2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高一下学期五月月考数学试题含答案

  2023年5月高一月考数学

姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．若，则复数z的虚部为（   ）

A．-5 B．5 C．7 D．-7

2．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（    ）

A． B． C．4 D．

3．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（    ）．

A． B． C． D．

4．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（    ）        A．3       B．      C．     D．6

5．如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）．A． B． C．3    D．9

6．如图1，在高为的直三棱柱容器中，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（    ）

A． B．3 C．4 D．6

7．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（    ）  A．16 B．12 C． D．

8．在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ）

A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形

二、多选题

9．已知函数的最小正周期为，则（    ）

A．

B．直线是图象的一条对称轴

C．在上单调递增

D．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象

10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则

B．若，，则外接圆半径为10

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则三角形面积

11．正方体，以下直线不和平面平行的是（    ）

A．直线 B．直线     C．直线   D．直线

12．如图，正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ）

A．平面                    B．

C．直线与平面所成角为      D．点到平面的距离为

三、填空题

13．下列命题中正确的命题为__________.

①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；

②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；

③若直线异面，异面，则异面；

④若，则.

14．已知，则的值为__________．

15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.

16．  若在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为______．

四、解答题

17．设向量，．

(1)求在上的投影向量；

(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．

18．已知复数，，为虚数单位.

(1)求及；

(2)若，求的共轭复数.

19．如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；

(2)求与平面所成的角的大小.

20．已知向量，其中，若函数的最小正周期为.

(1)求的单调增区间；

(2)在中，若，求的值.

21．如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°．

(1)求此正三棱柱的侧棱长；

(2)求二面角A－BD－C的正切值；

(3)求点C到平面ABD的距离．

22．如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，，为的中点，为的中点，平面过、、三点且与面交于直线，交于点.

(1)求证：面面；

(2)求证：求 PQ : PA的比值

(3)求平面与平面所成夹角的正切值.

参考答案：

1．A 2．D 3．D 4．C 5．B

【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.

【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，

又，，所以，

又三点共线，所以，即，

所以，

当且仅当，即时取等号.

故选：B.

6．B  7．A  8．D   9．AB  10．ACD   11．ABD   12．ABD

13．①②

14．

15．答案表述不唯一)

16．         17．(1)

(2)

【详解】（1）求在上的投影向量.

（2）由已知，，，

所以，

因为向量与向量的夹角为钝角，

所以，，解得，

又因为向量不与向量反向共线，

若共线，设，则，

可得或（舍去），

所以解得.

18．(1)，

(2)

【详解】（1），，，

，

．

（2）由，

所以.

19【详解】（1）连接与相交于点，如下图所示

在直棱柱中，平面平面，

，

又，平面，

所以，平面，

又平面，

，四边形为菱形，即

又，且平面，

平面，又平面，

.

（2）取的中点，连接.如下图所示；

，

又平面平面，

又，且平面，

平面，

是在面内的射影，是与平面所成角的平面角.

在中，易知，

，

即与平面所成的角的大小为.

20．(1)

(2)

【详解】（1）

的最小正周期为.

故，

令，解得，

故函数的单调增区间为

（2）设中角所对的边分别是.

，即，解得.

，

，

.

21．(1)   (2)3     (3)

【详解】（1）设正三棱柱的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE，

∵是正三角形，∴，

又底面侧面，且两平面交线为BC，∴侧面．

连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面所成的角，∴∠ADE＝45°，

在中，，解得，∴此正三棱柱的侧棱长为．

（2）过E作于F，连接AF，

∵侧面，∴，可知，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角．

在中，，又BE＝1，，∴．

又，∴在中，．

（3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交线为AF．

过E作于G，则平面ABD．∴EG的长为点E到平面ABD的距离．

在中，．

∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为．

22．(1)证明见解析   (2)证明见解析   (3)

【详解】（1）取中点记为，连接和，

由于，，得为等边三角形，故，，

由，，得，则，，，

由，得，

由，，，、面，得面，

又由面，得面面；

（2）取、中点分别记为、，连接、、、、、，

由中位线定理得MN∥DC，MN＝DC，同理SR∥AB，SR＝AB，

又AB∥DC，AB＝DC，则MN∥SR，MN＝SR，则为平行四边形，

又NR＝CB，MN＝DC，CB＝DC，则NR＝MN，则四边形为菱形，

记交于点，平分、，

∵面且面，

又∵面且面，∴面，

在面中，且，故，

进而；

（3）取中点记为，再取、上、两点，

使得，，，

由（1）结论可知，面，又面，

故而，又，故而，

且有，，

连接，由，，，面，

则面，面，可知，

故平面与平面所成夹角为，，

即平面与平面所成夹角的正切值为.