t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AB＝DF＝10，
∵点F在线段GD的垂直平分线上，
∴FG＝FD，
∴5+t＝10，
∴t＝2，
当t＝2s时，点F在线段GD的垂直平分线上．
（2）∵AC＝3cm，BC＝8cm，
∴AC2+BC7＝62+82＝102＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵GH⊥BC，
∴tan∠HBG＝＝，
∴，
∴GH＝t，
∵CF＝2t，
∴0＜t≤2，
∴点G在BC上，
∴S平行四边形ABFD＝BF•AC＝6（8+3t）＝48+12t，
S△BGH＝BG•GH＝，
S△GFD＝GF•AC＝，
∴S四边形AHGD＝S平行四边形ABFD﹣S△BGH﹣S△GFD
＝48+12t﹣﹣24﹣3t＝﹣．
（3）∵S＝﹣+2t+24（0＜t≤8），
∴抛物线的对称轴是：t＝12，
∵4＜t≤8时，S随t的增大而增大，
当t＝8s，四边形AHGD的面积最大+9×8+24＝72．
（4）如图3，连接AG，过点G作GN⊥AB于N，
∵AG平分∠BAC，∠ACB＝90°，
∴GN＝GC＝8﹣t，
∴sin∠NBG＝，
∴，
∴t＝5，
此时：GF＝4+t＝13，ED＝BC＝8，
∵tan∠HBG＝，
∴GH＝，
∴S四边形EGFD＝S△EGF+S△EFD＝×13×6+，
∴S四边形ABGE＝S△ABG+S△AGE＝×10×6＝45，
∴S△BGH＝＝，
∴S四边形AHGE＝S四边形ABGE﹣S△BGH＝45﹣＝，
∴S四边形EGFD：S四边形AHGE＝63：＝．第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
8
10
7
7
8
乙
10
5
10
8
7
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
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10
7
7
8
乙
10
5
10
8
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