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2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果x＝2是一元二次方程x2﹣x+m＝0的解，那么m的值是（ ）
A．0 B．2 C．6 D．﹣2
3．卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（ ）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．100°
7．如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．若点B（﹣2，m）也是该图象上的一点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
8．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝2∠A，以B为圆心的弧与边AD、DC相切，则阴影部分的面积为（ ）
A．+π B．2﹣π C．3﹣π D．2﹣2π
10．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（ ）
A．4﹣1 B．4 C．4 D．3
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 ．
12．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为4m，水面宽AB为16m，则输水管的半径为 m．
13．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的面积比值为 ．
14．已知二次函数y＝x2+2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（﹣5，y2），则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）
15．如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：．
17．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝125°，求∠BED的度数．
18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作以AB为直径的⊙O，⊙O与AC的交点记为点D，与BC的交点记为点E，连接DE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在所作的图形中，试说明：DE＝CE．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．为引导学生知史爱党、知史爱国，西南大学附属中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校学生处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）学生处一共随机抽取了 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整：
（3）学生处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
20．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.44万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量1月到3月的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价78元的“冰墩墩”按每件98元出售，每天可销售600件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（8，1），B（﹣2，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D在y轴上，且S△ABD＝25，求点D的坐标；
（3）当y1＜y2时，自变量x的取值范围为 ．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，作弦BD⊥OC于点F，交AC于点G．过点B作直线交OC的延长线于点E，且∠OEB＝∠ACD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CG•CA；
（3）若CD＝5，CG＝，求EF的长．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．
解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
2．如果x＝2是一元二次方程x2﹣x+m＝0的解，那么m的值是（ ）
A．0 B．2 C．6 D．﹣2
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得22﹣2+m＝0，解此方程得到m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
3．卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
解：卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是不确定事件，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点判断a，b，c的符号即可．
解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（ ）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．100°
【分析】由旋转的性质可得∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，即可求解．
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，
∴∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，
∴∠BB'C'＝80°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．若点B（﹣2，m）也是该图象上的一点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，再代入计算即可．
解：由反比例函数系数k的几何意义可知，|k|＝4，而k＜0，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把点B（﹣2，m）代入得，
m＝﹣＝4，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标的特征是正确解答的前提．
8．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB＝36°，根据中心角的定义即可求解．
解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数为＝10．
故选：B．
【点评】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝2∠A，以B为圆心的弧与边AD、DC相切，则阴影部分的面积为（ ）
A．+π B．2﹣π C．3﹣π D．2﹣2π
【分析】连接AC、BD、BE，根据菱形的性质可得∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，在Rt△ABE中求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
解：连接AC、BD、BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AO＝，BO＝1，
∴AC＝2，BD＝2，
∵∠BAE＝60°，
∵以B为圆心的弧与AD相切，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，AB＝2，∠BAE＝60°，
∴BE＝ABsin60°＝，
∴阴影部分的面积＝S菱形﹣S扇形＝×2×2﹣＝2﹣π．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半径．
10．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（ ）
A．4﹣1 B．4 C．4 D．3
【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，
∴∠PAB+∠BAP′＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，
∴∠PAB＝∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD（SAS），
∴P′D＝PB＝1，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
由勾股定理得：BD＝＝4，
∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，
即BP′长度的最小值为（4﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
12．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为4m，水面宽AB为16m，则输水管的半径为 10 m．
【分析】由垂径定理可知AC＝4m，设OA＝rm，则OC＝（r﹣1）m，在Rt△AOC中，再利用勾股定理即可求出r的值．
解：由题意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×16＝8（m），
设OA＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣4）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
即输水管的半径为10m，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
13．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的面积比值为 1：9 ．
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD＝BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而得到结论．
解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF＝（）2，
又∵AE＝2ED，
∴AD＝3DE，
∴DE：BC＝DE：AD＝1：3，
∴S△DEF：S△BCF＝1：9，
故答案为：1：9．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方．
14．已知二次函数y＝x2+2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（﹣5，y2），则y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】分别求出两点函数值的大小即可判断出y1与y2的大小关系．
解：把A（1，y1）、B（﹣5，y2）分别代入y＝x2+2x+m中得：y1＝1+2+m＝3+m，y2＝25﹣10+m＝15+m，
∵3+m﹣（15+m）＝﹣12＜0，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
15．如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：．
【分析】利用零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，绝对值的定义计算．
解：
＝1+4×﹣2+2
＝1+2﹣2+2
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，绝对值的定义．
17．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝125°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，得AD＝AE，∠DAE＝50°，通过SAS证明△ACD≌△ABE，即可证出EB＝CD；
（2）由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB＝115°，再根据AD＝AE，∠DAE＝50°，得∠AED＝65°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB，
∵∠ADC＝125°，
∴∠AEB＝125°，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠BED＝60°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出△ACD≌△ABE是解题的关键．
18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作以AB为直径的⊙O，⊙O与AC的交点记为点D，与BC的交点记为点E，连接DE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在所作的图形中，试说明：DE＝CE．
【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线，得到AB的中点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E，连接DE即可．
（2）连接AE，根据圆周角定理可得∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质可得BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，即，则BE＝DE，即可得DE＝CE．
【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求．
（2）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴BE＝DE，
∴DE＝CE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法、圆周角定理以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．为引导学生知史爱党、知史爱国，西南大学附属中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校学生处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）学生处一共随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 108° ；
（2）将条形统计图补充完整：
（3）学生处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）把条形统计图补充完整即可；
（3）由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%＝40（名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40﹣10﹣16﹣2＝12（名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：40，108°；
（2）把条形统计图补充完整如下；
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
20．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.44万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量1月到3月的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价78元的“冰墩墩”按每件98元出售，每天可销售600件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，由题意可列方程为1×（1+x）2＝1.44，求解即可；
（2）设每件商品的涨价m元，利润为W元，根据利润＝每件的利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，
由题意可得，1×（1+x）2＝1.44，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为20%；
（2）设每件商品的涨价m元，利润为W元，
则每件商品的销售利润为（98+m﹣78）元，每天的销售量为（600﹣10m）件，
依题意可得W＝（20+m）（600﹣10m）＝﹣10m2+400m+12000，
由600﹣10m＞0，
∴m＜60，
∵m＞0，
∴0＜m＜60，
∴当m＝20，利润W最大＝16000元，
即当售价为98+20＝118元时，利润最大为16000元．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，能根据已知条件列出函数解析式和方程是解答本题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（8，1），B（﹣2，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D在y轴上，且S△ABD＝25，求点D的坐标；
（3）当y1＜y2时，自变量x的取值范围为 0＜x＜8或x＜﹣2 ．
【分析】（1）把点A（8，1）代入y2＝（m≠0），解得m＝8，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据S△ABD＝S△ACD+S△BCD求得CD，进而即可求得D的坐标；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）∵反比例函数y2＝（m≠0）过点A（8，1），点B，
∴m＝8×1＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B的横坐标为﹣2，
∴B（﹣2，﹣4），
把A（8，1），B（﹣2，﹣4）代入y1＝kx+b（k≠0）得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；
（2）由y＝x﹣3可知C（0，﹣3），
∵点D是y轴上一点，且S△ABD＝25，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝CD•8+CD•2＝25，
∴CD＝5，
∴D（0，2）或（0，﹣8）；
（3）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜8或x＜﹣2．
故答案为：0＜x＜8或x＜﹣2．
【点评】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，作弦BD⊥OC于点F，交AC于点G．过点B作直线交OC的延长线于点E，且∠OEB＝∠ACD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CG•CA；
（3）若CD＝5，CG＝，求EF的长．
【分析】（1）利用圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余和切线的判定定理解得即可；
（2）连接AD，利用垂径定理得到∠DAC＝∠BDC，利用相似三角形的判定与性质即可得出结论；
（3）利用（2）的结论求得AC的长，在Rt△ACB和Rt△OEB中，利用直角三角形的边角关系定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD⊥OC，
∴∠OBF+∠BOF＝90°，
∵∠ACD＝∠OBF，
∴∠ACD+∠BOF＝90°．
∵∠OEB＝∠ACD，
∴∠OEB+∠BOF＝90°，
即OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）证明：连接AD，如图，
∵OC是⊙O的半径，BD⊥OC，
∴，
∴∠DAC＝∠BDC，
∵∠DCA＝∠DCA，
∴△DCG∽△ACD，
∴．
∴CD2＝CG•CA；
（3）解：连接BC，如图，
由（2）知：CD2＝CG•CA，
∵CD＝5，CG＝，
∴AC＝5．
∵，
∴BC＝CD＝5，
∴．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴tan∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°．
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°．
∵AB＝2BC＝10，
∴OB＝AB＝5．
∵OB⊥BE，
∴BE＝OB•tan60°＝5．
∵∠E＝90°﹣∠BOE＝30°，BF⊥OE，
∴EF＝BE•cosE＝5＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理，连接直径所对的圆周角是常添加的辅助线．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据直线y＝﹣x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB＝OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，
∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．
当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．
∴．
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴直线l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1．
∴∠AM1B＝2∠ACB．
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH＝BH＝NH＝2．
∴N（3，2）．
设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵C（0，5），A（1，0），
∴．
解得b＝5，k＝﹣5．
∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，
设EM1的函数解析式为y＝x+n，
∵点E的坐标为（）．
∴＝×+n，
解得：n＝．
∴EM1的函数解析式为y＝x+．
∵．
解得．
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，﹣a+5），
则有：3＝，解得a＝．
∴﹣a+5＝．
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点评】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果x＝2是一元二次方程x2﹣x+m＝0的解，那么m的值是（ ）
A．0 B．2 C．6 D．﹣2
3．卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（ ）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．100°
7．如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．若点B（﹣2，m）也是该图象上的一点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
8．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝2∠A，以B为圆心的弧与边AD、DC相切，则阴影部分的面积为（ ）
A．+π B．2﹣π C．3﹣π D．2﹣2π
10．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（ ）
A．4﹣1 B．4 C．4 D．3
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 ．
12．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为4m，水面宽AB为16m，则输水管的半径为 m．
13．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的面积比值为 ．
14．已知二次函数y＝x2+2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（﹣5，y2），则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）
15．如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：．
17．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝125°，求∠BED的度数．
18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作以AB为直径的⊙O，⊙O与AC的交点记为点D，与BC的交点记为点E，连接DE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在所作的图形中，试说明：DE＝CE．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．为引导学生知史爱党、知史爱国，西南大学附属中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校学生处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）学生处一共随机抽取了 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整：
（3）学生处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
20．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.44万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量1月到3月的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价78元的“冰墩墩”按每件98元出售，每天可销售600件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（8，1），B（﹣2，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D在y轴上，且S△ABD＝25，求点D的坐标；
（3）当y1＜y2时，自变量x的取值范围为 ．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，作弦BD⊥OC于点F，交AC于点G．过点B作直线交OC的延长线于点E，且∠OEB＝∠ACD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CG•CA；
（3）若CD＝5，CG＝，求EF的长．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．
解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
2．如果x＝2是一元二次方程x2﹣x+m＝0的解，那么m的值是（ ）
A．0 B．2 C．6 D．﹣2
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得22﹣2+m＝0，解此方程得到m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
3．卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
解：卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是不确定事件，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点判断a，b，c的符号即可．
解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（ ）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．100°
【分析】由旋转的性质可得∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，即可求解．
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，
∴∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，
∴∠BB'C'＝80°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．若点B（﹣2，m）也是该图象上的一点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，再代入计算即可．
解：由反比例函数系数k的几何意义可知，|k|＝4，而k＜0，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把点B（﹣2，m）代入得，
m＝﹣＝4，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标的特征是正确解答的前提．
8．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB＝36°，根据中心角的定义即可求解．
解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数为＝10．
故选：B．
【点评】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝2∠A，以B为圆心的弧与边AD、DC相切，则阴影部分的面积为（ ）
A．+π B．2﹣π C．3﹣π D．2﹣2π
【分析】连接AC、BD、BE，根据菱形的性质可得∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，在Rt△ABE中求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
解：连接AC、BD、BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AO＝，BO＝1，
∴AC＝2，BD＝2，
∵∠BAE＝60°，
∵以B为圆心的弧与AD相切，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，AB＝2，∠BAE＝60°，
∴BE＝ABsin60°＝，
∴阴影部分的面积＝S菱形﹣S扇形＝×2×2﹣＝2﹣π．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半径．
10．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（ ）
A．4﹣1 B．4 C．4 D．3
【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，
∴∠PAB+∠BAP′＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，
∴∠PAB＝∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD（SAS），
∴P′D＝PB＝1，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
由勾股定理得：BD＝＝4，
∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，
即BP′长度的最小值为（4﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
12．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为4m，水面宽AB为16m，则输水管的半径为 10 m．
【分析】由垂径定理可知AC＝4m，设OA＝rm，则OC＝（r﹣1）m，在Rt△AOC中，再利用勾股定理即可求出r的值．
解：由题意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×16＝8（m），
设OA＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣4）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
即输水管的半径为10m，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
13．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的面积比值为 1：9 ．
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD＝BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而得到结论．
解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF＝（）2，
又∵AE＝2ED，
∴AD＝3DE，
∴DE：BC＝DE：AD＝1：3，
∴S△DEF：S△BCF＝1：9，
故答案为：1：9．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方．
14．已知二次函数y＝x2+2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（﹣5，y2），则y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】分别求出两点函数值的大小即可判断出y1与y2的大小关系．
解：把A（1，y1）、B（﹣5，y2）分别代入y＝x2+2x+m中得：y1＝1+2+m＝3+m，y2＝25﹣10+m＝15+m，
∵3+m﹣（15+m）＝﹣12＜0，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
15．如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：．
【分析】利用零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，绝对值的定义计算．
解：
＝1+4×﹣2+2
＝1+2﹣2+2
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，绝对值的定义．
17．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝125°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，得AD＝AE，∠DAE＝50°，通过SAS证明△ACD≌△ABE，即可证出EB＝CD；
（2）由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB＝115°，再根据AD＝AE，∠DAE＝50°，得∠AED＝65°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB，
∵∠ADC＝125°，
∴∠AEB＝125°，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠BED＝60°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出△ACD≌△ABE是解题的关键．
18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC．
（1）利用尺规作以AB为直径的⊙O，⊙O与AC的交点记为点D，与BC的交点记为点E，连接DE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在所作的图形中，试说明：DE＝CE．
【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线，得到AB的中点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E，连接DE即可．
（2）连接AE，根据圆周角定理可得∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质可得BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，即，则BE＝DE，即可得DE＝CE．
【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求．
（2）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴BE＝DE，
∴DE＝CE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法、圆周角定理以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．为引导学生知史爱党、知史爱国，西南大学附属中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校学生处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）学生处一共随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 108° ；
（2）将条形统计图补充完整：
（3）学生处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）把条形统计图补充完整即可；
（3）由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%＝40（名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40﹣10﹣16﹣2＝12（名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：40，108°；
（2）把条形统计图补充完整如下；
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
20．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.44万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量1月到3月的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价78元的“冰墩墩”按每件98元出售，每天可销售600件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，由题意可列方程为1×（1+x）2＝1.44，求解即可；
（2）设每件商品的涨价m元，利润为W元，根据利润＝每件的利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，
由题意可得，1×（1+x）2＝1.44，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为20%；
（2）设每件商品的涨价m元，利润为W元，
则每件商品的销售利润为（98+m﹣78）元，每天的销售量为（600﹣10m）件，
依题意可得W＝（20+m）（600﹣10m）＝﹣10m2+400m+12000，
由600﹣10m＞0，
∴m＜60，
∵m＞0，
∴0＜m＜60，
∴当m＝20，利润W最大＝16000元，
即当售价为98+20＝118元时，利润最大为16000元．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，能根据已知条件列出函数解析式和方程是解答本题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（8，1），B（﹣2，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D在y轴上，且S△ABD＝25，求点D的坐标；
（3）当y1＜y2时，自变量x的取值范围为 0＜x＜8或x＜﹣2 ．
【分析】（1）把点A（8，1）代入y2＝（m≠0），解得m＝8，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据S△ABD＝S△ACD+S△BCD求得CD，进而即可求得D的坐标；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）∵反比例函数y2＝（m≠0）过点A（8，1），点B，
∴m＝8×1＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B的横坐标为﹣2，
∴B（﹣2，﹣4），
把A（8，1），B（﹣2，﹣4）代入y1＝kx+b（k≠0）得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；
（2）由y＝x﹣3可知C（0，﹣3），
∵点D是y轴上一点，且S△ABD＝25，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝CD•8+CD•2＝25，
∴CD＝5，
∴D（0，2）或（0，﹣8）；
（3）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜8或x＜﹣2．
故答案为：0＜x＜8或x＜﹣2．
【点评】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，作弦BD⊥OC于点F，交AC于点G．过点B作直线交OC的延长线于点E，且∠OEB＝∠ACD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CG•CA；
（3）若CD＝5，CG＝，求EF的长．
【分析】（1）利用圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余和切线的判定定理解得即可；
（2）连接AD，利用垂径定理得到∠DAC＝∠BDC，利用相似三角形的判定与性质即可得出结论；
（3）利用（2）的结论求得AC的长，在Rt△ACB和Rt△OEB中，利用直角三角形的边角关系定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD⊥OC，
∴∠OBF+∠BOF＝90°，
∵∠ACD＝∠OBF，
∴∠ACD+∠BOF＝90°．
∵∠OEB＝∠ACD，
∴∠OEB+∠BOF＝90°，
即OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）证明：连接AD，如图，
∵OC是⊙O的半径，BD⊥OC，
∴，
∴∠DAC＝∠BDC，
∵∠DCA＝∠DCA，
∴△DCG∽△ACD，
∴．
∴CD2＝CG•CA；
（3）解：连接BC，如图，
由（2）知：CD2＝CG•CA，
∵CD＝5，CG＝，
∴AC＝5．
∵，
∴BC＝CD＝5，
∴．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴tan∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°．
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°．
∵AB＝2BC＝10，
∴OB＝AB＝5．
∵OB⊥BE，
∴BE＝OB•tan60°＝5．
∵∠E＝90°﹣∠BOE＝30°，BF⊥OE，
∴EF＝BE•cosE＝5＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理，连接直径所对的圆周角是常添加的辅助线．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据直线y＝﹣x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB＝OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，
∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．
当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．
∴．
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴直线l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1．
∴∠AM1B＝2∠ACB．
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH＝BH＝NH＝2．
∴N（3，2）．
设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵C（0，5），A（1，0），
∴．
解得b＝5，k＝﹣5．
∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，
设EM1的函数解析式为y＝x+n，
∵点E的坐标为（）．
∴＝×+n，
解得：n＝．
∴EM1的函数解析式为y＝x+．
∵．
解得．
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，﹣a+5），
则有：3＝，解得a＝．
∴﹣a+5＝．
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点评】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
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