2022北京石景山区高二下学期期末考试数学试题含解析

2022年北京市石景山区高二下学期期末

数学试卷

本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知等差数列的通项公式为, 则它的公差是

A.  B.  C. 2 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】求得，由此求得公差.

【详解】依题意，故公差为，故选B.

【点睛】本小题主要考查利用等差数列通项公式求等差数列的公差，属于基础题.

2. 如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（    ）

A. 12千米/小时 B. 24千米/小时 C. 48千米/小时 D. 64千米/小时

【答案】C

【解析】

【分析】

对v求导，代入t值即可.

【详解】由，则当，

故选：C.

【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数概念的问题，属于基础题.

3. 一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（   ）

A. 4种 B. 12种 C. 24种 D. 120种

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，只需将四名同学排序即可，进而根据排序问题求解即可.

【详解】根据题意，一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，只需将四名同学排序，

所以，不同的站法为种.

故选：C

4. 在的展开式中，含项的系数为（    ）

A. 21 B. －21 C. 35 D. －35

【答案】D

【解析】

【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得；

【详解】解：二项式展开式的通项为，

令，解得，所以含项的系数为；

故选：D

5. 已知曲线在处切线方程是，则与分别为　　

A. 5， B. ，5 C. ，0 D. 0，

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，

得到纵坐标即f（5）．

【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．

故选D．

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．

6. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】依题意,,故.故选B.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

7. 下列命题错误的是（    ）

A. 随机变量，若，则

B. 线性回归直线一定经过样本点的中心

C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

D. 设，且，则

【答案】D

【解析】

【分析】对A，根据二项分布的数学期望求解即可；

对B，根据回归直线的性质判断即可；

对C，根据相关系数的性质判断即可；

对D，根据正态分布的对称性判断即可

【详解】对A，随机变量，若，则，即，故A正确；

对B，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；

对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确；

对D，设，且，则，故D错误；

故选：D

8. 已知数列前项和为，若，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列前项和公式求出数列通项，再利用裂项相消法即可得解.

【详解】解：，

所以.

故选：C.

9. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】令，转化为，设，利用导数求得函数单调性和最值，把函数的零点，转化为与的图像有两个交点，结合图像，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，

令，即，即，

设，可得，

当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

又，作出简图，如图所示，

要使得函数有两个零点，

只需与的图像有两个交点，所以，

即实数的取值范围是.

故选：A.

10. 等差数列前项和为，前项积为，已知，，则（    ）

A. 有最小值，有最小值 B. 有最大值，有最大值

C. 有最小值，有最大值 D. 有最大值，有最小值

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件求得，进而求得，结合数列的有关性质确定正确选项.

【详解】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.

…

…

当时：，且为递减数列，故有最大值，没有最小值.

故选：C

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．

11. 离散型随机变量的分布列如下表：

则_________；_________．

【答案】    ①.     ②. ##0.5

【解析】

【分析】根据分布列的性质求出参数，再计算期望和方差.

【详解】由分布列可知：，得；

所以；

.

故答案为：；.

12. 在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）

【答案】    ①. 16    ②. 256

【解析】

【分析】根据二项式系数和公式求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.

【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；

令，，即各项系数和为.

故答案为：①；②.

13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解

【详解】，因为函数在上是单调函数，

故只能满足在上恒成立，即，，解得

故答案为:

14. 在数列中，，，，则_________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可.

【详解】由，可得，

从而可得：，，，

故数列是周期为3的数列，

可得：

故答案为：

15. 若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或（和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，有下列命题：

①直线为和的“隔离直线”．

②若为和的“隔离直线”，则的范围为．

③存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”．

④和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为．

其中所有正确命题的序号是_________．

【答案】①④

【解析】

【分析】根据“隔离直线”的定义逐个分析判断即可

【详解】对于①，因为当时，，，所以直线为和的“隔离直线”，所以①正确，

对于②，因为为和的“隔离直线”，所以恒成立，所以，所以，

恒成立，所以恒成立，

因为，当且仅当即时取等号，所以，

综上，所以②错误，

对于③④，设，之间的隔离直线为，即，恒成立，所以，所以，

因为（），所以（）恒成立，

当时，不合题意，

当时，符合题意，

当时，令，对称轴为，

所以只需满足，

所以且，

所以，所以，

同理可得，

所以和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为， 和之间有无数条“隔离直线”，且实数不唯一，所以③错误，④正确，

故答案为：①④

三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】（1）由题意可得，

即，

解得：，∴，

∴数列的通项公式为．

（2），

==．

17. 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．

（1）求恰有2次击中目标的概率；

（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记为射手射击3次后的总得分，求的概率分布列与数学期望．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）先记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，根据题中条件，即可得出结果；

（2）先由题意确定的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可.

【详解】（1）记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，

因为射手每次射击击中目标的概率是，

所以；

（2）由题意可得，的可能取值为，

；；

，，

；

所以的分布列如下：

因此，.

【点睛】本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及分布列与期望的概念即可，属于常考题型.

18. 已知函数，当时，取得极值．

（1）求，的值；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，求出a，b的值；

（2）问题转化为f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

【小问1详解】

由，

当x=1时，f（x）的极值为﹣3，

∴，解得：，经检验，符合题意.

【小问2详解】

f（x）+2m2﹣m≥0对任意x＞0恒成立，

即f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，

即

由（1）知，，

由得x＜0或x＞1，由得0＜x＜1

∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减

所以当x=1，

∴，即，

∴或，即的取值范围为.

19. 某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．

（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）

【答案】（1）男员工抽取3人，女员工抽取2人   

（2）分布列见解析，数学期望为   

（3）

【解析】

【分析】（1）求出男员工与女员工的人数比，从而利用分层抽样求出抽取的5人中男、女员工的人数；（2）求出的可能取值及对应的概率，求出分布列，数学期望；（3）计算出这5名员工笔试成绩与考核成绩的平均值，进而求出，，比较出大小.

【小问1详解】

男员工与女员工的人数比例为，所以抽取的5人中男员工的人数为人，女员工人数为人，

【小问2详解】

的可能取值为，

，，，

所以的分布列为：

数学期望为

【小问3详解】

设这5名员工笔试成绩的平均数为，

考核成绩的平均数为，

所以，

所以.

20. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）存在，当时，恒有，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出，求导，得到，利用点斜式求出切线方程；

（2）结合第一问求解出为曲线在点的切线方程，从而先求解当时，

构造，求导后得到函数单调性，求出，不合题意；

再考虑时，，因此不存在，不合要求；

最后考虑时，存在，满足要求，求出答案.

【小问1详解】

定义域为，

，

所以，

故曲线在点处的切线方程为：

【小问2详解】

当时，设，

则

因，所以，所以在上单调递减，

所以当时，，

所以当时，，不合要求；

当时，，所以，因此不存在，不合要求；

当时，设，，

则，

令，即，

解得：，，

所以当时，，所以在上单调递增，

取，所以当时，，

，

综上：实数的取值范围是

【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，一般需要构造函数来进行求解，本题中要抓住关键点，就是第一问提供的思路，首先考虑，进而在考虑其他情况，求出答案.