高考数学一轮复习考点规范练42圆的方程含解析新人教版

考点规范练42　圆的方程

一、基础巩固

1.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=5 

B.(x+1)2+(y+1)2=5

C.(x-1)2+y2=5 

D.x2+(y-1)2=5

答案:A

解析:由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r,

,

解得a=1.

∴r=,

∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.

2.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值为(　　)

A.2 B.0或2 C D.-2

答案:B

解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,

则圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,

解得a=0或a=2.

3.(2021福建三明模拟)当a取不同的实数时,方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以表示不同的圆,则 (　　)

A.这些圆的圆心都在直线y=x上

B.这些圆的圆心都在直线y=-x上

C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上

D.这些圆的圆心不在同一条直线上

答案:A

解析:由题意,可知圆心坐标为(-a,-a),圆心都在直线y=x上.

4.圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为(　　)

A.(x+3)2+(y+2)2=4 

B.(x+4)2+(y-6)2=4

C.(x-4)2+(y-6)2=4 

D.(x+6)2+(y+4)2=4

答案:C

解析:由圆(x+2)2+(y-12)2=4可得圆心坐标为(-2,12),半径为2,则所求圆的圆心与点(-2,12)关于直线x-y+8=0对称,且半径为2.设所求圆的圆心坐标为(a,b),

则解得

故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.故选C.

5.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(　　)

A.1+ B.2 

C.1+ D.2+2

答案:A

解析:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.故选A.

6.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是(　　)

A.圆M的圆心为(4,-3)

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.圆M的半径为25

D.圆M被y轴截得的弦长为6

答案:ABD

解析:圆M的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(4,-3),半径为5.

显然选项C不正确.ABD均正确.

7.(2021河北张家口三模)“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:将x2+y2-2ax-2y+a+1=0化为(x-a)2+(y-1)2=a2-a.

当点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外时,解得a>1.

故“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分条件.

8.若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是　. 

答案:(x-2)2+

解析:因为圆C经过点(0,0)和(4,0),

所以设圆心坐标为(2,m).

又因为圆C与直线y=1相切,

所以=|1-m|,

解得m=-

所以圆C的方程为(x-2)2+

9.(2021江西景德镇高三期末)已知过点P(-1,1)作圆x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:(1,2)

解析:因为x2+y2-ax-2y+a2-2=0表示一个圆,

所以(-a)2+(-2)2-4(a2-2)>0,解得-2<a<2.

因为过点P(-1,1)作圆x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,所以点P在圆外,

所以(-1)2+12-a·(-1)-2×1+a2-2>0,解得a<-2或a>1.

所以1<a<2.所以a的取值范围是(1,2).

10.已知A为圆x2+(y-2)2=1上一动点,定点B的坐标为(6,1).若W为x轴上一动点,则|AW|+|BW|的最小值等于　　　　　. 

答案:3-1

解析:如图,作点B(6,1)关于x轴的对称点B'(6,-1),连接圆心与点B',与圆的交点为A,则|AB'|即为|AW|+|BW|的最小值,|AB'|=-1=3-1.

11.已知圆M过点P(10,4),且与直线4x+3y-20=0相切于点A(2,4).

(1)求圆M的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.

解:(1)过点A(2,4)且与直线4x+3y-20=0垂直的直线方程为3x-4y+10=0,又AP的垂直平分线的方程为x=6,则圆心M的坐标为(6,7),所以半径r=|AM|==5,

所以圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25.

(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离d=

因为|BC|=|OA|==2,而r2=d2+,

所以25=+5,

解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

12.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上,

(1)求的最大值和最小值;

(2)求x+y的最大值和最小值.

解:方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4,则圆C的半径为2.

(1)表示圆上的点P与原点O连线的斜率,显然当PO与圆C相切时,斜率最大或最小,如图所示.

设切线方程为y=kx,即kx-y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径,可得=2,

解得k=

所以的最大值为,最小值为

(2)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,显然当动直线y=-x+b与圆C相切时,b取得最大值或最小值,如图所示.

由圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆C的半径,可得=2,即|b-6|=2,解得b=6±2所以x+y的最大值为6+2,最小值为6-2

二、综合应用

13.若直线y=kx与圆x2+y2-4x+1=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称,则(　　)

A.k=-1,b=2 B.k=1,b=2

C.k=1,b=-2 D.k=-1,b=-2

答案:C

解析:圆x2+y2-4x+1=0的标准方程为(x-2)2+y2=3.

因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=3的两个交点关于直线x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线x+y+b=0垂直,直线x+y+b=0经过圆的圆心(2,0),所以k=1,b=-2.

14.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0]

C.[0,+∞) D.[5,+∞)

答案:A

解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5-a,

可得圆心坐标为(2,-1),半径为r=

因为圆与x轴、y轴都有公共点,所以解得a≤1.故选A.

15.已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则△CMN的面积的最大值为(　　)

A.100 B.25 C.50 D

答案:D

解析:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点(4,6),(-2,-2),(5,5)的坐标分别代入可得,解得故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-20=0,即(x-1)2+(y-2)2=25,故△CMN的面积S=|CM|·|CN|·sin∠MCN5×5=故选D.

16.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为　　　　　　　　. 

答案:(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2

解析:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.

由题意可知解得

故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.

17.(2021重庆实验中学月考)已知☉O的方程为x2+y2=4,过点M(4,0)的直线与☉O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方程为　　　　　　　　. 

答案:x2+y2-4x=0(0≤x<1)

解析:设点P(x,y),由题意,可知=0,

又=(x,y),=(4-x,-y),

所以(4-x)x-y2=0,即x2+y2-4x=0.

所以点P在圆x2+y2-4x=0上.

又点P在☉O内,圆x2+y2-4x=0与☉O交于点(1,),(1,-),所以0≤x<1.

所以点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x<1).

18.已知圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,求的最小值.

解:圆x2+y2+4x-12y+1=0的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=39,

∵圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,

∴该直线经过圆心(-2,6),

即-2a-6b+6=0,

∴a+3b=3.又a>0,b>0,

(a+3b)()=(1++9)(10+2)=,

当且仅当,即a=b=时取等号.

故的最小值为

19.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

解:(1)设点P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2.∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1.

∴圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.

(2)设点P的坐标为(x0,y0),

则,即|x0-y0|=1.

∴y0-x0=±1,即y0=x0±1.

①当y0=x0+1时,由=1,得(x0+1)2-=1.

∴x0=0,y0=1,∴r2=3.

∴圆P的方程为x2+(y-1)2=3.

②当y0=x0-1时,由=1,得(x0-1)2-=1.

∴x0=0,y0=-1,∴r2=3.

∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3.

综上所述,圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.

三、探究创新

20.在平面直角坐标系Oxy中,圆C过点(0,-1),(3+,0),(3-,0).

(1)求圆C的方程.

(2)是否存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把点(0,-1),(3+,0),(3-,0)的坐标分别代入,

得

解得

故圆C的方程为x2+y2-6x+8y+7=0.

(2)由得2x2+(2a-14)x+a2-8a+7=0.

∵圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,

∴Δ=(2a-14)2-8(a2-8a+7)>0,解得-5<a<7.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=7-a,x1x2=,y1y2=(-x1-a)(-x2-a)=x1x2+a(x1+x2)+a2.

∵OA⊥OB,

∴x1x2+y1y2=2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,

∴2+(7-a)a+a2=0,整理,得a2-a+7=0,Δ'=1-28<0,该方程无解,

∴不存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB.