四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022~2023学年度下期高中2022级期中联考

数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名，班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码结贴处”．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．

3，考试结束后由监考老师将答题卡收回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，，

故.

故选：B

2. 已知角，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据范围得到，再利用和差公式计算得到答案.

【详解】，则，

则.

故选：D.

3. 下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；

对于B，定义域为，，为偶函数；

由余弦函数性质知：在上单调递减，B错误；

对于C，定义域为，，为奇函数，C错误；

对于D，定义域为，，为偶函数；

当时，，

由正弦函数性质知：在上单调递增，即在上单调递增，D正确.

故选：D.

4. 若为奇函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】为奇函数，则，得到答案.

【详解】为奇函数，则，

，故.

故选：C.

5. 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C. 与共线 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，正确；

对选项C：与不共线，错误；

对选项D：向量不能比较大小，错误.

故选：B.

6. 已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】确定，变换得到，解得答案.

【详解】角为斜三角形的内角，则，

，即，故.

故选：D

7. 函数的最大值为（    ）

A.  B. 1 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】变换得到，计算最值得到答案.

【详解】

，

当时，函数有最大值为.

故选：C

8. 已知函数在上恰有2个不同的零点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将化为，由x的范围确定，结合正弦函数的零点即可求得答案.

【详解】由题意可得，

由，得，

因为函数在上恰有2个不同的零点，

所以，即，

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 下列大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性及函数值的范围依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，在上单调递减，，

又，，A正确；

对于B，在上单调递减，，，B正确；

对于C，当时，；当时，；

，C错误；

对于D，，，，D正确.

故选：ABD.

10. 下列各式中，值可以是是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据三角函数的和差公式及二倍角公式依次计算每个选项得到答案.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：，，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：，错误.

故选：AC

11. 已知函数，其中的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（    ）

A. 的一条对称轴为

B. 若，则有是的整数倍

C. 的图象关于对称

D. 若，函数的值域为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意求得，对于A：说明为一条对称轴；对于B：两个零点之间相差半个周期的整数倍；对于C：验证是否为的零点；对于D：先求出的范围，再求的值域.

【详解】因为的最小正周期为，所以，所以，

对于A：因为，所以的一条对称轴为，故A正确；

所以，所以，因为，所以，所以，

对于B：由得，

所以，所以，故B正确；

对于C：因为，所以不是的图象的对称中心，故C错误；

对于D：由得，所以，故D正确.

故选：ABD

12. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】化简得到，得到，确定，计算得到，依次计算每个选项得到答案.

【详解】，

故，，故；

，则，

，解得或（舍）.

对选项A：，错误；

对选项B：，正确；

对选项C：，错误；

对选项D：，正确；

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】定义域满足 .

【详解】的定义域满足 ，即 .

故答案为：.

14. 已知，，________．

【答案】##

【解析】

【分析】变换得到，确定，计算得到答案.

【详解】，，则，

，，故.

故答案为：

15. 如图，一个筒车按逆时针方向旋转，每分钟转5圈，若从盛水筒P刚出水面开始计时，则盛水筒到水面的距离y（单位：m）（水面下则y为负数）与时间t（单位：s）之间的关系式为，盛水筒至少经过________s能到达距离水面的位置．

【答案】

【解析】

【分析】计算，得到，取，解得答案.

【详解】当时，，即，，故，

，故，故，

取，即，

设盛水筒第一次达到的时间为，则，解得.

故答案为：

16. 已知函数，，恒成立，则________．

【答案】

【解析】

【分析】化简得到，，则，计算得到答案.

【详解】，取，，

当，即，取最大值，

即，

.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知锐角的终边与单位圆的交点P的纵坐标为，将角的终边逆时针旋转后，得到角的终边与单位圆交于点Q．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）确定得到，代入计算得到答案.

（2），利用正切的和差公式计算得到答案.

【小问1详解】

，，则，.

【小问2详解】

，，.

18. 函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）求的单调递增区间．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的图象可确定A以及函数周期，进而求得，利用最值求得，即得函数解析式；

（2）利用正弦函数的单调性即可求得答案.

【小问1详解】

由函数图象可得,

即，

根据图象可得 ，解得，

图为，所以，所以；

【小问2详解】

令，解得 ，

故的单调递增区间为.

19. 已知锐角，，且满足，．

（1）求；

（2）求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出和，利用两角和的正弦弦公式求出；

（2）根据同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求，结合角的范围可得答案.

【小问1详解】

因为，是锐角，所以由，，

∵为锐角，，且，∴，

，，，

所以，

，

.

【小问2详解】

因为是锐角，由，则，

由，，所以，

，

∵，∴．

20. 已知函数的最大值为1．

（1）求实数a的值；

（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

【答案】（1）0    （2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，结合函数的最大值即可求得答案；

（2）根据三角函数图像的平移以及伸缩变换规律，可得的解析式，将在上有两个不同的解，转化为在上有两个不同的解，数形结合，结合正弦函数性质，即可求得答案.

【小问1详解】

函数

,

由于函数的最大值为1,故.

【小问2详解】

由题意可得，

故，

则在上有两个不同的解，

即相当于即在上有两个不同的解，

此时，

令 ，作出函数的图象，如图：

结合图象可知.

21. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．

（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；

（2）当变化时，求的最大值及对应的值．

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）设正方形的边长为，则，，计算得到，代入数据计算得到答案.

（2）确定，，计算，根据函数的单调性计算最值得到答案.

【小问1详解】

设正方形的边长为，则，，

则，，，即，

整理得到，

当时，.

【小问2详解】

，，

，则，，

则

在上单调递减，故，

故的最大值为，此时，，故.

22. 已知．

（1）当时，求的x的取值范围；

（2）是否存在实数，使得不等式，对任意的恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简得到，代入得到，解得答案.

（2）代入数据化简不等式，设，，变换得到，设，计算最大值得到答案.

【小问1详解】

.

，即，

故，解得.

【小问2详解】

，

即，

即，

设，则，

，，则，

，

故，即，

设，

，

故，解得，即.