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    2022-2023学年广东省茂名市第一中学高二奥校上学期期中数学试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年广东省茂名市第一中学高二奥校上学期期中数学试题(解析版),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年广东省茂名市第一中学高二奥校上学期期中数学试题

     

    一、单选题

    1.设ye3,则y等于(    

    A3e2 B0 Ce2 De3

    【答案】B

    【解析】利用导数公式求解.

    【详解】因为ye3

    所以y′=0,

    故选:B

    【点睛】本题主要考查导数的计算,属于基础题.

    2.设等比数列的公比为,若,则    

    A B2 C D.-2

    【答案】A

    【分析】表示出后可解得

    【详解】因为,所以,解得

    故选:A

    3.如图,用4种不同的颜色对ABCD四个区域涂色,要求相邻的两个区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方法有(    

    A24 B48 C72 D96

    【答案】B

    【分析】按涂色顺序进行分四步,根据分步乘法计数原理可得解.

    【详解】按涂色顺序进行分四步:涂A部分时,有4种涂法;涂B部分时,有3种涂法;涂C部分时,有2种涂法;涂D部分时,有2种涂法.

    由分步乘法计数原理,得不同的涂色方法共有.

    故选:B.

    4.设是函数的导函数,的图像如图所示,则的图像最有可能的是(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】时,,当时,,当时,,根据函数的单调性即可判断.

    【详解】由导函数的图象可得当时,,函数单调递增;

    时,,函数单调递减;

    时,,函数单调递增.

    只有C选项的图象符合.

    故选:C.

    5.函数的大致图像为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.

    【详解】因为函数,定义域为

    所以为偶函数,故B错误;

    得,

    同理,由得,,故C错误;

    因为

    所以,故D错误;

    因为函数,定义域为

    且当时,

    有,

    同理,由,解得

    所以当时,单调递增,在上单调递减,

    ,所以A正确.

    故选:A.

    6.若函数上的增函数,则实数的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】根据题意转化为上恒成立,得到上恒成立,结合二次函数的性质,即可求解.

    【详解】由题意,函数,可得

    因为函数上的增函数,可得上恒成立,

    上恒成立,即上恒成立,

    ,由二次函数的性质,可得当时,可得

    所以,即实数的取值范围是.

    故选:C.

    7.如图,某几何体的形状类似胶囊,两头都是半球,中间是圆柱,其中圆柱的底面半径与半球的半径相等(半径大于1分米).若该几何体的表面积为平方分米,其体积为立方分米,则的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】设圆柱的底面半径与高分别为分米,分米,可得该几何体的表面积求出,再求该几何体的体积,利用导数判断单调性可得答案.

    【详解】设圆柱的底面半径与高分别为分米,分米,则该几何体的表面积平方分米,则,所以该几何体的体积

    时,,则上单调递增,而,故的取值范围是.

    故选:A.

    8.若,则(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】abc同时取自然对数可得,构造函数,利用导数研究函数的单调性,结合对数函数的单调性即可求解.

    【详解】abc同时取自然对数,

    构造函数,则

    时,,则上单调递增,

    所以,即

    所以,又函数上单调递增,

    故选:C.

     

    二、多选题

    9.下列数列是等比数列的是(    ).

    A11111 B0000

    C D1

    【答案】AC

    【详解】解:A选项,由等比数列的定义可知,该数列首项为1公比为1的等比数列,故A正确;

    B选项,由等比数列的定义可知,等比数列的每一项都不能为0一定不是等比数列,B错误;

    C选项,由等比数列的定义可知,首项为,公比为的等比数列,故C正确;

    D选项,由等比数列的定义可知,故不是等比数列,故D错误.

    故选:AC.

    10.对于函数,则(    

    A有极大值,没有极小值

    B有极小值,没有极大值

    C.函数的图象有两个交点

    D.函数有两个零点

    【答案】AD

    【分析】对函数求导,通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值;画出函数的图象从而可判断交点个数;函数有两个零点价于函数图像有两个交点,数形结合即可判断.

    【详解】,则

    因为恒成立.

    所以当时,单调递减;

    时,单调递增;

    所以处有极大值,没有极小值,故A正确,B错误;

    根据的单调性,画出函数图像,以及的图象,如图:

    由此可知,函数的图象只有一个交点,故C错误;

    函数有两个零点等价于函数图像有两个交点,如下图所示:

    由此可知,函数图像有两个交点,即函数有两个零点;故D正确.

    故选:AD.

    11.函数过点的切线方程是(    

    A B

    C D

    【答案】AD

    【分析】设出切点坐标,利用导数求切线斜率,得切线方程,代入点可得切点和切线方程.

    【详解】设切点坐标为,由处的切线斜率为

    切线方程为,由切线过

    ,解得时切线方程,选D

    时切线方程,选A.

    故选:AD

    12.已知函数,则(    

    A的极大值为

    B的最小值为

    C.当的零点个数最多时,的取值范围为

    D.不等式的解的最大值与最小值之差小于

    【答案】ACD

    【分析】求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间,从而求出函数的极值、最值,即可判断AB,再根据函数的极值及零点求出参数的取值范围,即可判断C,再根据特殊值判断D

    【详解】解:因为

    所以.

    时,;当时,.

    上单调递减,在上单调递增,

    所以函数在取得极小值,在处取得极大值,在处取得极小值,

    的极大值为的最小值为,故A正确,B错误.

    所以零点个数最多为,此时,解得C正确.

    不等式,即,令,则

    .

    时,;当时,.

    上单调递减,在上单调递增,

    所以的函数图象如下所示:

    因为

    的解的最大值与最小值之差小于

    即不等式的解的最大值与最小值之差小于D正确.

    故选:ACD

     

    三、填空题

    13.由0123组成的没有重复数字的四位数有________个;

    【答案】18

    【分析】先排第一个数字,再把剩下的三个数字排列即可.

    【详解】因为第一个数字不能为0,所以先排第一个数字,再把剩下的三个数字排列,则一共有种排法.

    故答案为:18.

    【点睛】本题考查排数问题,属于基础题.

    14.函数的最小值是______

    【答案】3

    【分析】求出,得出单调性,从而得出函数的最小值.

    【详解】,由,解得

    ,解得

    所以上单调递减,在 上单调递增,

    所以当时,有最小值3.

    故答案为:3.

    15.已知函数,则的最小值是________

    【答案】##

    【分析】作出函数图象,设,由图象可得的范围,并用表示出,从而可表示为的函数,再利用导数求得最小值.

    【详解】函数的图象如图所示.

    ,则,所以.令

    时,单调递减,当时,单调递增,

    所以

    故答案为:

    16.已知,若对任意的不等式恒成立,则实数的最小值为_______.

    【答案】

    【分析】根据式子的结构,把原不等式转化为恒成立. ,判断出的单调性,转化为恒成立.利用分离参数法得到,令,利用导数求出,即可求出实数的最小值.

    【详解】恒成立,等价于

    ,则

    ,所以当时都有,所以单调递增.

    所以不等式转化为,即,即,即,即.

    ,则.

    都有,所以单调递增;当时,都有,所以单调递减.

    所以

    所以,即的最小值为.

    故答案为:.

    【点睛】恒成立问题的处理:

    参变分离,转化为不含参数的最值问题;

    不能参变分离,直接对参数讨论,研究的单调性及最值.

     

    四、解答题

    17.已知)在时有极值0.

    1)求常数的值;

    2)求函数在区间上的值域.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)由条件可知,求解,再验证;(2)利用导数先求函数的单调区间,再判断的最值.

    【详解】1)可得

    由题时有极值0.可得:

    解得:(舍去)或,经验证成立;

    2)由(1)可知

     

     

     

    所以函数递增,递减.

    可得值域为.

    18.已知函数,将满足的所有正数从小到大排成数列.

    (1)的通项公式.

    (2),求数列的前项和.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)求导数,解方程,表示出.

    2)求出数列的通项,由通项特征用错位相减法求前项和.

    【详解】1

    解出

    从而.

    2

    两式相减得

    .

    19.已知函数 (其中为常数且)处取得极值.

    (1)时,求的单调区间;

    (2)上的最大值为,求的值.

    【答案】(1)递增区间为,没有减区间

    (2)

     

    【分析】1)对求导,利用导函数的正负求解单调区间即可;

    2)对函数进行求导,根据的不同取值分情况讨论求解函数最大值即可得到答案.

    【详解】1的定义域为

    因为,所以

    因为处取得极值,

    所以,即

    时,,故

    所以的递增区间为,没有减区间.

    2)由(1)可得

    所以

    解得

    因为处取得极值,所以

    时,上单调递增,在上单调递减,

    所以上的最大值为,令,解得

    时,

    时,上单调递增,上单调递减,上单调递增,

    所以最大值可能在处取得,

    所以,解得;

    时,上单调递增,上单调递减,上单调递增,

    所以最大值可能在处取得,

    所以,解得,与矛盾;

    时,上单调递增,在上单调递减,

    所以最大值可能在处取得,而矛盾.

    综上,.

    【点睛】在解决最值问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数内所有使的点,再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在左侧与右侧的符号不同.

    20.已知函数.

    (1)求函数的极值;

    (2)证明:.

    【答案】(1)极小值为,无极大值

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)求导得,分析的符号,进而可得的单调性.

    2)要证,需证,即证,令,只需证明,即可得出答案.

    【详解】1)解:函数的定义域为

    ,得,由,解得

    ,解得

    所以的单调递增区间为,单调递减区间为

    的极小值为,无极大值.

    2)解:因为

    所以要证,即证

    所以

    ,则

    所以单调递增,

    所以单调递增,

    时,;当时,

    所以存在使得,即

    所以在上,单调递减,

    上,单调递增,

    所以

    代入中,

    所以

    所以

    21.已知函数

    (1)时,求上的值域;

    (2)时,,求实数a的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)由,可知单调递增,从而 可求得值域;

    2)分三种情况讨论即可求得的取值范围.

    【详解】1)由题意知

    时,

    时,恒成立,所以单调递增,

    ,即

    所以的值域为.

    2)注意到

    由(1)知,当时,

    时,

    所以恒成立,符合题意;

    时,,不合题意,舍去;

    ,因为当时,

    ,所以单调递增,

    ,故存在满足

    时,单调递减,,不合题意,舍去;

    综上可知,.

    22.已知函数.

    (1)若函数处的切线方程为,求的值;

    (2)讨论方程的解的个数,并说明理由.

    【答案】(1),

    (2)时,方程无解;当时,方程有唯一解;当时,方程有两解.

     

    【分析】1)求出导函数,利用在处的切线方程为,列出方程组即得;

    2)分讨论,时,根据函数的导数判断函数的单调性,求出极小值,根据函数的性质及零点存在定理即得.

    【详解】1)因为

    所以

    处得切线方程为

    所以

    解得

    2)当时,在定义域内恒大于0,此时方程无解;

    时,在区间内恒成立,

    所以在定义域为增函数,

    因为

    所以方程有唯一解;

    时,

    时,在区间内为减函数,

    时,在区间内为增函数,

    所以当时,函数取得最小值

    时,,方程无解,

    时,,方程有唯一解,

    时,

    因为,且,所以方程在区间内有唯一解,

    时,设

    所以在区间内为增函数,

    ,所以,即

    因为,所以

    所以方程在区间内有唯一解,

    所以方程在区间内有两解,

    综上所述,当时,方程无解;当时,方程有唯一解;当时,方程有两解.

    【点睛】利用导数研究零点问题:

    1)确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象;

    2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法,把问题转化为研究构造的函数的零点问题;

    3)利用导数研究函数零点或方程根,通常有三种思路:利用最值或极值研究;利用数形结合思想研究;构造辅助函数研究.

     

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