2022-2023学年广东省汕头市龙湖区翠英中学九年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省汕头市龙湖区翠英中学九年级（下）第一次段考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，点，，在上，，则等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 任意购买一张电影票，座位号是奇数
B. 明天晚上会看到太阳
C. 五个人分成四组，这四组中有一组必有人
D. 三天内一定会下雨

4.  已知的半径为，点到圆心的距离，则点(    )

A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定

5.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

6.  把函数的图象向右平移个单位，所得到的新函数的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点关于原点对称的点在第一象限，则的取值范围是(    )

A. 或 B.  C.  D.

8.  如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：
；；的两根分别为、，则，；．
其中正确的命题是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为当时，的取值范围是(    )

 

A.  或 B. 或
C. 或 D. 或

10.  如图，在矩形中，点是的中点，点是的中点，连接，是的中点，连接在中，，，若将绕点逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段长的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在中，，则          ．

12.  抛物线与轴交于两点，分别是，，则______．

13.  如图，为的弦，半径，垂足为，如果，，那么的半径是______ ．

14.  由几个小正方体组成的几何组合体的主视图、左视图如图所示，那么这几何组合体至少由______个小正方体组成．

 

15.  如图，直线的表达式为，点坐标为过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，，按此法进行下去，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，、，将绕坐标原点顺时针旋转得到．
画出；
求点在旋转过程中运动的路径长．结果保留

 

18.  本小题分
年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥会的项目比赛．他们都喜欢的冬奥会的项目分别是：“短道速滑”、“冰球”、“花样滑冰”和“跳台滑雪”小明和小刚计划各自在这个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
小明选择项目“花样滑冰”的概率是多少？
用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．

19.  本小题分
如图，已知，分别是的边，上的点，，，，．
求证：．
求的长．

20.  本小题分
如图，已知在中，，，点在边上，
联结，．
求边的长；
求的值．

21.  本小题分
疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产万个，第三天生产万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
每天增长的百分率是多少？
经调查发现，一条生产线最大产能是万个天，如果每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个天．现该厂要保证每天生产口罩万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下生产线越多，投入越大，应该增加几条生产线？

22.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点与点，不重合，过点作直线，使得．
求证：直线是的切线．
过点作于点，交于点，若的半径为，，求图中阴影部分的面积．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，且过点点是抛物线上的动点．
求抛物线的解析式：
当点在直线下方时，求面积的最大值；
若与抛物线的对称轴相交于点求线段的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据圆周角定理可知，
，
即，
故选：．
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，正确认识与的位置关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】分析
根据事件发生的可能性判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
详解
解：任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件；
B.明天晚上会看到太阳是不可能事件；
C.五个人分成四组，这四组中有一组必有人是必然事件；
D.三天内一定会下雨是随机事件．
故选：．
 

4.【答案】 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离，
，
点在圆内，
故选：．
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断；
本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外 点在圆上点在圆内．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
先根据方程的一般式得出、、的值，再计算出的值，继而利用一元二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．
【解答】
解：，，，
，
有两个相等的实数根，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象向右平移个单位，
得：．
故选：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

7.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点在第一象限，
则
解得：．
故选：．
直接利用关于原点对称的点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，过点，
图像与轴交与点，
把代入得，，故正确；
对称轴为直线，即：，整理得，，因此不正确；
由抛物线的对称性，可知抛物线与轴的两个交点为，
因此方程的两根分别为和；
所以当时，即，，故是正确；
由，，，且，则，因此不正确；
故选：．
根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为，且过点，根据对称轴可得抛物线与轴的另一个交点为，把代入可得，由对称轴为，推出，可对做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对做出判断；根据、的符号，以及，，对做出判断；最后综合得出答案．
本题考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与轴，轴的交点，以及增减性上寻找其性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的横坐标为．
点的横坐标为：，
故当时，的取值范围是：或．
故选：．
直接利用正比例函数的性质得出点横坐标，再利用函数图象得出的取值范围．
此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出点横坐标是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
在中，，，
，，
是的中点，
，
在上，且半径为，
当在的延长线上时，最大，
，，点是的中点，点是的中点，
，，
，
的最大值为，
故选：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，所以当在的延长线上时，最大，根据勾股定理和三角形的中线的性质定理可得结论．
本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，勾股定理的应用，明确当在的延长线上时，最大是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
此题考查的知识点是锐角三角函数的定义和勾股定理，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
【解答】
解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，，
设，，则，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：由根与系数的关系得：
，
故答案为：．
用根与系数的关系求解即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生熟练运用根与系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

半径，，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径为，
故答案为：．
连接，先由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理等知识；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由主视图可得组合几何体有列，由左视图可得组合几何体有行，
最底层几何体最少正方体的个数为：，
由主视图和左视图可得第二层有一个正方体，
该组合几何体最少共有个正方体．
故答案为：
由主视图可得组合几何体有列，由左视图可得组合几何体有行，可得最底层几何体最少正方体的个数；由主视图和左视图解答即可．
考查由视图判断几何体；得到最底层正方体的最多的个数是解决本题的突破点；用到的知识点为：最底层正方体的最多的个数行数列数．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
点的坐标为
在中，，，
，
．
同理，可得出：，，，
为正整数，
．
当时，，
点的坐标为
故答案为：
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，在中，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，同理可得出，，，根据数的变化可得出为正整数，代入可求出的长，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型：点的坐标，根据数的变化，找出为正整数是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、算术平方根，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

17.【答案】解：如图，即为所求作．

根据题意旋转角是，则在旋转过程中运动的路径是以为半径，为圆心角的弧，连接，
则，
点在旋转过程中运动的路径长． 

【解析】在坐标系中，分别找到点、、绕坐标原点顺时针旋转的对应点，，，再顺次连接，，，则即为所求作的三角形．
根据弧长公式和勾股定理计算即可得解．
本题考查作图旋转变换，弧长公式和勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质以及弧长公式．
 

18.【答案】解：小明选择项目“花样滑冰”的概率是；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有种，
小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是画树状图或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】证明：在和中，
，，
；
解：由得：，
，
，，，
，
． 

【解析】根据两组角分别相等的两个三角形相似来证明，即可解答；
利用相似三角形的对应边成比例进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设，
，，
，，
，
，
，
解得，
；
作于点，
由知，，，，
，
，
解得，
，，，
，
，
，
即的值是． 

【解析】根据题意和锐角三角函数，可以求得的长；
根据中的结果，可以得到、的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据等面积法可以求得的长，从而可以求得的长，然后即可得到的值．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设每天增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每天增长的百分率是．
设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个天，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要节省投入，
．
答：应该增加条生产线． 

【解析】设每天增长的百分率是，利用第三天的产量第一天的产量每天增长的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个天，根据该厂要保证每天生产口罩万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要节省投入，即可得出应该增加条生产线．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：证明：如图，连接，

是的直径，
，
，
．
，
，即，
直线是的切线．
连接，
，，
，．
又，
为等边三角形，
．



．
图中阴影部分的面积为． 

【解析】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
连接，由直径所对的圆周角为直角，可得；利用等腰三角形的性质及已知条件，可求得，按照切线的判定定理可得结论．
由，可得，从而可得的度数，进而判定为等边三角形，则的度数可得；利用，可求得答案．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于点，点，且过点，
，解得，
抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
直线的解析式为，
由得，
解得，，
设，
点在直线的下方，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为：；
如图：点是与轴的交点，

在中，令得，
，
，
当时，取最大值为；
，
抛物线的对称轴为直线，
由知直线为，
在中，令得，
，
设，



，
，
时，的最小值为，
此时线段最小值是． 

【解析】设出抛物线的解析式，用待定系数法求出解析式即可；
求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出的取值范围，设出直线的解析式，用待定系数法可得直线的解析式，求出，再根据得出面积的表达式，根据二次函数的性质求出最值即可；
由，得抛物线的对称轴为直线，可得，设，即得，即知时，的最小值为，故线段最小值是．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、配方法等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．