2022-2023学年广东省茂名市第一中学奥校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省茂名市第一中学奥校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（    ）

A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5

【答案】A

【分析】由已知，设出扇形的半径和弧长，然后根据扇形周长和面积列出方程组，解出半径和弧长，然后直接计算圆心角的弧度数即可.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，

故扇形的圆心角的弧度数或 ．

故选：A.

2．已知函数的图象恒过定点，若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且点在角的终边上，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由对数函数图象的特征求出定点，再由三角三函数的定义求解即可

【详解】函数的图象恒过定点，

且点在角的终边上，

所以，

故选：C

3．，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正切函数的和角公式，由，可得答案.

【详解】．

故选：D.

4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；

【详解】解：设圆的半径为，则，，

由勾股定理可得，即，

解得，所以，，

所以，因此.

故选：B

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，可排除C、D，利用和时，，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，

且，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D；

当时，可得，且时，，

结合选项，可得A选项符合题意.

故选：A.

6．已知为第二象限角，则（    ）

A．1 B．-1 C．0 D．2

【答案】B

【分析】把第一个根式分母有理化，第二个根式切化弦，开方后整理得答案．

【详解】因为为第二象限角，所以，，所以.

故选

【点睛】本题考查三角函数的化简求值及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题，、．

7．设，，，则有（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用辅助角公式和二倍角公式化简a，b，c，再进行比较.

【详解】解：由题意得：，

，，

，，

，

故选：C

8．设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为

A．6 B．7 C．13 D．14

【答案】A

【详解】由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

二、多选题

9．要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ）

A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍

B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍

C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度

D．横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平行移动个单位长度

【答案】BD

【分析】先由横坐标的变换排除AC选项，再验证BD选项的正确性.

【详解】要想得到的图象，图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍，故排除AC；

图象上所有点先向左平移个单位长度，得到，

再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍，得到，B正确；

的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍，变为，

再把所得各点向左平行移动个单位长度，得到，D正确.

故选：BD

10．设函数，则（    ）

A．是偶函数 B．在区间上单调递增

C．最大值为2 D．其图象关于点对称

【答案】AD

【分析】首先根据辅助角公式化简函数，然后根据选项，依次判断函数的性质.

【详解】，所以函数是偶函数，故A正确；

时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误；

函数的最大值是，故C错误；

当时，，所以函数图象关于点对称，故D正确.

故选：AD

11．在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的最小值是2

C．的最小值是 D．的面积最小值是

【答案】ABD

【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断．

【详解】解：由题意得：，

由角平分线以及面积公式得，

化简得，所以，故A正确；

，当且仅当时取等号，

，，

所以，当且仅当时取等号，故D正确；

由余弦定理

所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；

对于选项：由得：，，

当且仅当，即时取等号，故C错误；

故选：ABD．

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4

B．若，则的最小值为1

C．若在内单调递减，则的取值范围为

D．若在内无零点，则的取值范围为

【答案】BC

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．

【详解】解：，，

若将图象向左平移个单位，所得图象与原来的图象重合，

则，， ，，故的最小值为8，故A错误；

若，且最小，则函数的图象关于直线对称，

，，即，则的最小值为1，故B正确；

若在内单调递减，由，所以，则，，解得，，令，可得的取值范围为，故C正确；

若在内无零点，则，，解得，，

令，可得的取值范围；令，可得的取值范围，

故的取值范围为，故D错误，

故选：BC．

三、填空题

13．已知锐角的内角的对边分别为，若，则___________.

【答案】##

【分析】由正弦定理边化角，再利用中即可化简求解.

【详解】解：在锐角中，因为，

所以由正弦定理可得，

因为，

所以，

因为，

所以，

故答案为：.

14．函数的值域是___________．

【答案】

【分析】根据二倍角公式将原式化简，得，利用换元法和二次函数的性质即可求解.

【详解】，

令，所以原函数，

函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，能取到最小值，

当时，能取到最大值7，

所以函数的值域为.

故答案为：.

15．若，则___________.

【答案】

【分析】由题意可得，令，则，，化简即得解.

【详解】由题意可得，

令，则，，

所以原式，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.

16．已知中，，一直线分为面积相等的两个部分，且夹在之间的线段为，则长度的最小值为____________．

【答案】2

【分析】设.利用面积关系得到.在中，利用余弦定理和基本不等式求出长度的最小值.

【详解】

由勾股定理,得.

设,则.

.由题意,知,所以.

而，所以.

在△BNM中,由余弦定理得：

.当且仅当时,等号成立.

故线段MN长度的最小值为2.

故答案为：2

四、解答题

17．已知，．

(1)求cos2α的值；

(2)若，且，求角β．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据条件由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式转化为正切化简求值；

（2）利用角的变换及两角差的正弦公式求解即可.

【详解】（1）由可得，即，

.

（2）,,

，又，，

由（1）知，，，

，

又，.

18．在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)周长的取值范围为

【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化即可.

（2）由正弦定理，边化角得，结合B的范围求解.

【详解】（1）选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.

选条件②：因为，所以

所以，又因为，所以，所以，所以，

选条件③：由正弦定理可得

即，又因为，所以，因为，所以.

（2）

，，

则即，

即周长的取值范围为.

19．已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为．

（1）求和的值；

（2）求的单调递增区间；

（3）若，且方程有解，求k的取值范围．

【答案】（1）；；（2）答案见解析；（3）

【分析】（1）利用周期求，把代入求出；

（2）对a分类讨论，利用复合函数单调性法则列不等式，求出单增区间；

（3）先求出若时，的值域，即可求出k的范围.

【详解】（1）依题可得：∵，∴

又函数图像的一个对称中心为，

所以，∴，，

又，∴

（2）由（1）知

当时，由，得，

得函数单调递增区间为

当时，由，得，

得函数单调递增区间为

（3）若，

由得，，

要在时有解，则．

20．如图，在中，已知，A为锐角，边上的两条中线相交于点P，的面积为.

(1)求的长度；

(2)求的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用面积公式得到，再结合条件可求解；

（2）根据中线分别求出，再运用余弦定理可求解.

【详解】（1）由题知，，所以，

又因为，所以或.

因为为锐角，所以.

在中，由余弦定理知，

整理得，

解得.

（2）因为，

所以.

，

所以，.

所以的余弦值为.

21．已知函数.

(1)若函数是偶函数，求的最小值；

(2)若，求的值；

(3)求函数在上的最大值．

【答案】(1)的最小值为

(2)的值为

(3)函数在上的最大值

【分析】（1）根据辅助角公式化简原函数，根据变换后奇偶性列出等式求解即可；

（2）根据题意对进行缩角，求出它的余弦后利用配角知识和两角和的余弦公式求解即可；

（3）先进行换元，然后对进行分类讨论即可.

【详解】（1）由题意得，，

所以，

又因为是偶函数，

所以，即，

当时，最小，最小值为.

（2），即，

因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以.

所以的值为.

（3）令，因为，所以，

所以即求在上的最大值，

当，即时，，

当，即时，.

所以函数在上的最大值.

22．为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．

(1)当，求四边形的面积；

(2)当为何值时，线段最长并求最长值

【答案】(1)平方百米

(2)当时，的最大值为3百米

【分析】（1）在中，由余弦定理得，再由面积公式得四边形的面积，计算即可求解；

（2）由余弦定理计算得到，再由正弦定理得到，根据同角的平方关系得到，再由两角和的余弦公式求得，最后在中利用余弦定理得到，结合三角恒等变换得到关于的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求的最值.

【详解】（1）由题意得，百米，百米，，

所以在中，由余弦定理得

百米，

于是四边形的面积为

平方百米．

（2）在中，由余弦定理得：

，∴百米，

在中，由正弦定理得，即，

又，所以为锐角，∴，

∴

，

在中，由余弦定理得：

．

∵，∴当时，的最大值为3百米．