2022-2023学年江苏省镇江中学高一下学期4月期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省镇江中学高一下学期4月期中数学试题

一、单选题

1．复数满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】先求出复数，再求出其模

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B

2．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（    ）

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】C

【分析】由斜二测画法知识得原图形底和高

【详解】原图形中，，边上的高为，故面积为32

故选：C

3．已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ）

A． B．1 C． D．0

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示计算．

【详解】由已知，，

又与共线，所以，解得．

故选：C．

4．在中，角的对边分别为，若，则（   ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果．

【详解】∵，

∴由正弦定理可得：，

，，.

故选：A．

5．在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．

【详解】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．

6．若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是(    )

A．l至少与a，b中一条相交

B．l至多与a，b中一条相交

C．l至少与a，b中一条平行

D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行

【答案】A

【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误.

【详解】因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.

若l与a、b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a、b异面矛盾，故A对；

当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.

故选：A.

7．在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则取最小值时，（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【解析】根据题中条件，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值，以及取得最小值时与的值，最后根据余弦定理，即可求出结果.

【详解】因为在中，，的面积为，

所以，则，

又是边的中点，是线段的中点，

所以，

，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以在中，

由余弦定理可得：，

则.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定取得最小值的条件，根据三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.

8．湖北省第十六届运动会将于2022年10月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端B离地面3.5m，大屏幕高3m，若某位观众眼睛离地面1.5m，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野?（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，表示出，，利用两角差正切公式，结合基本不等式可确定当时，取得最大值，由此可得结论.

【详解】如图所示，

由题意知：，，

设，则，，

当且仅当，即时取等号，

，当时，可以获得观看的最佳视野.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．棱柱的侧面一定是矩形

B．三个平面至多将空间分为3个部分

C．圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成

D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥

【答案】CD

【分析】利用斜棱柱的侧面可判断A选项；取三个两两相互垂直的平面可判断B选项；利用圆台的形成可判断C选项；利用五棱锥的结构特征可判断D选项.

【详解】对于A选项，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错；

对于B选项，若三个平面两两垂直，则这三个平面可将空间分为个部分，B错；

对于C选项，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成，C对；

对于D选项，一个五边形可分为三个三角形，所以，任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D对.

故选：CD.

10．设有下面四个命题，其中正确的命题是（    ）

A．若复数z满足，则；

B．若复数z满足，则；

C．若复数满足，则；

D．若复数，则

【答案】AD

【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的模运算法则，可判定D正确．

【详解】对于A中，设复数，

可得，

因为，可得，所以，所以A正确；

对于B中，取，可得，所以B不正确；

对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；

对于D中，设，

所以

，

所以，故D正确；

故选：AD

11．给出下列命题中，其中正确的选项有（    ）

A．若非零向量满足：，则与共线且同向

B．若非零向量满足：，则与的夹角为60°

C．若单位向量的夹角为60°，则当取得最小值时，

D．在中，若，则为等腰三角形

【答案】ACD

【分析】选项A：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；选项B：根据得到以为三边的三角形为等边三角形，从而得到与的夹角为30°；选项C：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；选项D：根据题意分析出都为单位向量，从而得到向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断为等腰三角形.

【详解】选项A：对非零向量，

，

若使成立，即使成立，

则，即，所以与共线且同向，选项A正确；

选项B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误；

选项C：因为单位向量的夹角为60°，

所以

，所以时，取最小值，故选项C正确；

选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即，

所以，即为等腰三角形,所以选项D正确.

故选：ACD

12．在中，角的对边分别为，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若满足的恰有一个，则

D．若为锐角三角形，则

【答案】ABD

【分析】根据两角和的正切公式可判断A；利用同角的三角函数关系结合正弦定理可判断B；作图分析结合解三角形可判断C；利用三角形为锐角三角形结合诱导公式可判断D.

【详解】对于A，由于，故

，A正确；

对于B，由于，故，

由正弦定理可知，B正确；

对于C，设上的高为，则，

当，即时，如图，A点即D点，此时为直角三角形形，恰有一个；

当，即时，此时以C为圆心，以6为半径画弧，与射线的交点只有一个（B除外），

即恰有一个，故C错误；

对于D，由于为锐角三角形，故，

由于在上单调递增，故,

同理,故，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．在正方体中，棱的中点分别为E，F，则异面直线EF与所成角的度数为_____．

【答案】

【分析】利用中位线定理可得，再利用平行四边形的性质可得，从而可得，再利用正方形的性质可得，进而求得答案.

【详解】

因为棱的中点分别为E，F，所以，

因为且，所以四边形是平行四边形，

所以，则.

因为四边形是正方形，所以，则.

所以异面直线EF与所成角的度数为.

故答案为：

14．已知的最大值为，则__________.

【答案】2

【分析】利用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式列出关于a的方程，即可求得答案.

【详解】由，

由于最大值为，故，

解得，或（负值舍去），

故答案为：2

15．如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为 ____________.

【答案】3（百米）

【分析】根据题意，在中，分析角边关系可得，在中，由正弦定理可得的值，然后在中，利用余弦定理可得答案．

【详解】根据题意，在中，，，，

则，则，

在中，，，，

则，

则有，变形可得，

在中，，，，

则，

则；

故答案为：3（百米）

四、双空题

16．如图1是1992年第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中，则 __________， __________.

【答案】         

【分析】由题设结合勾股定理即可得出；求出，的正、余弦值，利用两角和的余弦公式求得，再由数量积定义可得.

【详解】由题设结合勾股定理知：，

同理，，，，，

所以；

，

，

，

.

故答案为：，.

五、解答题

17．已知复数，.

(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；

(2)若复数为纯虚数，求的虚部.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部.

【详解】（1），

在复平面内对应的点在第二象限，则

.

所以实数的取值范围为；

（2）.

为纯虚数，则且，

所以，

此时，所以的虚部为.

18．已知向量，.

(1)求的值；

(2)求及向量在向量上的投影向量的坐标；

(3)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)，

(3)

【分析】（1）求出的坐标，进而可得模；

（2）直接利用数量积的坐标运算求，至于投影向量也直接用公式求解即可；

（3）求出的坐标，然后利用求解实数的值即可.

【详解】（1），，

，

；

（2），，

，

向量在向量上的投影向量为；

（3）由已知，

，

，解得.

19．在△ABC中，已知．

(1)求∠A的大小；

(2)请从条件①：；条件②：这两个条件中任选一个作为条件，求cosB和a的值．

【答案】(1)或；

(2)选条件①：， a=7；选条件②：，a=7．

【分析】（1）先用正弦定理求出角A；

（2）选条件①：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用余弦定理求出a；

选条件②：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用正弦定理求出a．

【详解】（1）△ABC中，因为，所以．

由正弦定理得：，所以．

所以或．

（2）选条件①：，则，所以(舍去)．

此时，，，，

所以．

即．

由余弦定理得：，

即，

解得：(舍去)．

选条件②：．

因为，所以，所以(舍去)．

此时，，，，

所以．

即，所以，

由正弦定理得：，

即，

即a=7．

20．已知，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用同角三角函数和二倍角公式可求得，，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果；

（2）根据同角三角函数可求得，由，结合两角和差余弦公式和的范围可求得结果.

【详解】（1），，，

，

，

；

（2），，，

；

，，.

21．在中，为所在平面内的两点，，．

（1）以和作为一组基底表示，并求；

（2）为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求．

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）利用基底法，以和作为一组基底表示即可；

（2）因为直线经过的垂心，所以，即，分别表示出代入即可．

【详解】（1）由，所以为线段上靠近的三等分点．

由，

所以为线段的中点，

，

因为，

所以；

（2）为直线上一点，设，

则

，

所以，

，

因为直线经过的垂心，所以，即，

所以， 解得，

所以，

因为，

所以．

【点睛】本题关键之处在于第二问中“直线经过的垂心”转化为“”，进而有“”．

22．如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.

(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；

(2)若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的面积分别设为，，则和哪一个更小？

【答案】(1)百米

(2)答案见解析.

【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得连廊的长；

（2）分别表示出方案②和方案③的面积，利用三角函数求最值以及二次函数求最值即可.

【详解】（1）解：点是等腰三角形的顶点，且，

且由余弦定理可得：

解得：

又

在中，，

在中，由余弦定理得

解得，

连廊的长为百米.

（2）解：设图②中的正三角形的边长为，，（）

则，，

设，可得

在中，由正弦定理得：

，即

即化简得：

（其中，为锐角，且）

图③中，设，

平行，且垂直

，，

，

，

当时，取得最大值，无最小值，

即

即方案②面积的最小值小于方案③面积的最大值，即大小不确定.

【点睛】思路点睛：在实际应用中求面积最值，我们一般将面积表示为函数形式，转化为求函数的最值，然后利用三角函数求最值、二次函数求最值、基本不等式求最值以及导数求最值.