2022-2023学年甘肃省张掖市某重点校高二下学期5月月考数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省张掖市某重点校高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知等比数列的首项和公比均为2，则的值为（    ）

A． B．2 C．4 D．8

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】由于等比数列的首项和公比均为2，

所以，

故选：D

2．如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平移直线法找出直线与所成的角，结合余弦定理，即可求出答案.

【详解】在正方体中，且，所以为平行四边形，

则，所以即为直线与所成的角（或所成角的补角），

不妨设正方体的棱长为2，因为为的中点，

所以，则，

在中，，，

所以在中，，

因为，所以.

故选：D

3．设一组样本数据的均值为2，方差为，则数据的均值和方差分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合平均数与方差的计算公式，即可求解.

【详解】根据题意，易知新数据的平均数为；

方差为.

故选：D.

4．已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（    ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】B

【分析】设出点的坐标，利用进行转化，利用可得答案.

【详解】设，因为，所以；

因为，所以，即，

所以，整理得，其轨迹是椭圆.

故选：B.

5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目改编：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的份为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】由题意，结合等差数列的性质，列方程组求出数列首项.

【详解】设每个人所得按从小到大排列构成等差数列，首项为，公差为，

由题意知，

解得，最小的份为个.

故选：A.

6．已知抛物线的焦点为，圆，过作直线，与上述两曲线自上而下依次交于点，当时，直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先设，，则，，再根据抛物线的性质知，利用基本不等式求出最小值且等号成立条件可求出，，从而可得到，即可得到直线的斜率.

【详解】设，，则，.

∵，∴，

由抛物线的性质知，

∴，则，

∴.

又∵，

得，∴，

当且仅当时，，

此时，∴，∴，

∴，

又∵，

故.

故选：A

【点睛】本题考查了抛物线性质，以及基本不等式求最值时等号成立的条件，考查了学生的计算能力，属于较难题.

7．等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由等比数列的性质与累加法求解，

【详解】根据题意得，，解得，故，

时，，

故

．

故选：A

8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过点，且与双曲线右支交于A，两点，为坐标原点，、的内切圆的圆心分别为，，则面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设的内切圆半径为，求得面积的解析式，再利用函数单调性即可求得面积的取值范围

【详解】设圆与，，分别切于点，，.

由双曲线定义知，，

∴，

∵，，，

∴，又，

∴，，即点为双曲线的右顶点.

∵轴，∴的横坐标为1，同理：横坐标也为1.

∵平分，平分.∴，

设、的内切圆半径分别为，，

∵轴，∴，

∵，∴.

设直线倾斜角为，又为双曲线右支上两点，

又渐近线方程为，∴由题意得，∴，

∴，

又在单调递减，在单调递增

当时，；

当时，；当时，

∴.

故选：B.

二、多选题

9．对于抛物线，下列描述不正确的是（    ）

A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为

C．准线方程为 D．准线方程为

【答案】BC

【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.

【详解】因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确.

故选：BC.

10．已知数列 的前项和为，下列说法正确的是（   ）

A．若 ，则

B．若 ，则的最小值为

C．若 ，则数列的前项和为

D．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为

【答案】BC

【分析】令时，由求出可判断A；由知，，当时，取得的最小值可判断B；若，求出数列的前项和可判断C；由数列的下标和性质可得，则可判断D.

【详解】对于A，由，当时，，

由，当时，，所以A不正确；

对于B，若，当时，，则，

所以当时，取得的最小值为；

对于C，若 ，设数列的前项和为，

所以

，故C正确；

对于D，数列为等差数列，且，

则，

所以，

当时，的最大值为，所以D不正确.

故选：BC.

11．已知为双曲线的左右焦点，关于一条渐近线的对称点刚好落在双曲线上，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．双曲线的离心率

C．

D．渐近线方程为

【答案】BC

【分析】渐近线与的交点为关于直线的对称点为，连接，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，求得，再计算可得．

【详解】如图所示，双曲线的左焦点为，右焦点为，由对称性，取一条渐近线， 关于渐近线的对称点为，

直线与线段的交点为，连接，因为点与关于直线对称，

则，且为的中点，所以，

根据双曲线的定义，有，故A不正确；

，即，

所以，故B正确；

易知是以为直角的直角三角形，所以，故C正确；

由于，所以渐近线方程为，故D不正确.

故选：BC

12．已知数列满足，下列命题正确的有（    ）

A．当时，数列为递减数列

B．当时，数列一定有最大项

C．当时，数列为递减数列

D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项

【答案】BCD

【分析】分别代入和计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；按k的范围分类，可判断D；

【详解】当时，，知A错误；

当时，，当，，，，

所以可判断一定有最大项，B正确；

当时，，所以数列为递减数列，C正确；

当为正整数时，，当时，，

当时，令，

解得，则，当时，，

结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知数列满足，则数列的通项公式为______.

【答案】

【分析】利用数列和与通项的关系，分两种情况求解.

【详解】当时，；

当时，，

因为，所以两式相减可得；

显然不满足上式，

综上可得.

故答案为：

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为__________

【答案】12

【分析】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.

【详解】由题意得：，根据椭圆的定义得，

∴，

圆变形得，即圆心，半径，

要使最大，即最大，又，

∴使最大即可.

如图所示：

∴当共线时，有最大值为，

∴的最大值为，

∴的最大值，即的最大值为11+1=12，

故答案为：12

15．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________.

【答案】

【分析】根据题意求得其对立事件，然后根据其与对立事件之和为，即可得到结果.

【详解】因为，所以，

又因为为相互独立事件，

所以

所以中至少有一件发生的概率为

故答案为:

16．已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________．

【答案】/0.5

【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到的关系，即可求解离心率.

【详解】设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得，

由于，所以的纵坐标为，

由于是的内心，所以内切圆的半径为，

由椭圆定义得，

，

，

故答案为：

四、解答题

17．已知数列的首项，.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）应用等比数列定义证明即可；

（2）根据等比数列通项公式求解计算即得.

【详解】（1）因为，所以，

即，且，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）可求得，所以，即.

18．已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

【答案】（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1.

【解析】（1）根据抛物线准线的性质，结合已知进行求解即可；

（2）根据点到直线的距离公式，结合椭圆弦长公式、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.

【详解】解析：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，

所以有：，∴，，

∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；

（2）由（1）可知：的坐标为：，

设直线的方程为：，到的距离为，则，

联立可得：，则，

，

当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.

19．如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.

(1)证明：；

(2)若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，进而证明平面即可证明结论；

（2）由题平面，进而根据等体积法得，再以为原点，分别以方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】（1）证明：平面平面.

.

又，平面

平面.

平面.

取的中点，连接为的中点，

.

.

，

，

为的中点，.

又平面

平面.

平面.

（2）解： .

，且四边形为矩形，

平面.

∴，解得，

以为原点，分别以方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.

则，

易知是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

∴，即，不妨取，得.

.

由图知二面角的平面角为锐角，

二面角的余弦值为.

20．某校从小明所在的高一年级的600名学生中，随机抽取了50名学生，对他们家庭中一年的月均用水量（单位：吨）进行调查，并将月均用水量分为6组：，，，，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求出图中实数的值，并根据样本数据，估计小明所在的高一年级的600名同学家庭中，月均用水量不低于11吨的约有多少户；

(2)在月均用水量不低于11吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率．

【答案】(1)，84户

(2).

【分析】（1）根据图表求出在的频率为0.1，则，从而求出不低于11吨的频率为，再乘以600名同学即可得到相应户数；

（2）首先求出样本数据有5户在相应区间内，再用列举法列出所有情况以及满足题意的情况数，则可求出概率.

【详解】（1）因为各组的频率之和为1,

所以月均用水量在区间的频率为

所以图中实数.

由图可知,样本数据中月均用水量不低于11吨的频率为

所以小明所在学校600名同学家庭中,月均用水量不低于11吨的约有

（户）

（2）设事件:这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组

由图可知,样本数据中月均用水量在的户数为.

记这五名同学家庭分别为,,,, .

月均用水量在的户数为.

记这两名同学家庭分别为,.

则选取的同学家庭的所有可能结果为:

共21种.

事件的可能结果为:

，共10种.

所以.

所以这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率为.

21．已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，，理由见解析

【分析】（1）首先得，再将点的坐标代入双曲线方程，联立方程求解，即可求双曲线方程；

（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得点坐标，再考虑斜率不存在的情况即可

【详解】（1）由题意得，，

所以，所以，，

所以双曲线C的标准方程为；

（2）假设存在，设，，

由题意知，直线斜率不为0，设直线，

联立，消去，得，

则，，

且，，

因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，

则，即，则，

整理得，故，

即，因为，所以，此时；

当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等；

综上所述，故存在满足题意

22．已知数列的通项公式为，为数列的前n项和.

(1)求；

(2)若对于，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用裂项相消法求和可得答案；

（2）根据的表达式，求出的范围，得到的最大值，可得答案.

【详解】（1）因为，

所以

.

（2）当n为正奇数时，，

且随n的增大而增大，所以，所以，

当n为正偶数时，，

且随n的增大而减小，所以，

所以，综上可得且，则，

所以的最大值为（当且仅当时取得）.

因为恒成立，所以恒成立，所以，

所以的取值范围为.