2024届高考数学复习第一轮讲练测专题7.6 数学归纳法 教师版

这是一份2024届高考数学复习第一轮讲练测专题7.6 数学归纳法 教师版，共27页。试卷主要包含了已知数列{an}满足等内容，欢迎下载使用。

专题7.6 数学归纳法
练基础

1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.
【详解】
当时，左边，共个连续自然数相加，
当时，左边，
所以从到，等式左边需增添的项是.
故选：C.
2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
【答案】B
【解析】
直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．
【详解】
解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，
不是，因为是偶数，是奇数，
故选：．
3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
【答案】C
【解析】
根据数学归纳法、不等式特点知有左侧，有左侧，即可判断增加的项数.
【详解】
时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，
增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，
故选：C.
4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.
【详解】
根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，
右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.
故选：B.
5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“” 的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，
左边为
故增加的项数为项.
故答案为：C.
6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．
【答案】5
【解析】
分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.
【详解】
当时，原式为：，
当时，原式为，
比较后可知多了，共5项.
故答案为：5
7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
【答案】
【解析】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
①，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
则，

，也满足，
结合①②可知，，故答案为．
8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列an中，a1=1,an+1=1+an1+ann∈N*用数学归纳法证明：an 【答案】见解析.
【解析】
当n=1时，a2=1+a11+a1=32，a1 假设n=k（k∈N*）时，ak ak+2-ak+1=1+ak+11+ak+1-ak+1=1+ak+11+ak+1-(1+ak1+ak) =11+ak-11+ak+1
=ak+1-ak(1+ak)(1+ak+1)>0，
所以，n=k+1时，不等式成立．
综上所述，不等式an 9.（2021·全国高三专题练习）数列满足.
（1）计算，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】(1) ；；；.
(2)证明见解析.
【详解】
分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.
详解：
（1）当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
由此猜想；
（2）证明：①当时，结论成立，
②假设（，且）时结论成立，即，
当时， ，
∴，∴，
∴当时结论成立，
由①②可知对于一切的自然数，成立.
10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：，点在直线上．
（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．
【答案】（1），，；；（2）证明见解析.
【解析】
（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；
（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.
【详解】
(1)点在直线上可知，数列满足： ，
，．可猜得．
(2)当时，成立，
假设当时，成立，
则当时，成立，
就是说，猜想正确；
综上，．
练提升TIDHNEG

1．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.
【详解】
因为数列满足，，
若，则，不满足，故A错误；
若，则，，，
不满足，故D错误；
又此时，不满足，故B错误；
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；
构造函数，，，所以，
则在上显然恒成立，
所以在上单调递增；
因此在上单调递增，所以，
猜想，对任意恒成立；
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，，显然成立；
（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；
则时，，
因为函数在上单调递增；
所以，
即成立；
由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.
故选：C.
2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
转化条件为，令，通过导数可得单调递增，通过数学归纳法可证明如果，则，再令，通过导数证明后，适当放缩可得，进而可证明，即可得解.
【详解】
因为，所以，
令，则，
当时，，单调递增，
由题意，，
如果，则，
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以对于任意的，均有，
所以.
故选：B.
3．（2020·浙江省桐庐中学）数列满足，，则以下说法正确的个数（ ）
①；
②；
③对任意正数，都存在正整数使得成立；
④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．
【详解】
，若，则，
∴，∴，①正确；
由已知，
∴，②正确；
由及①得，，
∴，
显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；
(i)已知成立，
(ii)假设，则，
又，即，∴，
由数学归纳法思想得④正确．
∴4个命题都正确．
故选：D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（ ）.
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设，则有， ，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列，都是单调数列，分别判定，，即得单调性，数列与的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.
【详解】
∵，，
∴，，，
设，，，则，
令，则，∴单调递增，
将，看作是函数图象上两点，则，
∴数列，都是单调数列，
，同理，，，即，，
∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，
∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确；
由得，
要证，即证，即，即证，
也即要证，等价于，
显然时，，时，，故成立，
∴不等式成立．B正确；
欲证，只需证，即
即，显然成立，
故，所以，
故C选项错误；
欲证，因单调性一致则只需证，只需证
因为，若，则；
又因为，若，则，
由数学归纳法有，则成立
故D选项正确。
故选：C
5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.
【答案】1010
【解析】
先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.
【详解】
先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和
当时，，成立；
假设时，
当时，


综上可得，，
则数集的所有非空子集的“积数”的和为：


故答案为：1010.
6．（2021·浙江高三期末）已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则_______；______.
【答案】1 2146
【解析】
由递推关系计算出，再计算出，然后可以计算，归纳出的通项公式（可用数学归纳法证明），求得和．
【详解】
因为，，
由已知，，，，
，，，，，
归纳结论，，
证明：（1），由上面知已经成立；
假设时，假设成立，即，，
则，，，
由数学归纳法知，，对一切成立．
．
故答案为：1；2146．
7．（2020·江苏南通·高三其他）数列的前n项和为，记，数列满足，，且数列的前n项和为．
（1）请写出，，满足的关系式，并加以证明；
（2）若数列通项公式为，证明：．
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1），，之间满足的关系式是：，证明如下：
当时， ，所以成立，
假设当时，成立，即，
当时，

，
所以成立，所以成立.
（2）由（1）得，即，
因为，所以，
当时，，成立；
假设当时，成立，，
当时，

，
所以当时，不等式成立，
所以.证毕.
8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
【答案】（1），；（2）详见解析.
【解析】
（1）由题意，得，
即，解得或，已知故．
，．
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
，．
（2）
法1．，
，累加得当，，
当，
∴

法2．先用数学归纳法证明当，．
①当时，，左式>右式，不等式成立．
②假设时，不等式成立，即
当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．
③由①②得证当，．
.
9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，证明：，．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为，，成等差数列，即，
当时，，两式相减得，
所以是公比为2的等比数列，即，
即，由，得，
所以的通项公式．
（2）方法一（放缩法）：
因为，，所以，
当时，


所以
，
当时，，取到“”号，
综上所述，，
方法二（数学归纳法）：
因为，，所以，
当时，左边，右边，原不等式成立；
假设当时，原不等式成立，即，
那么，当时，左边


，即时也成立，
由此可知，原不等式对于任意的均成立．
10.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an.bn+1，bn+1=bn1-4an2(n∈N*)，且点P1的坐标为(-1,1).
（1）求过点P1,P2的直线的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上.
【答案】（1）2x+y-1=0.（2）见解析.
【解析】
(1)由P1的坐标为(1,−1)知：a1=1，b1=−1.
∴b2=b11-4a12=13,a2=a1⋅b2=13.
∴点P2的坐标为13,13.
∴直线l的方程为2x+y-1=0.
(2)要证明原问题成立只需证明点Pn都满足2x+y=1即可.
①当n=1时，2a1+b1=2×1+(−1)=1，成立.
②假设n=k(k∈N*,k⩾1)时，2ak+bk=1成立，即bk=1-2ak成立，
则2ak+1+bk+1=2ak⋅bk+1+bk+1=bk1-4ak22ak+1 =bk1-2ak=1-2ak1-2ak=1，
∴当n=k+1时，命题也成立.
由①②知，对n∈N∗，都有2an+bn=1，
即点Pn在直线l上.
练真题TIDHNEG

1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
2.（2017浙江）已知数列满足：，．
证明：当时
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时，
假设时，，
那么时，若，则，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得

记函数
函数在上单调递增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因为

所以得
由得

所以
故
综上， ．
3．(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）；；．
（Ⅲ）见解析.
【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，即．
令，得，即． ①
（Ⅱ）；；
．
由此推测： ． ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当时，左边右边，②成立．
（2）假设当时，②成立，即．
当时，，由归纳假设可得
．
所以当时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得






，即．
4.（2021·全国高三专题练习）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】
（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．
（Ⅰ）求的值；
（2）证明：对任意的，等式成立．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知，得
于是
所以
故
（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，
即，类似可得
，
，
.
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即.
因为
，
所以.
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.
令，可得().
所以()．
6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.

（1）写出点和的坐标；
（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.
【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.
【解析】
（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；
（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.
【详解】
（1）由得：，即；
直线方程为：，即，
令，解得：，；
直线方程为：，由得：，即；
直线方程为：，即，
令，解得：，；
直线方程为：，
由得：，即；
直线方程为，即，
令，解得：，；
（2）由（1）猜想的坐标为，
设，，则直线的方程为：，
令，解得：，，
直线的斜率为，即，即，
，
用数学归纳法证明的坐标如下：
①当时，满足；
②假设当时，成立，
那么当时，由得：
，解得：，
即当时，成立；
综上所述：.