2023年吉林省长春市重点大学附中高考数学适应性试卷（一）（含解析）

2023年吉林省长春市重点大学附中高考数学适应性试卷（一）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，若，则所有符合条件的实数组成的集合是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，则角所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  党的十八大以来的十年，是砥砺奋进、矢志“为中国人民谋幸福”的十年在党中央的正确领导下，我国坚定不移贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，经济实力实现历史性跃升国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，稳居世界第二位如表是年我国大陆省市区数据．
年中国大陆省市区单位，亿元

则由各省市区组成的这组数据的第百分位数为单位：亿元(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设向量与满足在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设，且，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知双曲线的左焦点恰好在抛物线：的准线上，过点作两直线，分别与抛物线交于，两点，若直线，的倾斜角互补，则点，的纵坐标之和为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在长方体中，直线与平面的交点为，为线段的中点，则下列结论错误的是(    )

A. ，，三点共线 B. ，，，四点异面
C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面

8.  已知函数，存在实数，，，使得成立，若正整数的最大值为，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是(    )

A. 与互斥 B. 与对立 C.  D. 与相互独立

10.  已知函数，若为的一个极值点，且的最小正周期为，则(    )

A.  B.
C. 的图象关于点对称 D. 为偶函数

11.  如图，双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，已知且，则下列说法正确的是(    )

A. ∽
B. 双曲线的离心率为
C.
D. 的面积为

12.  已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为，点为的中点，则(    )

A. 圆台的体积为
B. 圆台的侧面积为
C. 圆台母线与底面所成角为
D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知为虚数单位是关于的方程的一个根，则实数的值为______．

14.  已知，若正数，满足，则的最小值为          ．

15.  平面直角坐标系中，已知是：的一条弦，且，是的中点当弦在圆上运动时，直线：上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是______ ．

16.  已知数列的前项和为，，且，则的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
求的值；
若的面积为，求的值．

18.  本小题分
乒乓球被称为中国的“国球”世纪年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军乒乓球比赛每局采用分制，每赢一球得分，一局比赛开始后，先由一方发球，再由另一方发球，依次每球交换发球权，若其中一方先得分且至少领先分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成：平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得分的一方为胜方，该局比赛结束现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球．
求该局比赛中，打完前个球时甲得分的概率；
求该局比赛结束时，双方比分打成：且甲获胜的概率；
若在该局双方比分打成：平后，两人又打了个球该局比赛结束，求事件“”的概率．

19.  本小题分
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”已知椭圆：上的点的下辅助点为．
求椭圆的方程；
若的面积等于，求下辅助点的坐标．

20.  本小题分
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点．
记平面与平面的交线为，证明：平面；
设中的直线与圆的另一个交点为，且点满足记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．

21.  本小题分
图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数，，，，．
设，求数列的通项公式；
设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
设函数，曲线在处的切线与轴交于点
求；
若当时，，记符合条件的的最大整数值、最小整数值分别为，，求．
注：为自然对数的底数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查符合条件的实数的集合的求法，考查并集定义等基础知识，是基础题．
由并集定义得，当时，，当时，，由，得或，由此能求出所有符合条件的实数组成的集合．

【解答】

解：集合，，，
，
当时，，成立；
当时，，
由，得或，
解得或．
所有符合条件的实数组成的集合是
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：因为，可得，
，
则，，
所以角所在的象限是第三象限．
故选：．
由题意利用诱导公式，三角函数在各个象限中的符号，即可判断得解．
本题主要考查诱导公式，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
所以各省市区组成的这组数据的第百分位数为从小到大排名第名的省份的数据，
即个省份的从高到低的第位的省份的数据，
因此为第名的福建省的亿元．
故选：．
根据百分位数的定义即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：向量与满足在方向上的投影向量为，
在上的投影为，即．
存在实数，使得与垂直，
，可得，，
故选：．
利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出值．
本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由已知，得，，
，
而，因为，
所以，，即，
所以大小顺序为．
故选：．
判断，，接下来对进行化简处理，选取合适的分界点，将三个数分隔开始解决本题的关键．
本题主要考查对数计算公式以及对数函数图像增减性质，以和作为分界点是解决本题的关键，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：已知双曲线的左焦点恰好在抛物线：的准线上，
过点作两直线，分别与抛物线交于，两点，若直线，的倾斜角互补，
的左焦点，的准线，故，
运用极端化思想处理，当两直线，重合时，，的坐标均为，点，的纵坐标之和为，
一般性证明：设，
则．
故选：．
先根据条件解得，再用特殊情况探求结果，即可求解．
本题考査抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考査基本分析化简求解能力，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，连接，，则，，，，四点共面，
所以平面，因为，所以平面，
又平面，所以在平面与平面的交线上，
同理在平面与平面的交线上，
所以，，三点共线．
选项A、、均正确，选项C错误．
故选：．
根据题意，连接，，判断，，三点共线，由此分析选项即可得答案．
本题考查空间直线之间、直线与平面的位置关系，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
由于单调递减，则单调递增，
因为，
所以，则，
当时，，，
则，
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，，
要使正整数的最大值为，则，解得；
当时，，，，
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，，
要使正整数的最大值为，则，解得．
综上，实数的取值范围为．
故选：．
设，易知，然后分，，以及讨论即可．
本题考查绝对值函数的性质，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：事件包含的基本事件为：
，，，，，，共种，
，
事件包含的基本事件为：
，，，，，，，，，共种，
则．
，互斥但不对立，故A正确，B错误；
，，
，故C错误；
，，
，与相互独立，故D正确．
故选：．
列举出事件，所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断；分别求出，，再根据条件概率公式即可判断；分别求出，，即可判断．
本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数，
的最小正周期为，
故；
若为的一个极值点，
则，
故，
整理得；
当时，；当时，；
所以或；
对于：，或，故A错误；
对于：由函数的极值点得；，故B正确；
对于：当时，，故C正确；
对于：根据函数的关系式；所以，
对于，所以，
故D正确．
故选：．
直接利用函数的最小正周期和函数的极值的应用求出函数关系式，进一步判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示：

对于，且，
所以∽，故A正确；
对于，，，所以，
又由相似可得：，，，，
所以离心率，故B正确；
对于，中，由余弦定理可得，故C错误；
对于，由可知，，则其面积，故D正确．
故选：．
根据双曲线定义及性质，结合余弦定理和面积公式逐个选项判断即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：圆台的高为，则圆台的体积，A正确；
对于：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，

其面积为故B错误；
对于：过作交底面于，则底面，所以即为母线与底面所成角．

在等腰梯形中，，，所以．
因为为锐角，所以故C正确；
对于：如图示，

在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为由题意可得：
，由为中点，所以，所以故D正确．
故选：．
根据已知求体积；过作交底面于，判断出即为母线与底面所成角；作出圆台的侧面展开图，直接求出面积；圆台的侧面上，判断出从到的最短路径的长度为，等逐个判断即可求解．
本题考查的知识要点：圆台的展开图，线面的夹角，圆台和外接球的关系，勾股定理的应用，圆台的展开面，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
将代入方程求解即可．
本题考查解复数方程，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
利用奇函数单调递增，可得，再利用基本不等式求出的最小值．

【解答】

解：显然为奇函数，且在上单调递增，
正数，满足，
，，

当且仅当时取等号，
的最小值为，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：因为为的中点，所以，又因为，所以三角形为等腰直角三角形，所以，即点在以为圆心，以为半径的圆上，点所在圆的方程为，
要使得恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部，
而在直线：上，
到直线：的距离．
所以以为直径的圆的半径的最小值为，
所以的最小值为．
故答案为：．
依题意，点在以为圆心以为半径的圆上，要使得恒成立，则点在以为直径的圆内部，所以的最小值为圆的直径的最小值．
本题考查了直线和圆的关系的应用，考查了点与圆的位置关系，圆的性质等，属于难题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，


，
，
又，则，
故，
又，
只需，解得．
故答案为：．
根据裂项相消求和法，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
由余弦定理可得：，
，
又，
，
可得，
，即，
，
，
．
．
或由，．
可得：，
，
，
，
，
，，．
．

，
解得．
． 

【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．
由余弦定理可得：结合可得，由余弦定理可得可得，即可得出或由正弦定理得，再利用三角恒等变换公式求解即可．
由，可得，即可得出．
 

18.【答案】解：若打完前个球时甲得分，则甲失一球，这球有可能是甲发球也可能是乙发球，
所以打完前个球时甲得分的概率．
若双方比分打成：且甲获胜，
则甲失一球，这球有可能是甲发球也可能是乙发球，且乙最后一次发球甲胜，
双方比分打成：且甲获胜的概率．
由题意可得：若，则或，
可得；
；
所以． 

【解析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，独立事件的积事件的概率乘法公式，即可求解；
根据互斥事件的并事件的概率加法公式，独立事件的积事件的概率乘法公式，即可求解；
由题意可得：或，再结合独立事件概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解．
本题考查独立事件的积事件的概率的求解，属中档题．
 

19.【答案】解：椭圆上的点的下辅助点为，
辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，
将点代入椭圆方程中，解得，
椭圆的方程为；
设点，则点，
将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，
，，故，即，
又，则，
将与联立可解得或，
下辅助点的坐标为或； 

【解析】利用已知条件求出椭圆长半轴为，将点代入椭圆方程中，解得，即可得到椭圆的方程．
设点，则点，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程，结合三角形的面积，求解下辅助点的坐标．
本题考查椭圆的简单性质，圆的与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

20.【答案】证明：，平面，平面，
直线平行于平面，
又平面，平面平面，
，又．
，
是直径，为直角，，
又平面，在面上，，
而，相交于点，且，都在平面内，
平面，故平面．
证法一综合法：如图，连接，由可知交线即为直线，且．

是的直径，，于是．
已知平面，而平面，．
而，、在面内，平面．
连接，，
平面，．
故就是二面角的平面角，即．
由，作，且．
连接，，
是的中点，，，
从而四边形是平行四边形，．
连接，平面，
是在平面内的射影．
故就是直线与平面所成的角，即．
又平面，在面内，，为锐角．
故为异面直线与所成的角，即，
于是在，，中，
分别可得．
从而，即．
证法二向量法：
如图，由，作，且，
连接，，，，．
由可知交线即为直线．
以点为原点，向量所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，，则有，，，，．
于是，，

从而．
取平面的一个法向量为，可得，
设为平面的一个法向量．
则取．
于是，从而．
故，即． 

【解析】根据中位线定理和平行的传递性即可求解；
根据线面垂直的判定、性质以及二面角的定义即可求解，或根据建立空间直角坐标系后根据法向量即可求解．
本题主要考查线面垂直的证明，空间角的求法，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，第一行数列的公差为，
由可得，，
由可得，
由，可得，即，
解得，，．
；

假设存在实数，使恒成立，可得
当为偶数时，可得恒成立．
由在递减，可得时，取得最大值，
所以，即；
当为奇数时，可得恒成立．
由在递增，可得时，取得最小值，
所以，即．
综上可得，不成立．
故不存在实数，使恒成立． 

【解析】设，第一行数列的公差为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比、首项，可得所求通项公式；
由等比数列的求和公式可得，假设存在实数，使恒成立．讨论为奇数和为偶数，结合不等式恒成立思想可得结论．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列不等式恒成立问题解法，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，则，
又，
在处的切线方程为，
又曲线在处的切线与轴交于点，
，
；
由知，，则不等式可转化为，
设，则，设，则，
，
，
在上单调递增，即在上单调递增，
，
若，则，
在上单调递增，
，解得，
；
若，则，
由于在上单调递增，
当时，，则存在，使得，
当时，取，则，
存在，使得，
综上，当时，存在，使得，即，
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
由，得，
代入得，
设，则，
由于，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，，
当时，，
，满足的的取值范围为，
又，设，，
在上单调递增，
，
综上所述，，
又，
，，则． 

【解析】依题意，结合导数的几何意义可得，进而求得的值；
不等式即为，设，对函数求导，分及讨论得到实数的取值范围为，进而得解．
本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，函数与方程思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．