2020-2021学年江苏省镇江中学高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年江苏省镇江中学高一下学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省镇江中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则     （    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合纯虚数的定义，列出关系式，计算即可.【详解】∵复数（是虚数单位）是纯虚数，∴，解得.故选：B.【点睛】本题考查纯虚数，考查学生的计算能力，属于基础题.2．已知与是两个不共线的向量，为实数，若向量与向量平行，则的值为　　A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意即可得出，从而可得出，然后解出即可．【详解】不共线，，又向量与平行，根据共线向量基本定理得：存在实数，使，根据平面向量基本定理得：，解得．故选：．3．已知向量，，，，则（    ）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】由题意求出的坐标，再由列方程组可求出的值，从而可求出的值【详解】解：因为，，所以，因为，，所以，解得，所以，故选：D4．已知复数满足(为虚数单位)，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据，得到复数z所对应的点在以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上求解.【详解】因为复数满足，所以复数z所对应的点在以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上，如图所示：由图知：当z对应的点为（0,3）时，的模最大，最大值为3，故选：C5．设，，，则有（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换化简，再由单调性即可比较其大小.【详解】因为，所以：又因为所以：.故选：A.6．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列结论不正确的是（    ）A． B．C．若，则的面积是 D．是钝角三角形【答案】B【分析】用正弦定理即可判断A；用余弦定理可以判断D，再结合平面向量数量积的定义可以判断B；先用余弦定理确定A，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.【详解】对A，由正弦定理可得正确；对B，D，设，∴，A为钝角，，B错误，D正确；对C，∵，则，∴，∴.故选：B.7．已知，，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出的值，再由求出，从而可求出的值，进而可求出的值【详解】解：因为，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，，所以，则 ，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：D8．已知，，且，，若，则（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设，易知在上递增，且是的一个零点，再由，且，得到也是的一个零点，由求解.【详解】因为， 且，设，因为在上递增，所以在上递增，且是的一个零点，又因为 ，所以，又，即，所以也是的一个零点，所以，所以，，解得或（舍去），故选：A9．下列关于复数的命题中(是虚数单位)，说法正确的是(    )A．若关于x的方程有实根，则B．复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限C．是关于x的方程的一个根，其中p，q为实数，则D．已知复数，满足，则【答案】A【分析】设实根为，代入方程可求得值，可判断选项A是否正确；根据等式求出，可判断选项B是否正确；把代入方程可求得值，可判断选项C是否正确；举例可判断选项D是否正确．【详解】对于选项A，设实根为，代入方程可得：，所以∴，解得：或，所以，故A正确；对于选项B，∵，∴，∴在复平面对应的点位于第一象限，故B错误；对于选项C，由题意得：，∴∴，解得：，故C错误；对于选项D，取，满足，但，故D错误．故选：A．二、多选题10．下列命题中正确的是（    ）A．若，不共线，，，则向量，可以作为一组基底B．中，，则使直角三角形C．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则使等腰三角形D．对于任意向量，，都有【答案】BCD【分析】利用向量共线定理与平面向量的基底即可判断选项；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项；由正弦定理及三角恒等变换即可判断选项；由向量的数量积运算即可判断选项．【详解】对于，由，，可知，向量与共线，故向量，不可以作为一组基底，故错误；对于，中，，即，所以，即，故是直角三角形，故正确；对于，因为，由正弦定理可得，又，所以，即，即，所以，即，所以是等腰三角形，故正确；对于，对任意向量，，，，故正确．故选：．11．如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且，则下列结论正确的是（    ）A．当P在C点时，，B．当时，C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D．当P是线段CE的中点时，，【答案】ACD【分析】利用三角形法则以及三点共线的性质和平面向量基本定理对应各个选项逐个求解即可．【详解】选项：因为为的中点，则，所以，则，所以，，故正确；选项：当时，点在线段上，故，故错误；选项：当为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是一条线段，故正确；选项：当是线段的中点时，，所以，故正确，故选：．12．若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（    ）A．角一定为锐角 B．C． D．的最小值为【答案】BC【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】依题意，，，为钝角，A选项错误.，，B选项正确.，由正弦定理得，，，由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确.，，整理得，由于为钝角，，所以，当且仅当时等号成立.所以，D选项错误.故选：BC三、填空题13．已知复数，，则___________.【答案】1【分析】根据复数模的计算公式，直接计算，即可得出结果.【详解】∵，，∴．故答案为：1．14．，则___________.【答案】【分析】求值式分子分母同除以，化为后代入的值计算．【详解】，则故答案为：15．若，则与的夹角为________．【答案】.【分析】设向量与向量的夹角为，根据向量的线性运算法则，化简得到，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】设向量与向量的夹角为，由，则，可得，解得，所以，因为，所以，即向量与向量的夹角为.故答案为：.16．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点.”已知内接于单位圆，以BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，.若，则的面积最大值为___________.【答案】【分析】根据拿破仑三角形的性质，可以设的两条直角边为，然后由的边分别用表示出来，然后结合。利用余弦定理可表示出的长度，最后利用基本不等式求出边长的最大值，则面积的最大值可求【详解】解：如图在直角中，设直角边，由题意可得，做出拿破仑三角形如图所示，连接，由等边三角形外心的性质可知，同理，，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，所以的面积最大值为，故答案为：四、解答题17．已知.求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用两角和差公式展开整理，根据同角三角函数的基本关系可求的值；（2）根据二倍角公式求出，再利用两角和差公式展开，代入即可得出结论.【详解】（1），即，化简得，①又sin2α+cos2α=1，②由①②解得cosα=或cosα=，因为，所以.（2）因为，cosα=，所以sinα=，则cos2α=1-2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=，所以.【点睛】本题主要考查了两角和差公式以及二倍角公式.属于较易题.18．已知复数满足，的实部大于0，的虚部为2.（1）求复数（2）设复数，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，点满足和共线，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合复数的模长公式及复数的概念即可求解；（2）结合复数的几何意义可求的坐标，然后结合向量共线的坐标表示可求．【详解】（1）设，（为实数），由得，因为的实部大于，的虚部，所以，所以，所以；（2），，所以，因为和共线，，所以，所以．19．已知向量，，，若函数的最小正周期为.（1）求的值和的对称轴方程；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，的面积为，求的值.【答案】（1），对称轴为；（2）【分析】（1）由题意化简出的解析式，即可得出答案.（2）根据可解出角的值，结合面积公式与角的余弦定理，即可得出答案.【详解】（1）由题意知：所以所以的对称轴方程：.（2）由题意知：，，则.又..所以.所以20．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.(1)求的值;(2)若为线段上任意一点，求的最小值.【答案】(1);(2)【分析】（1）以为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；（2）先确定的位置，即，再令，从而将表示成关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.【详解】(1)在梯形中，因为，，所以， ;(2)令，则，即，令，则，，所以当时，有最小值.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.21．如图所示，是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.已知，.（1）设，，用表示，并求的最小值；（2）设（为锐角），当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.【答案】(1);(2)S= ,8－.【详解】试题分析：(1)首先确定函数的解析式为结合均值不等式的结论可得的最小值是;(2)结合题意和三角函数的性质可得S=，利用三角函数的性质可知的最小值是8－.试题解析：（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即y2＝x 2＋＋16，所以y＝y＝≥＝4，当且仅当x2＝，即x＝4时取等号．所以当x＝4时，y有最小值4．（2）由（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．因为θ为锐角，所以当θ＝时，S有最小值8－4．    22．古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求的近似值(结果保留).（2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O为内切圆的圆心，OA，OB分别为外接圆和内切圆的半径R，r，易知 ，然后在中，利用三角函数的定义求得R，r，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为，因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，所以 ；（2）设O为内切圆的圆心，OA，OB分别为外接圆和内切圆的半径R，r，则 ，如图所示：所以，在中，，即，所以，，即，所以，所以，.