2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区景山中学七年级（下）期末数学试卷(含解析)

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2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区景山中学七年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，共16分）

1. 下图是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定≌的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列四个命题中，是假命题的是(    )

A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 三角形任意两边之和大于第三边
D. 如果，，那么

6. 已知关于，的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，、的平分线、交于点，，，垂足分别为、，下列结论：：：；；，其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共10小题，共20分）

9. 型禽流感病毒的病毒粒子的直径在毫米毫米之间，数据用科学记数法可以表示为______．
10. 一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是______．
11. 若，，则代数式的值为______．
12. 命题“如果，那么”命题是______命题．填“真”或“假”
13. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为______．
14. 已知是一个完全平方式，则______．
15. 已知不等式组的解集为，则的值为______．
16. 在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”如图是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，若，，则的值为______．

17. 如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与点、、为顶点的三角形全等．
18. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则的度数为______．

三、解答题（本题共9小题，共64分）

19. 计算：．
    先化简，再求值：，其中，．
20. 分解因式：
    ；
    ．
21. 解二元一次方程组：；
    解不等式组．
22. 如图，点，，，在的边上，，．
    求证：；
    若，，平分，求的大小．

23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一格点即三角形的顶点都在格点上．
    在图中作出关于直线对称的；要求：与，与，与相对应
    在直线上找一点，使的值最小．
    如图，已知和、两点，求作一点，使，且到两边的距离相等．
     

24. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连结、．
    求证：；
    试判：与的关系？并说明理由．

25. 某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．
    求“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元；
    若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是元、元．该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具两种均买，请帮助专卖店设计采购方案，使得总利润最大．
26. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．
    例如：，．
    填空：______．
    若，则的取值范围为______；
    已知，求的取值范围；
    计算．
27. 【全等模型】如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，则、、的数量关系为______．
    【类比探究】如图现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点、、、点，且请判断的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
    【灵活应用】如图，过的边、向外作正方形和正方形正方形的条边都相等，个角都是直角，是边上的高，延长交于点，若，，求的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数的幂的乘除、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，不一定成立，因此不一定成立，故A不合题意；
B.当时，，故B符合题意；
C.当时，则，故C不合题意；
D.当时，则，故D不合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐项进行判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
当添加时，可根据“”判定≌；
当添加时，可根据“”判定≌；
当添加时，即，可根据“”判定≌．
故选：．
先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

5.【答案】 

【解析】解：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故A是真命题，不符合题意；
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B是假命题，符合题意；
三角形任意两边之和大于第三边，故C是真命题，不符合题意；
如果，，那么，故D是真命题，不符合题意；
故选：．
根据平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等教材上的相关结论．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入得，
，得．
故选：．
把方程组的解代入二元一次方程组得到关于、的方程组，两式相减得结论．
本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的意义是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，
，
是的垂直平分线，
，
，
同理，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，，计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，
：：：，故正确；
过作于，
平分，
，
，
平分，
平分，
，，
，
，
，故正确；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，
，
，故正确；
故选：．
根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到正确；过作于，根据角平分线的定义得到，，求得，于是得到，故正确；根据四边形的内角和定理得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到，故正确．
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法可以表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

10.【答案】 

【解析】解：正多边形的每个内角等于，
正多边形的每个外角等于，
．
故答案为：．
根据正多边形的每个内角等于，求出正多边形的每个外角等于，根据多边形的外角和等于即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记，，是解答本题的关键．
 

12.【答案】真 

【解析】解：命题“如果，那么”命题是真命题；
故答案为：真．
直接利用实数的性质进行判定即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，
所以，周长；
是底边时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为．
故答案为：．
题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
 

14.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：或
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集为，
，，
，，


，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，，即可求出，的值，最后再代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图可知：大正方形的面积减去个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即，
，，
，
，
．
故答案为：．
结合图形可知：大正方形的面积减去个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将和代入求出，根据即可求出．
本题考查完全平方公式，平方根，解题的关键是结合图形找出，进行求解．
 

17.【答案】或或或 

【解析】解：，，
，
当在线段上，时，≌，
，
，
点的运动时间为秒；
当在线段上，时，≌，
，
，因此时间为秒；
当在上，时，≌，
，
，
点的运动时间为秒；
当在上，时，≌，
，
，
点的运动时间为秒，
故答案为：或或或．
此题要分两种情况：当在线段上时，当在上，再分别分两种情况或进行计算即可．
本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握直角三角形确定的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图：连接、，

，为的平分线，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，
，
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：．
连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：．


；


，
当，时，原式． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题主要考查整式的混合运算化简求值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先提取公因式，再套用平方差公式；
先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
二元一次方程组的解为．
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解． 

【解析】根据加减消元法解二元一次方程组即可；
先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤和解不等式组的一般步骤，是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
又，
，
．
解，，
，
平分，
，
． 

【解析】由已知的平行证明，从而得到，即可求证；
先根据三角形内角和等于求出的度数，在由角平分线求出，进而得到答案．
本题考查了平行线的性质和判定，以及三角形内角和定理，属于基础题，解题的关键是掌握掌握对应的知识点．
 

23.【答案】解：如图，即为所求作的三角形；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．
 

【解析】分别作出各顶点关于直线的对称点，再逐次连接即可；
连接与直线的交点即为点；
作出的角平分线与线段的垂直平分线，与的交点即为点．
本题考查作图轴对称变换，作图作角平分线，作图作线段垂直平分线，掌握轴对称，角平分线，线段垂直平分线的性质，是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，，
，
；
解：与的关系为：，，理由如下：
，
，
由得：，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
． 

【解析】易证，又，由三角形内角和定理即可得出结论；
先证≌，得出，，再由，，则，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设“冰墩墩”玩具每只进价元，“雪容融”玩具每只进价元，
由题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”玩具每只进价元，“雪容融”玩具每只进价元；
设购进“冰墩墩”玩具只，购进“雪容融”玩具只，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，
或或，
专卖店共有种采购方案，
当，时，利润为：元；
当，时，利润为：元；
当，时，利润为：元；
，
利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”玩具只，购进“雪容融”玩具只，最大利润为元． 

【解析】设“冰墩墩”玩具每只进价元，“雪容融”玩具每只进价元，由题意：只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进“冰墩墩”玩具只，购进“雪容融”玩具只，由题意：该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具两种均买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

26.【答案】   

【解析】解：


．
故答案为：；

，
，
解得：．
故答案为：；

由题意知或，
解得：或．
故的取值范围是或；



；
，
原式

．
根据新定义计算可得；
结合新定义知，解之可得；
由题意可得或，分别求解可得；
先利用作差法判断出，再根据新定义计算即可求解．
本题主要考查新定义，解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

27.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
故答案为：；

中结论不成立，，理由如下：
，，，
，
，
，，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
中结论不成立；

如图所示，过点作于，过点作交延长线于，
由题意得，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
同理可证≌，
，，
，，，
≌，
，
，
，
．
只需要证明≌得到，，即可证明；
利用三角形外角的性质分别证明，，即可证明≌得到，，从而推出；
如图所示，过点作于，过点作交延长线于，同证明≌得到，，≌，得到，，再证明≌得到，即可得到．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确理解题意掌握一线三垂直模型是解题的关键．