广西专用高考数学一轮复习考点规范练44圆的方程含解析新人教A版文

考点规范练44　圆的方程

基础巩固

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=1

B.(x+1)2+(y+1)2=1

C.(x+1)2+(y+1)2=2

D.(x-1)2+(y-1)2=2

2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为(　　)

A.2 B.1 C. D.

3.(2021福建三明模拟)当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则(　　)

A.这些圆的圆心都在直线y=x上

B.这些圆的圆心都在直线y=-x上

C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上

D.这些圆的圆心不在同一条直线上

4.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0]

C.[0,+∞) D.[5,+∞)

5.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(　　)

A.1+ B.2

C.1+ D.2+2

6.(2021广西来宾模拟预测)一束光线从点A(-2,1)出发,经x轴反射到圆C:x2+y2-6x-8y+23=0上的最短距离为(　　)

A.5 B.4 C.4 D.6

7.(2021江西景德镇高三期末)过点P(-1,1)作圆x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,则a的取值范围是　　　　　. 

8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　. 

9.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的标准方程.

10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

能力提升

11.已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则△CMN面积的最大值为(　　)

A.100 B.25 C.50 D.

12.(2021山东烟台模拟)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足,则PA2+PB2的最小值为(　　)

A.36-24 B.48-24

C.36 D.24

13.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.

(1)求的坐标;

(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.

高考预测

14.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)及其内部所覆盖,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案：

1.D　解析由题意可得圆的半径r=,

则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

2.B　解析设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,

又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.

3.A　解析由题意知,圆的标准方程为(x+a)2+(y+a)2=2a2+1,圆心(-a,-a),圆心在直线y=x上.

4.A　解析将圆的一般方程x2+y2-4x+2y+a=0转化为圆的标准方程(x-2)2+(y+1)2=5-a,

得圆心(2,-1),r=.

∵圆与x轴、y轴都有公共点,

∴∴a≤1.故选A.

5.A　解析将圆的一般方程化为标准方程(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.故选A.

6.C　解析由题意,圆C的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=2,

所以圆C的圆心坐标为(3,4),半径r=.

又点A(-2,1)关于x轴的对称点为B(-2,-1),

所以|BC|==5.

所以所求的最短距离为5=4.

7.(1,2)　解析由x2+y2-ax-2y+a2-2=0表示一个圆,

知(-a)2+(-2)2-4(a2-2)>0,故-2<a<2.

又由过点P(-1,1)作圆x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,得P在圆外,

所以(-1)2+12-a×(-1)-2×1+a2-2>0,解得a<-2或a>1.

综上所述,1<a<2.所以a的取值范围是(1,2).

8.(x-2)2+y2=9　解析设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),

则,即a=2.

又点M(0,)在圆C上,则圆C的半径r==3.

故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.

9.解(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得=1,则x0=1,

即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=2,

故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0),

根据已知条件得

解得

因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

10.解(1)设P(x,y),圆P的半径为r.

由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.

故P点的轨迹方程为y2-x2=1.

(2)设P(x0,y0),由已知得.

又P在双曲线y2-x2=1上,从而得

由此时,圆P的半径r=.

由此时,圆P的半径r=.

故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.

11.D　解析设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4AF>0,

将(4,6),(-2,-2),(5,5)代入,可得

解得D=-2,E=-4,F=-20.

故圆C的一般方程为x2+y2-2x-4y-20=0,

即(x-1)2+(y-2)2=25,圆心坐标为(1,2),半径r为5.

设点C到直线MN的距离为d,

则|MN|=2=2,

∴S△CMN=·|MN|·d=d·,当且仅当d=,即d=时取等号,

∴△CMN面积的最大值为.

故选D.

12.A　解析以经过A,B的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,

则A(-1,0),B(1,0).

设P(x,y),∵,∴.

两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,

所以P点的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆,

则有PA2+PB2=2(x2+y2)+2=2OP2+2,如图所示.

当点P为圆与x轴的交点(靠近原点)时,此时,OP取最小值,且OP=3-2,

因此,PA2+PB2≥2×(3-2)2+2=36-24,故选A.

13.解(1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,=0,

得解得

若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.

∴舍去,即=(6,8).

(2)圆x2-6x+y2+2y=0,

即(x-3)2+(y+1)2=()2,

其圆心为C(3,-1),半径r=.

∵=(4,-3)+(6,8)=(10,5),

∴直线OB的方程为y=x.

设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),

则解得

故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.

14.(x-2)2+(y-1)2=5　解析由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.

因为△OPQ为直角三角形,

所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=,

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.