人教版高考数学一轮复习考点规范练46抛物线含答案

这是一份人教版高考数学一轮复习考点规范练46抛物线含答案，共9页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

考点规范练46　抛物线
1.(2021辽宁抚顺一模)已知抛物线C:y=mx2(m>0)上的点A(a,2)到其准线的距离为4,则m=(　　)
A.14 B.8 C.18 D.4
答案 C
解析 抛物线C的方程可化为x2=1my(m>0),因为点A(a,2)到抛物线C的准线的距离为4,
所以14m+2=4,解得m=18.
2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有一个相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是(　　)
A.y2=±22x B.y2=±2x
C.y2=±4x D.y2=±42x
答案 D
解析 由已知得双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).
设抛物线C的方程为y2=±2px(p>0),则p2=2,所以p=22,所以抛物线C的方程为y2=±42x.
故选D.
3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点为F12,0,F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3×12=32,则|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=(x1+x2+x3)+32=32+32=3.
4.过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是(　　)
A.y2=12x B.y2=-12x
C.x2=-12y D.x2=12y
答案 D
解析 过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.
5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是(　　)
A.4 B.33
C.43 D.8
答案 C
解析 由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,
∵AF的斜率为33,
∴AF的倾斜角为30°.
∵AH垂直于准线,∴∠FAH=60°,
故△AHF为等边三角形.
设Am,m24,m>0,过F作FM⊥AH于点M,
则在△FAM中,|AM|=12|AF|,
∴m24-1=12m24+1,
解得m=23,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,
∴△AHF的面积是12×4×4sin 60°=43.
故选C.
6.已知直线l:y=kx-k(k∈R)与抛物线C:y2=4x及其准线分别交于M,N两点,F为抛物线C的焦点,若2FM=MN,则实数k等于(　　)
A.±33 B.±1
C.±3 D.±2
答案 C
解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),直线l:y=kx-k过抛物线C的焦点F.当k>0时,如图所示,
过点M作MM'垂直于准线x=-1,垂足为M',由抛物线的定义,得|MM'|=|MF|,易知∠M'MN与直线l的倾斜角相等,由2FM=MN,得cos∠M'MN=|MM'||MN|=12,
则tan∠M'MN=3,故直线l的斜率k=3.当k<0时,可得直线l的斜率k=-3.故选C.

7.(多选)已知抛物线x2=12y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列说法正确的是(　　)
A.点F的坐标为18,0
B.若直线MN过点F,则x1x2=-116
C.若MF=λNF,则|MN|的最小值为12
D.若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为58
答案 BCD
解析 抛物线x2=12y的焦点为F0,18,所以A不正确.
根据抛物线的性质可知,当直线MN过点F时,有x1x2=-116,所以B正确.
若MF=λNF,则|MN|的最小值为抛物线的通径长,为2p=12,所以C正确.
抛物线x2=12y的焦点为F0,18,准线方程为y=-18,
过点M,N,P分别作准线的垂线MM',NN',PP'(图略),
则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=32,
所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34,
所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|-18=34-18=58,所以D正确.故选BCD.
8.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　

A.5 B.6 C.163 D.203
答案 C
解析 如图所示,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l并交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+p2=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2=p24=1,所以x2=13,所以|AB|=x1+x2+p=163.故选C.

9.已知直线l:y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,直线m:y=2kx+2与抛物线D:x2=8y交于M,N两点,若对于任意k∈R,λ|AB|-|MN|为定值,则实数λ的值为(　　)
A.12 B.8 C.4 D.2
答案 B
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+1,x2=4y,消去y得x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4,
∴|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·16k2+16=4(1+k2).
设M(x3,y3),N(x4,y4),由y=2kx+2,x2=8y,
消去y得x2-16kx-16=0,
∴x3+x4=16k,x3x4=-16,
∴|MN|=1+4k2·(x3+x4)2-4x3x4=1+4k2·(16k)2+64=8(1+4k2).
∵λ|AB|-|MN|=4λ(1+k2)-8(1+4k2)=4[λ-2+(λ-8)k2]为定值,∴λ-8=0,即λ=8.
10.(多选)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,则下列说法正确的是(　　)
A.点F的坐标为(1,0)
B.若A,F,B三点共线,则OA·OB=-3
C.若直线OA与OB的斜率之积为-14,则直线AB过点F
D.若|AB|=6,则AB的中点到x轴的距离的最小值为2
答案 BCD
解析 由已知得焦点F的坐标为(0,1),故A错误.
设直线AB的方程为y=kx+1,
由x2=4y,y=kx+1,消去y,得x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4,
∴y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,
∴OA·OB=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故B正确.
设直线AB的方程为y=kx+m,
由x2=4y,y=kx+m,
消去y,得x2-4kx-4m=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4m,
∴y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-4k2m+4mk2+m2=m2.
∵直线OA与OB的斜率之积为-14,
∴y1x1·y2x2=-14,
即m2-4m=-14,解得m=1,
∴直线AB的方程为y=kx+1,
即直线AB过点F,故C正确.
∵|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·16k2+16m=6,
∴4(1+k2)(k2+m)=9,
∴m=94(1+k2)-k2.
∵y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m,
∴AB的中点到x轴的距离为d=2k2+m=2k2+94(1+k2)-k2=k2+94(1+k2)=k2+1+94(1+k2)-1≥2(k2+1)·94(1+k2)-1=3-1=2,当且仅当k2=12时取等号,故AB的中点到x轴的距离的最小值为2,故D正确.
11.(2021北京,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　　;△MNF的面积为　　　　　. 
答案 5　45
解析 因为抛物线的方程为y2=4x,所以准线方程为x=-1,点F(1,0).
因为|MF|=6,所以xM+1=6,解得xM=5.
所以yM=±25.
因为MN⊥x轴,所以点N(5,0),
所以|FN|=5-1=4.
所以S△MNF=12|FN|·|yM|=12×4×25=45.
12.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点P为准线l上一点,且不在x轴上,直线PF交抛物线C于A,B两点,且PA=3AF,则|AB|=　　　;设坐标原点为O,则△AOB的面积为　　　. 
答案 9　62
解析 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为l:x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),过点A作AD⊥l于点D(图略),
由抛物线的定义可知|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4.
∵PA=3AF,∴|PA|=3|AD|,
∴|PD|=22|AD|,
∴直线PF的斜率为±22.
∵F(2,0),
∴直线PF的方程为y=±22(x-2).
将y=±22(x-2)代入方程y2=8x,
得8(x-2)2=8x,化简得x2-5x+4=0,
∴x1+x2=5,于是|AB|=x1+x2+4=9.
点O到直线PF的距离d=423,
∴S△AOB=12|AB|·d=12×9×423=62.
13.已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是　. 
答案 (-∞,-3)∪(0,+∞)
解析 由题意知k≠0.因为直线l与圆相切,所以|t+1|1+k2=1,即k2=t2+2t.由k2>0,得t>0或t<-2.把直线l的方程代入抛物线方程,整理得x2-4kx-4t=0,于是由Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,得t>0或t<-3.综上,实数t的取值范围是(-∞,-3)∪(0,+∞).
14.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)若点A关于x轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出该点的坐标.
解(1)易知点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
由题意知k≠0,且Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16(k2+1)>0,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,
∴2k2+4k2=6,∴k2=1,即k=±1,
∴直线l的方程为y=±(x-1).
(2)由题意知点D的坐标为(x1,-y1),直线BD的斜率kBD=y2+y1x2-x1=y2+y1y224-y124=4y2-y1,
∴直线BD的方程为y+y1=4y2-y1(x-x1),即(y2-y1)y+y2y1-y12=4x-4x1.
∵y12=4x1,y22=4x2,x1x2=1,
∴(y1y2)2=16x1x2=16,即y1y2=-4(y1,y2异号),
∴直线BD的方程为4(x+1)+(y1-y2)y=0,故直线BD恒过点(-1,0).
15.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 (1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.
解(1)直线AB的方程为y=22x-p2,与y2=2px(p>0)联立,从而有4x2-5px+p2=0.
由题意知,Δ=25p2-16p2=9p2>0,方程有两个不等实根,所以x1+x2=5p4.
由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,
所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)由于p=4,则4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,则有x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,
则有A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),
则OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22).
又y32=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),
整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
16.已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,过点F且倾斜角为π6的直线l1与抛物线E相交于A,B两点,且|AB|=12,过点F且斜率为3的直线l2与抛物线E相交于C,D两点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)若点A和C均在第一象限,求证:抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.
(1)解抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点坐标为Fp2,0,
直线l1的方程为y=33x-p2,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=33x-p2,y2=2px,
整理得x2-7px+p24=0,
所以x1+x2=7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p=12,
所以p=32,所以抛物线E的方程为y2=3x.
(2)证明由(1)可知抛物线E的准线方程为x=-34,焦点F34,0,所以直线l1的方程为y=33x-34,
代入抛物线的方程,得13x2-72x+316=0,
可得x1x2=916,则y123·y223=916,即y1y2=-94.
直线l2的方程为y=3x-34,设点C(x3,y3),D(x4,y4),
由y=3x-34,y2=3x,整理得16x2-40x+9=0,x3x4=916,可得y3y4=-94.
所以直线AC的斜率为y1-y3y123-y323=3y1+y3,可得直线AC的方程为y-y1=3y1+y3x-y123,
同理可得直线BD的方程为y-y2=3y2+y4x-y223,
准线方程为x=-34.
将准线方程代入直线AC的方程,得y=y1y3-94y1+y3,
将准线方程代入直线BD的方程可得y=y2y4-94y2+y4.
由y1y3-94y1+y3-y2y4-94y2+y4=y1y3-94(y2+y4)-y2y4-94(y1+y3)(y1+y3)(y2+y4),
上式的分子为y1y2y3+y1y3y4-94y2-94y4-(y1y2y4+y2y3y4-94y1-94y3)=-94y3-94y1-94y2-94y4-(-94y2-94y4-94y1-94y3)=0,
得直线AC,直线BD与准线交于同一点,
即抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.