2021高考数学大一轮复习考点规范练26平面向量基本定理及向量的坐标表示理新人教A版

考点规范练26　平面向量基本定理及向量的坐标表示

　考点规范练B册第16页　 

基础巩固

1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是(　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

答案:B

解析:由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.

2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=(　　)

A.2 B.4

C D

答案:B

解析:以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),

则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1).

所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).

∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),

解得=4.

3.在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则=(　　)

A B C D

答案:B

解析:因为在▱ABCD中,有,

所以)=(-1,12)=,故选B.

4.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则等于(　　)

A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)

答案:B

解析:如图,=3=3(2)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).

5.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)

A.(-∞,2) B.(2,+∞)

C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

答案:D

解析:因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.

6.若平面内两个向量a=(2cos θ,1)与b=(1,cos θ)共线,则cos 2θ等于(　　)

A B.1 C.-1 D.0

答案:D

解析:由向量a=(2cosθ,1)与b=(1,cosθ)共线,知2cosθ·cosθ-1×1=0,所以2cos2θ-1=0,所以cos2θ=0,故选D.

7.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=,且|OC|=2.若=+,则λ+μ=(　　)

A.2 B C.2 D.4

答案:A

解析:因为|OC|=2,∠AOC=,C为坐标平面第一象限内一点,所以C().

又=+,所以()=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ).

所以λ=μ=,所以λ+μ=2

8.(2019江淮十校联考)已知在△ABC中,||=||,=(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t=　　　　. 

答案:1

解析:依题意,得||=||,故△ABC是以AB为底边的等腰三角形,故,所以=(3-t,-1)·(1,2)=3-t-2=0,解得t=1.

9.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=　　　　　. 

答案:

解析:|b|=,由λa+b=0,得b=-λa,

故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=

10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.

答案:(-1,1)或(-3,1)

解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).

11.如图,在▱ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知=c,=d,则=　　　　　　　　　　,=　　　　　　　.(用c,d表示) 

答案:(2d-c)　(2c-d)

解析:设=a,=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以b,a.

又所以

即(2d-c),(2c-d).

能力提升

12.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,=+(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为(　　)

A B.3 C D

答案:C

解析:因为=+,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λ,

当且仅当λ=μ=时取等号,

此时,

即D是线段BC的中点,

所以||=|=故选C.

13.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2)

答案:D

解析:∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

∴a=-2p+2q=(2,4).

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

则解得

14.(2019广东广州高三测试)若向量a=(cos θ,sin θ),b=(1,-1),则|2a-b|的取值范围是(　　)

A.[2-,2+] B.[0,]

C.[0,2] D.[1,3]

答案:A

解析:向量a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),则|2a-b|=,而-44sin4,故2-|2a-b|≤2+,则|2a-b|的取值范围是[2-,2+],故选A.

15.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+,则λ+μ的最大值为(　　)

A.3 B.2 C D.2

答案:A

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,1),B(0,0),D(2,1).

设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,即圆的方程是(x-2)2+y2=

易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).

由=+,得所以μ=,λ=1-y,

所以λ+μ=x-y+1.

设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.

因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,

所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,

即,解得1≤z≤3,

所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.

16.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3a+4b+5c=0,则a∶b∶c=　. 

答案:20∶15∶12

解析:∵3a+4b+5c=0,

∴3a()+4b+5c=0.

∴(3a-5c)+(3a-4b)=0.

在△ABC中,不共线,解得

∴a∶b∶c=aaa=20∶15∶12.

高考预测

17.已知向量a=(m,2m-1),b=(1,-2),若a∥b,则|4a+2b|=　　　　　. 

答案:3

解析:∵向量a=(m,2m-1),b=(1,-2),且a∥b,

∴-2m=2m-1,解得m=,

∴a=,∴4a+2b=(3,-6),

∴|4a+2b|==3