2022-2023学年四川省遂宁中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年四川省遂宁中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知向量与共线，下列说法正确的是（    ）

A．或 B．与平行

C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得

【答案】B

【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.

【详解】向量与共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；

向量与共线，则与平行，故B正确；

为零向量，则满足与共线，方向不一定相同或相反；故C错；

当，时，满足与共线，但不存在实数，使得，故D错.

故选：B.

【点睛】本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型.

2．已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由同角三角函数的基本关系求解

【详解】由题意得，则，

故选：D

3．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.

【详解】因为在矩形中，为中点，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.

4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；

【详解】解：设圆的半径为，则，，

由勾股定理可得，即，

解得，所以，，

所以，因此.

故选：B

5．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性可判断的大小，利用正切函数的单调性可判断的范围，从而可得正确的选项.

【详解】，，

因为，故，

而，

因为，故，故，

综上，，

故选：A

6．记函数(其中，)的图像为，已知的部分图像如图所示，为了得到函数，只要把上所有的点（    ）

A．向右平行移动个单位长度

B．向左平行移动个单位长度

C．向右平行移动个单位长度

D．向左平行移动个单位长度

【答案】A

【解析】根据图象可得周期，求出，根据图象上最低点求出，再根据平移变换可得结果.

【详解】由图象可知周期，所以，

又图象上一个最低点为，所以，

所以，，即，，

因为，所以，所以，

所以为了得到函数，只要把上所有的点向右平行移动个单位长度.

故选：A

【点睛】关键点点睛：根据图象求出和是解题关键.

7．已知，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】先求出，再求出，最后可求.

【详解】因为，故，

因为，故，而，

故，所以，

故，

所以，

故选：B

8．已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（    ）

A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]

【答案】A

【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围.

【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，

，

，且，

时，取最小值时，取最大值，

∴的取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题.

二、多选题

9．下列各式中，结果为零向量的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.

【详解】对于选项：，选项不正确；

对于选项： ，选项正确；

对于选项：，选项不正确；

对于选项：

选项正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

10．下列说法正确的有（    ）

A．若，则为第二象限角

B．经过60分钟，钟表的分针转过弧度

C．

D．终边在轴上的角的集合是

【答案】ABD

【分析】根据三角函数的定义可判断A的正误，根据角的概念可判断BD的正误，根据两角和的正弦可判断C的正误.

【详解】因为，则为第二象限角，故A正确.

经过60分钟，钟表的分针顺时针转一周，故对应的角为弧度，故B正确.

，故C错误.

终边在轴上的角的集合是，故D正确.

故选：ABD.

11．已知为整数，若函数在上有零点，则满足题意的可以是下列哪些数（　　）

A．0 B．2 C．4 D．6

【答案】ABC

【分析】设，则函数在上有零点等价于方程在上有解，即可根据二次函数的性质求出的范围．

【详解】因为,设，，

则，即，

亦即．

故选：ABC．

12．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．直线必过边的中点

C．

D．若，且，则

【答案】ACD

【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.

【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且，

可得，即，

即，所以，所以A是正确的；

在中，设为的中点，

由，可得，

所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；

由，可得且，

所以，所以，可得，所以

所以，所以C正确；

由，可得

因为，且，

可得，

所以，所以D是正确的.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

三、填空题

13．若向量，，，则___________.

【答案】

【分析】由向量线性运算的坐标表示计算．

【详解】由已知．

故答案为：．

14．已知，则__________.

【答案】/

【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以

故答案为：

15．已知函数，若对一切恒成立，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】根据题意可得在时取得最值，由可解得结果.

【详解】因为对一切恒成立，

所以在时取得最值，

因为，其中,,

所以，

所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了最大值的定义，考查了正弦函数的最值，考查了辅助角公式，属于中档题.

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．

【答案】

【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.

【详解】∵，，

∴，

∴，，

∴，

∵,

,，

故答案为：.

四、解答题

17．设，为两个不共线的向量，若，.

（Ⅰ）若，求实数的值；

（Ⅱ）若，是夹角为的单位向量，且，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出，再建立方程求解即可；

（2）先求出，再建立方程求解即可.

【详解】解：（1）因为，，

所以，

因为，则，，则

所以，解得，

（2）因为，是夹角为的单位向量，所以

，

解得：

【点睛】本题考查利用向量共线与向量垂直求参数，是基础题

18．（1）化简：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用诱导公式进行求解即可；

（2）利用二倍角公式和同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】（1）＝；

（2），

，

因此.

19．设函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式以及及二倍角余弦公式将展开合并可得，利用正弦函数的单调性列出不等式可得函数的单调递减区间；（2）利用化简结果及，求出，，结合角的范围解出，使用差角的余弦公式计算即可得结果.

试题解析：（1） ．

当，即 时递增，递减．所以，函数的单调递减区间为．

（2）由，，得，，

∵，则，∴．

．

∴

．

【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.

的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.

20．已知向量，，.

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.

【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.

【解析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围可求得的值；

（2）将函数化简为，根据的范围可求得的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.

【详解】解:（1）因为，

所以，

于是，

又，所以；

（2）

.

因为，所以，

从而

于是，当，即时，取到最大值2；

当，即时，取到最小值.

【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.

21．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．

(1)求的表达式；

(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．

【答案】(1) ，;(2) 8小时.

【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；

(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.

【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，

所以，，，

所以，解得．

所以，．

(2)由(1)得，，

所以，

所以，

解得，

因为，

所以，．

所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．

22．在的边，上分别有一点，，已知，，连接，，设它们交于点，若，.

（1）用与表示；

（2）过作，垂足为，若，，与的夹角，求的范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用三点共线和三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；

（2）设，利用，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到关于的函数形式，利用的范围即可求得结果.

【详解】

（1）设，

三点共线，，

又，，；

设，同理可得：，，

不共线，，，解得：，，

即.

（2）设，则，

，

又，

，，

，

整理可得：，

，，，

即的取值范围为.

【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用表示出，再结合数量积的运算律来进行求解.