2022-2023学年广东省梅州市大埔县广德实验学校九年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省梅州市大埔县广德实验学校九年级（下）第一次段考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省梅州市大埔县广德实验学校九年级（下）第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−2|的倒数是(    )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 下列运算不正确的是(    )
A. a2⋅a3=a5 B. (y3)4=y12 C. (−2x)3=−8x3 D. x3+x3=2x6
3. 为庆祝祖国70华诞，某校开展了“祖国在我心中”知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩统计整理制成如下统计图，根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是(    )

A. 中位数在60分～70分之间 B. 中位数在70分～80分之间
C. 中位数在80分～90分之间 D. 中位数在90分～100分之间
4. 已知∠A是锐角，且满足3tanA− 3=0，则∠A的大小为(    )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 无法确定
5. 将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=60°，则∠2为(    )

A. 150° B. 120° C. 100° D. 60°
6. 使式子x2−4x+3x−3的值为0的x的值为(    )
A. 3或1 B. 3 C. 1 D. −3或−1
7. 如图所示的几何体的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示，点A，B，C在圆O上，若∠AOB=64°，则∠C的度数是(    )
A. 64°
B. 30°
C. 32°
D. 34°
9. 如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于(    )


A. 25 B. 20 C. 12 D. 8 3
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH.以下结论：①∠DEC=∠AEB；②CF⊥DE；③AF=BF；④CHHF=23，其中正确结论的个数是(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 若x2+(k+1)x+9是一个完全平方式，则k= ______ ．
12. 分解因式：x3−x=          
13. 以下图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④矩形，⑤圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是______ ．
14. 若实数a、b、c满足 a−3+(b−c+1)2=0，则2b−2c+a=______．
15. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______．
16. 将抛物线y=−2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______ ；
将抛物线y=−2(x+1)2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______ ．
17. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是(−2,1)，过点A作AB1//OB，交x轴于B1，过点B1作A1B1⊥x轴交直线AC于A1，过点A1作直线A1B2//AB1交x轴于B2，过点B2作A2B2⊥x轴交直线AC于A2，…，则A2023的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
计算：|−5|+(2020− 3)0−(12)−1−2tan45°．
19. (本小题6.0分)
先化简(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4，然后从−2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．

20. (本小题6.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)用尺在边AB上求作一点P，使PC=PB，并连接PC；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)当AC=3，BC=4时，△ACP的周长=______．

21. (本小题8.0分)
随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______；
(2)将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“______”；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．


22. (本小题8.0分)
某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
(2)如果某超市计划购进一批甲、乙两种玩具共20件，其中甲的数量不少于乙种数量的2倍，请问该超市如何采购，至少要投入多少元才能完成采购计划？
23. (本小题8.0分)
已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A(−3,2)、B(1,n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)结合图象直接写出不等式kx+b>mx的解集．

24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点O在△ABC内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若DE=17，CE=13，求⊙O的半径．

25. (本小题10.0分)
如图，已知直线y=−2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1,4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．
(1)求m的值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是y轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵|−2|=2，2的倒数是12，
∴|−2|的倒数是12．
故选：C．
根据绝对值和倒数的定义作答．
一个负数的绝对值是它的相反数．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2.【答案】D 
【解析】解：A.a2⋅a3=a2+3=a5，正确，故本选项不合题意；
B.(y3)4=y3×4=y12，正确，故本选项不合题意；
C.(−2x)3=(−2)3x3=−8x3，正确，故本选项不合题意；
D.x3+x3=2x3，D选项不正确，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：调查总人数为：30+90+90+60=270(人)，
将这270人的得分从小到大排列后，处在第135、136位的两个数都落在80～90分之间，
因此，中位数在80分～90分之间；
故选：C．
求出调查总人数，再根据中位数的意义求解即可．
本题考查中位数的意义和计算方法，理解中位数的意义是解决问题的前提．

4.【答案】A 
【解析】解：∵3tanA− 3=0，
∴tanA= 33，
∴∠A=30°．
故选A．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．

5.【答案】A 
【解析】解：如图所示，∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3=90°+∠1=90°+60°=150°，
又∵CD//AB，
∴∠2=∠3=150°，
故选：A．
依据∠3是△CDE的外角，即可得出∠3=150°，再根据CD//AB，即可得到∠2=∠3=150°．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：由题意可得x−3≠0且x2−4x+3=0，
由x−3≠0，得x≠3，
由x2−4x+3=0，得(x−1)(x−3)=0，
∴x=1或x=3，
综上，得x=1，即x的值为1．
故选：C．
分式的值为0的条件是：(1)分子为0；(2)分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
本题考查了分式的值为0的条件．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．

7.【答案】D 
【解析】解：从上面看该几何体，是一列两个矩形，
故选：D．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．

8.【答案】C 
【解析】解：∵AB=AB，
∴∠AOB=2∠ACB，
∵∠AOB=64°，
∴∠ACB=32°．
故选：C．
利用圆周角定理即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9.【答案】C 
【解析】解：如图2，
x=5时，BC=5，
x=10时，BC+CD=10，则CD=5，
x=15时，CB+CD+BD=15，则BD=8，
如下图，过点C作CH⊥BD交于H，

在Rt△CDH中，
∵CD=BC，CH⊥BD，
∴DH=12BD=4，而CD=5，故CH=3，
当x=5时，点P与点C重合，即BP=5，
a=S△ABP=S△ABC=12×BD×CH=12×8×3=12，
故选：C．
x=5时，BC=5；x=10时，BC+CD=10，则CD=5；x=15时，CB+CD+BD=15，则BD=8，进而求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

10.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD=6，BE=CE=3，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE(SAS)
∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE≌△CBF(ASA)，
∴CE=BF，
∵CE=12BC=12AB，
∴BF=12AB，
∴AF=FB，故③正确，
∵DC=6，CE=3，
∴DE= CD2+CE2= 62+32=3 5，
∵S△DCE=12×CD×CE=12×DE×CH，
∴CH=6 55，
∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴CHBC=CECF，
∴CF=6×36 55=3 5，
∴HF=CF−CH=9 55，
∴CHHF=23，故④正确，
故选：D．
证明△ABE≌△DCE，可得结论①正确，由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD=6，BE=CE=3，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得结论②，证明△DCE≌△CBF可得结论③，由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断④．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

11.【答案】5或−7 
【解析】解：因为x2+(k+1)x+9是一个完全平方式，
所以k+1=±(2×1×3)，
k+1=6，k+1=−6，
k=5，k=−7，
故答案为：5或−7．
根据完全平方式得出k+1=±(2×1×3)，求出即可．
本题考查了完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个：a2±2ab+b2．

12.【答案】x(x+1)(x−1) 
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式x，分解成x(x2−1)，而x2−1可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：x3−x，
=x(x2−1)，
=x(x+1)(x−1)．
故答案为：x(x+1)(x−1)．  
13.【答案】①④⑤ 
【解析】解：①线段既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
②等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
③平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
④矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
⑤圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：①④⑤．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．

14.【答案】1 
【解析】解：∵ a−3+(b−c+1)2=0，
∴a−3=0，b−c+1=0，
∴a=3，b−c=−1，
∴2b−2c+a
=2(b−c)+a
=2×(−1)+3
=1．
故答案为：1．
根据非负数的性质求得a、b−c，进一步代入求得数值即可．
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

15.【答案】4 
【解析】
【分析】
此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
【解答】
解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴88+x=23，
解得：x=4．
故答案为4．  
16.【答案】y=2(x+1)2+1；y=2(x−1)2−1 
【解析】解：抛物线y=−2(x+1)2+1的顶点坐标为(−1,1)，由于抛物线y=−2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2(x+1)2+1；
抛物线y=−2(x+1)2+1的顶点坐标为(−1,1)，由于抛物线y=−2(x+1)2+1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(1,−1)，并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2(x−1)2−1．
故答案为y=2(x+1)2+1；y=2(x−1)2−1．
当抛物线y=−2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式；当抛物线y=−2(x+1)2+1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(1,−1)，并且开口方向相反，于是根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

17.【答案】(22024−2,22023) 
【解析】解：∵四边形OABC是矩形，
AB=CO，且AB//CO，
又AB1//OB，
∴四边形AB1OB是平行四边形，
∴B1O=AB，
∵点B的坐标是(−2,1)，
∴B1O=CO=AB=2，
∵A1B1⊥x轴，
∴A1B1//AO，
∴△AOC∽△A1B1C，
∴AOA1B1=COCB1，即1A1B1=24，
解得A1B1=2，
∴点A1坐标为(22−2,2)，
又A1B1//AO，
∴△AOB1∽△A1B1B2，
∴OB1B1B2=AOA1B1=12，
∴B1B2=4，
∵A2B2⊥x轴，
∴A2B2//A1B1，
∴△A1B1C∽△A2B2C，
∴A1B1A2B2=CB1CB2=48，
∴A2B2=4，
∴点A2(23−2,22)，
以此类推...，A2023的坐标为(22024−2,22023)，
故答案为：(22024−2,22023).
根据平行四边形的性质及判定得到四边形AB1OB是平行四边形，从而推出B1O=CO=AB=2，再由直线之间的垂直和平行关系利用相似三角形的判定定理得到△AOC∽△A1B1C，△AOB1∽△A1B1B2，△A1B1C∽△A2B2C，利用相似三角形的性质解得A1B1=2，B1B2=4，A2B2=4，进而观察图形根据点的坐标特征寻找出规律即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，应充分运用数形结合的思想方法，根据直线之间的垂直和平行关系推出相似三角形，并利用其性质进行求解，与此同时观察点的坐标特征，从中寻找规律．

18.【答案】解：原式=5+1−2−2
=2． 
【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值进而化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

19.【答案】解：原式=a+2−3a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2，
=a−2a−1．
当a=0时，原式=−2−1=2． 
【解析】首先对括号内的分式进行通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后代入0或−1求解；
本题考查了分式的化简求值，正确进行通分、约分是关键，本题中要注意a不能取−2，2以及1．

20.【答案】8 
【解析】解：(1)如图所示，点P为所求作．

(2)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∴△ACP的周长为：AC+AP+PC=AC+AP+PB=AC+AB=3+5=8．
故答案为8．
(1)作线段BC的垂直平分线交AB于点P，连接PC即可．
(2)利用勾股定理求出AB即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.【答案】解：(1)200，81°；
(2)微信； 
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13． 
【解析】
解：(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)÷(1−15%−30%)=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×45200=81°，
故答案为：200，81°；

(2)微信支付的人数为200×30%=60人，银行卡支付的人数为200×15%=30人，
补全图形如下：

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
(3)见答案．
【分析】
(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
(2)用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．  
22.【答案】解：(1)设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，
依题意得：5x+3y=2312x+3y=141，
解得：x=30y=27．
答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元．
(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(20−m)件，
依题意得：m≥2(20−m)，
解得：m≥403．
又∵m为正整数，
∴m的最小值为14，
∴该超市至少采购14件甲种玩具．
设该超市购进这批玩具共花费w元，则w=30m+27(20−m)=3m+540．
∵k=3>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=14时，w取得最小值，最小值=3×14+540=582，
∴该超市至少要投入582元才能完成采购计划． 
【解析】(1)设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每件甲、乙两种玩具的进价；
(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(20−m)件，根据购进甲的数量不少于乙种数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数可得出该超市至少采购14件甲种玩具，设该超市购进这批玩具共花费w元，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

23.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过点A(−3,2)，
∴m=−3×2=−6，
∵点B(1,n)在反比例函数图象上，
∴n=−6．
∴B(1,−6)，
把A，B的坐标代入y=kx+b，则−3k+b=2k+b=−6，
解得k=−2，b=−4，
∴一次函数的解析式为y=−2x−4，反比例函数的解析式为y=−6x；
(2)如图，设直线AB交y轴于C，

则C(0,−4)，
∴S△AOB=S△OCA+S△OCB=12×4×3+12×4×1=8；
(3)观察函数图象知，
不等式kx+b>mx的解集为x<−3或0 【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)设直线AB交y轴于C，则C(0,−4)，根据S△AOB=S△OCA+S△OCB求解即可；
(3)观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，本题属于中考常考题型．

24.【答案】(1)证明：连接OD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠COD=2∠ABC=90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE//CG，
∴∠ODE+∠COD=180°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴CG=DE=17，DG=CE=13，
∵∠GOD=90°，
∴OD2+OG2=DG2，即r2+(17−r)2=132，
解得：r1=5，r2=12，
当r=5时，OG12，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，
∴r=12，即⊙O的半径为12． 
【解析】(1)连接OD，根据题意和平行四边形的性质可得DE//CG，可得OD⊥DE，即可求解；
(2)设⊙O的半径为r，因为∠GOD=90°，根据勾股定理可求解r，当r=5时，OG12，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，勾股定理，通过解得判断是否符合题意是解决本题的关键．

25.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y=−2x+m得4=−2+m，
解得m=6．
(2)设y=a(x−h)2+k，
∵顶点为A(1,4)，
∴y=a(x−1)2+4．
点B在直线y=−2x+6，
∴B(3,0)，
点B又在y=a(x−1)2+4的图象上；
0=a(3−1)2+4，
解得a=−1．
∴y=−(x−1)2+4，
∴y=−x2+2x+3．
(3)①∠PAB为直角时，直线AP与AB垂直，
∵直线AB解析式为y=−2x+6，
∴设直线AP解析式为y=12x+a，
把(1,4)代入y=12x+a得a=72，
∴y=12x+72，
∴点P坐标为(0,72).
②∠PBA为直角时，直线BP与AB垂直，
设直线BP解析式为y=12x+b，
把(3,0)代入y=12x+b得b=−32，
∴点P坐标为(0,−32).
③∠APB为直角时，设点P坐标为(0,m)，
∵A(1,4)，B(3,0)，
∴AP2=12+(4−m)2，BP2=32+m2，AB2=(3−1)2+(0−4)2=20，
由勾股定理得AP2+BP2=AB2，即12+(4−m)2+32+m2=20，
解得m=1或m=3，
∴点P坐标为(0,1)或(0,3)．
综上所述，点P坐标为(0,72)或(0,−32)或(0,1)或(0,3)． 
【解析】(1)将(1,4)代入解析式求解．
(2)设抛物线解析式为顶点式，根据直线解析式求出点B坐标，然后代入二次函数解析式求解．
(3)分别讨论∠PAB，∠PBA，∠APB为直角三种情况，根据互相垂直的两条直线斜率相乘得−1求解．
本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握互相垂直的两条直线解析式的关系．