2022-2023学年山东省新泰市第一中学东校高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年山东省新泰市第一中学东校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理求出，再利用平方关系即可得解.

【详解】解：在中，，，，

因为，

所以，

因为，所以，

所以.

故选：D.

2．下列复数是的共轭复数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别计算出四个选项，从而判断出的共轭复数.

【详解】因为，，，，

所以是z的共轭复数．

故选：A

3．已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则实数的值是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为单位向量的夹角为，所以，又因为，所以，故选B．

【解析】1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.

4．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若⊥，则||=　(　　)

A． B． C．3 D．

【答案】B

【详解】如图建立平面直角坐标系，设||=a，

则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，

所以=(2，-a)，=(4，a)，

因为⊥，所以·=0，

所以8-a2=0解得a=2，

所以||=2，所以||==2. 选B.

5．已知将函数的图象向左平移个单位长度后.得到函数的图象.若是偶函数.则=

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果.

【详解】由题意可得：，

因为是偶函数，所以，即，

又，所以，解得，所以，故；

所以.

故选A

【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.

6．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的最大值为2

C．函数在上单调递增

D．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为

【答案】C

【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项

【详解】对于A和B，，

所以的最小正周期为，的最大值为1，故A错误，B错误，

对于C，当时，，

因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；

对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故D不正确，

故选：C

7．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】在和中应用正弦定理求得与，然后在中应用余弦定理求得．

【详解】在中，，即，，

和中，，是等边三角形，，

在中，，

所以，

．

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是根据条件确定正弦定理或者余弦定理计算，及计算的顺序．本题如果在中应用余弦定理求可能更方便一些．

8．已知外接圆半径为1，圆心为，若，则面积的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【解析】根据向量的线性运算,可判断出为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值.

【详解】根据向量的减法运算,化简可得

,则

即为的中点.

又因为为外接圆圆心,该外接圆的半径为1.所以

由圆的性质可知,

设

则

由不等式性质可知,

则,当且仅当时取等号

所以

即面积的最大值为

故选:D

【点睛】本题考查了向量的线性运算,不等式性质的应用,属于基础题.

二、多选题

9．设向量，则（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为（1，0）

【答案】ACD

【分析】根据平面向量的运算法则，向量与向量垂直、平行的坐标表示，平面向量数量积的几何意义判断.

【详解】，，，A对.

，所以B错，C对.

向量在向量上的投影为：，投影向量为.所以D对.

故答案为：ACD.

10．若四棱柱的底面和侧面都是矩形，则四棱柱一定是（    ）

A．平行六面体 B．长方体 C．正四棱柱 D．正方体

【答案】AB

【分析】根据已知四棱柱的性质，即可得出答案.

【详解】根据四棱柱的侧面都是矩形，可知该四棱柱为直四棱柱，

然后根据四棱柱的底面是矩形，可知该四棱柱为长方体.

故选：AB.

11．在中，，，，则角的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.

【详解】由余弦定理，得，

即，解得或.

当时，此时为等腰三角形，，所以；

当时，，此时为直角三角形，所以.

故选：AD

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

12．下列四个选项中哪些是正确的（    ）

A．若，则

B．

C．在任意斜三角形中

D．在三角形中

【答案】ACD

【分析】根据诱导公式可判断A，由同角三角函数的基本关系及诱导公式，余弦函数的单调性判断B，由两角和的正切公式变形即可判断C，由余弦定理可化简判断D.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，

，，B错误；

对于C，在任意斜三角形中，，

整理得，

即，C正确；

对于D，在三角形中，，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知向量与向量互相平行，则的值为_______．

【答案】

【分析】根据向量平行可得，可得，利用正切的二倍角公式即可求解.

【详解】因为向量与向量互相平行

所以，

解得，

所以，

故填.

【点睛】本题主要考查了向量平行的充要条件，向量的坐标运算，正切的二倍角公式，属于中档题.

14．如图，已知水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三角形的面积为_________．

【答案】2

【分析】根据斜二测画法确定原图形，再求其面积.

【详解】由斜二测画法可得原图形为：

其中，，，

所以的面积.

故答案为：.

15．如图，在中，点在边上，，是等边三角形，且面积为，则______．

【答案】/

【分析】求出，，再利用余弦定理求解.

【详解】解：因为是等边三角形，且面积为，所以，解得，所以．因为，所以，

由题得，

在中，由余弦定理得，

即，解得．

故答案为：

16．在中，，点P为线段AC上的动点，，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】设，利用数量积的定义可得与的关系，从而可求其取值范围．

【详解】如图，过作，垂足为，取的中点为，连接，设，

则，

因为点P为线段AC上的动点且，

故且，

故，

故答案为：．

四、解答题

17．已知为两个非零向量，且.

(1)求与的夹角；

(2)求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量垂直的数量积表示，平面向量数量积的运算法及向量夹角的公式即得；

（2）根据平面向量的运算法则结合条件即得.

【详解】（1）∵，

∴,即，

∴，又，

∴，即与的夹角；

（2）∵,

.

18．已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位.

（1）求复数z和；

（2）若复数在第四象限，求m的取值范围.

【答案】（1），则；（2）

【分析】（1）设，依据题设建立方程求出，再求其模；（2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可：

【详解】（1）设，则，

由为实数，得，则，

由为实数，得，则，

∴，则；

（2）由在第四象限，

得，解得，

故m的取值范围为．

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意不妨假设 ，由余弦定理即可求得答案;

（2）由（1）可得的值，继而求得 ，利用二倍角公式以及和角公式，求得答案.

【详解】（1）由题意，不妨设，

则 ；

（2）由（1）可知 ,故，

所以 , ，

故.

20．如图，在平行四边形中，已知，，，，．

（1）若，求m，n的值和向量的模长；

（2）求和夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用向量运算求得，由此求得，进而求得

（2）利用向量夹角计算公式，计算得和夹角的余弦值.

【详解】（1）

，

所以.

.

（2）

则

.

【点睛】用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算了.

21．已知函数.的最小正周期为

(1)求的值和单调递增区间；

(2)当时，求函数的值域.

【答案】(1)，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型三角函数的周期性与单调性得答案即可；

（2）根据正弦型函数的性质求解值域即可.

【详解】（1）

，

最小正周期，即

，

，

函数的单调递增区间为.

（2），

的值域为.

22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.

(1)求证：三点共线；

(2)已知，的最小值为，求实数的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据共线向量定理即可判断作答.

（2）利用向量的数量积的运算求出，再借助二次函数最值求解作答.

【详解】（1）因，则，即，有，

而与有公共点，

所以三点共线.

（2）由，得，

又，有，，

从而，

又，则当时，取最小值，，解得，

所以实数的值为.