2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高一下学期期中调研数学试题含解析

2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高一下学期期中调研数学试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式得到集合，从而求出交集.

【详解】，解得或，故或，

故.

故选：B

2．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由于是指数式，并且可以化成同底数的指数式，所以可以构造指数函数，利用指数函数的单调性判断大小；是对数式，并且根据对数函数单调性可以得到，从而得到之间的大小关系.

【详解】因为，且指数函数是增函数，，

所以，即，

又因为，所以.

故选：A.

3．在平行四边形中，

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】在平行四边形ABCD中,,所以 ,选A.

4．已知角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义求解.

【详解】解：因为角的终边经过点，

所以，

故选：D

5．已知向量，，，若，则（    ）

A． B．2 C．-1 D．-2

【答案】A

【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为，，，

所以,

又，所以，解得.

故选：A

6．函数的图象经过下列哪个变换可以得到的图象，这个变换是（    ）

A．先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍

B．先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的

C．先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，再将图象向左平移个单位

D．先把函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移个单位

【答案】B

【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.

【详解】先将函数的图象向左平移个单位得到，

再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到，即.

故选：B

7．已知函数．则“的函数图象关于轴对称”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据诱导公式、余弦函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为，

若的函数图象关于轴对称，则，，

所以由“的函数图象关于轴对称”得不到“”，即充分性不成立，

由“”可以得到“的函数图象关于轴对称”，即必要性成立；

故“的函数图象关于轴对称”是“”的必要不充分条件.

故选：B

8．已知，其中在一个周期内的图象如图所示．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据图象最值，可求得A值，根据图象的周期性，结合公式，即可求得值，根据五点作图法，代入数据，即可得值，即可得答案.

【详解】观察可得图象最大值为2，最小值为-2，所以A=2，

因为，所以，解得，

根据五点作图法可得：，解得，

所以.

故选：B

9．函数（且）的图象可能为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.

【解析】1.函数的基本性质；2.函数的图象.

10．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．则下列错误的是（    ）

A．是奇函数

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】根据奇偶性的定义以及指数的运算性质逐一判断即可.

【详解】由，，

对于A，，，

且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，故A正确.

对于B，，

，故B不正确；

对于C，，故C正确，

对于D，，

，故D正确.

故选：B.

二、填空题

11．__________．

【答案】

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.

【详解】.

故答案为：

12．已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为________．

【答案】

【分析】令扇形所在圆的半径为，根据扇形的面积公式有，即可求.

【详解】由题意，令扇形所在圆的半径为，则,

∴，故.

故答案为：

13．sin35°cos25°+cos35°cos65°=________．

【答案】

【分析】利用诱导公式将原式化为，再根据两角和得正弦公式即可得出答案.

【详解】解：sin35°cos25°+cos35°cos65°

.

故答案为：.

14．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________.

【答案】 1,1

【详解】根据平面向量的点乘公式,由图可知，, 因此=;

,而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1.

【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法．

三、双空题

15．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气､固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．

（1）若甲声波的数学模型为，乙声波的数学模型为，甲､乙声波合成后的数学模型为．要使恒成立，则的最小值为__________．

（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的声波合成得到的，的数学模型分别记为和，满足．已知两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．

①；

②；

③；

④．

则两种声波的数学模型分别是__________．（填写序号）

【答案】     （1）     ②④

【分析】第一空利用余弦定理的和角公式展开，结合三角函数的性质计算即可；第二空结合图象确定周期为2，最大值低于3，依次组合分析即可.

【详解】要恒成立，

即对恒成立，

故，又；

根据周期的计算公式，对于①②③④四个函数其周期分别为：，由图象可知的最小正周期为2，故排除①，若③④组合，其周期为不符合题意，

故为②④组合.

故答案为：；②④

四、解答题

16．设向量.

(1)求；

(2)若，，求的值；

【答案】(1)1

(2)2

【分析】（1）先求得，然后求得.

（2）根据列方程组，化简求得，进而求得.

【详解】（1），；

（2），

所以，解得：，所以.

17．已知.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先由诱导公式求得，再由平方关系及商数关系求得，最后由倍角公式求得即可；

（2）先由诱导公式及倍角公式化简，再代入求值即可.

【详解】（1）由题意得，，又，则，

则，；

（2）.

18．已知函数的周期为，且图像上一个最低点为．

(1)求的解析式；

(2)当时，求函数的最值以及取得最值时x的值．

【答案】(1)

(2)时，取得最小值；时，取得最大值1

【分析】（1）根据周期求出，根据最低点求出，，则可得函数的解析式；

（2）根据，求出，再根据正弦函数的性质可得结果.

【详解】（1）因为函数的周期为，且图像上一个最低点为，

所以，，，解得，

由于，所以，

所以的解析式为

（2）因为，所以，

所以当时，即时，取得最小值；

当，即时，取得最大值1．

19．对于角的集合和角，定义为集合相对角的“余弦方差”．

(1)集合和相对角的“余弦方差”分别为多少？

(2)角，集合，求相对角的“余弦方差”为多少？

(3)角，集合，求相对角的“余弦方差”是否有最大值？若有求出最大值，若没有说明理由？

【答案】(1)

(2)

(3)有最大值；集合相对角的“余弦方差”的最大值为1

【分析】（1）按照“余弦方差”的定义代入公式，利用诱导公式、二倍角公式化简计算即可；

（2）按照“余弦方差”的定义代入公式，利用诱导公式、二倍角公式及余弦的和差角公式、和差化积化简计算即可；

（3）利用二倍角公式将问题化简为：

取特殊情况，代入可得结果.

【详解】（1）集合A相对角的“余弦方差”为：

集合相对角的“余弦方差”为：

（2）集合相对角的“余弦方差”为

（3）集合相对角的“余弦方差”为

，角，

令则

所以

令此时，均取得最大值，

故.

即集合相对角的“余弦方差”的最大值为1．

【点睛】本题关键在于使用诱导公式、和差倍角公式、和差化积公式将角化为统一，属于压轴题.