2023年湖南省株洲市荷塘区中考二模数学试题（含解析）

2023年湖南省株洲市荷塘区中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A．2 B． C． D．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．五一期间，株洲醴陵市炒粉节3天时间共接待游客783000人次，783000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．如图是某企业2020年5~10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（　　）

A．5~6月份月利润增长量大于9~10月份月利润增长量

B．5~10月份月利润的中位数是700万元

C．5~10月份月利润的平均数是760万元

D．5~10月份月利润的众数是1000万元

5．关于的不等式的一个解是，则的值可能是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．如图，将木条和用螺丝钉在一起，且，若木条位置不动，将木条绕固定点顺时针旋转，使得，则旋转的角度可以是（    ）

A． B． C． D．

7．若，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，以正五边形的顶点为圆心作分别与边交于点，点是劣弧上一点，连接，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”．已知二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点恰好落在线段上时，则．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

二、填空题

11．因式分解：__________．

12．从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是______．

13．计算：____________．

14．分式方程的解是_______．

15．某中学举办“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是___________．

16．如图，在中，点在上，且平分，交于点，若，则__________．

17．如图，矩形的边与y轴平行，且，反比例函数的图象同时经过点B与点D，则k的值为_________．

18．如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连接，记的面积为，图中阴影部分的面积为．若点在同一直线上，①若，则_______；②的值为__________．

三、解答题

19．计算：．

20．先化简，再求值：，其中．

21．如图，在菱形中，于点于点．

(1)求证：；

(2)已知，求的长．

22．如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米．

(1)求该支架的边的长；

(2)求支架的边的顶端点到地面的距离．（结果保留根号）

23．荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读话动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析：

【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）：

32  43  34  35  15  56  48  24  45  10  25  40  59  42  55  30  47  28  37  42

【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整

  根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图．

(1)填空：____________，_____________；

(2)补全频数分布直方图；

(3)【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数．

(4)已知该校八年级学生小明的积分为分，是绿星级；小红的积分为分，是青星级．如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么的最大值是_________．

24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，交轴于点．

(1)求的值；

(2)过点的直线，交反比例函数的图象于点，分别交轴于点、点．若，求的面积．

25．四边形内接于为的直径，点在的延长线上，且．

(1)如图1，求证：是的切线；

(2)如图1，若 ，当的半径为时，求的长；

(3)如图2，的延长线交于点，若，求证：．

26．已知二次函数．

(1)若，且该二次函数的图象经过点，求关于的一元二次方程根的判别式的值；

(2)如图1，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中，与轴交于点，二次函数的顶点，连接并延长交轴于点，连接，且满足．

①求证：；

②如图2，过点作轴交二次函数的图象于点，过点作轴于点，若四边形为正方形，令，求的最小值．

参考答案：

1．A

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的数叫做相反数，即可进行解答．

【详解】解：的相反数是2，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握：只有符号不同的数叫做相反数．

2．D

【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及平方差公式分别验证即可得到答案．

【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；

B、，计算错误，不符合题意；

C、，计算错误，不符合题意；

D、，根据平方差公式可知计算正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及平方差公式等知识，熟记相关运算法则及公式是解决问题的关键．

3．C

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【详解】解：783000用科学记数法表示为．

故选：C．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．

4．B

【分析】先从统计图获取信息，再对选项逐一分析，选择正确结果．

【详解】解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、

A.5～6月份利润增长了，9～10月份利润，增长了，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；

B.5～10月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意．

C.5～10月份利润的平均数为（万元），故C说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；

D.700出现了2次，是出现次数最多的，5~10月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了折线统计图，平均数和中位数，根据图表准确获取信息是解题的关键．

5．A

【分析】先解不等式，然后根据不等式的一个解是，求得的范围即可求解．

【详解】解：∵

解得：

∵不等式的一个解是，

∴

解得：

∴的值可能是，

故选：A．

【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键．

6．B

【分析】根据“三线八角”可知与是同位角，若旋转木条使，则，从而由得到旋转角度．

【详解】解：根据题意，当木条绕固定点顺时针旋转，使得时，，

未旋转前，，

旋转后，，即木条绕固定点顺时针旋转，使得，则旋转的角度可以是，

故选：B．

【点睛】本题考查“三线八角”及平行线的判定与性质，读懂题意，弄清旋转前后的角度变化是解决问题的关键．

7．D

【分析】根据不等式性质知直接判断即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

∵，

∴，，，

当时，，

故选D．

【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．

8．D

【分析】根据正多边形的性质求得，进而根据圆周角定理求得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．

【详解】解：如图所示，点为优弧上一点，连，

∵

∴，

∵，

∴的度数为，

故选：D．

【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．

9．D

【分析】设零和点的坐标为（n，-n），代入y=x2+3x+m得到关于n的一元二次方程，由题意可知此方程有两相等的实数根，即可得到Δ=42-4m=0，解得即可．

【详解】解：∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，

设零和点的坐标为（n，-n），

∴方程-n=n2+3n+m即n2+4n+m=0有两个相等的实数根，

∴Δ=42-4m=0，

∴m=4，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．

10．D

【分析】过点作于点，利用三线和一以及正切的定义，求出，即可判断①；过点作于点，利用勾股定理求出，判断②；过点作于点，证明为等腰直角三角形，设，三角函数求出的长，利用，求出的值，进而求出的长，判断③；证明，推出，根据折叠的性质，推出，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．

【详解】解：①过点作于点，

∵，

∴，

∴，

∴；故①正确；

②过点作于点，则：四边形为矩形，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；故②正确；

③过点作于点，

∵，

∴，

∵翻折，

∴，

∴，

∴，

设，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；故③错误；

④当点恰好落在线段上时，如图：设与交于点，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵翻折，

∴，

∴，

∴，

∴；故④正确，

综上：正确的是①②④；

故选D．

【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．

11．

【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．

【详解】解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)；

故答案为：3(x+2)(x−2)．

【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．

12．

【分析】先得出随意取出一个数的所有可能的结果，再找出该数为3的倍数的结果，然后利用概率公式计算即可得．

【详解】从1到10的十个自然数中，随意取出一个数的所有可能的结果有10种，即，它们每一种结果的可能性相等，其中，该数为3的倍数的结果有3种，即

则该数为3的倍数的概率是

故答案为：．

【点睛】本题考查了简单概率的计算，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．

13．

【分析】先运用乘法分配律展开，再利用二次根式的乘法法则计算即可．

【详解】解：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键．

14．x=-3

【分析】方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．

【详解】解：方程两边都乘x（x-2），得

5x=3（x-2），

解得：x=-3，

检验：当x=-3时x（x-2）≠0，

所以x=-3是原方程的解，

故答案为：x=-3．

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．

15．乙

【分析】根据应选择平均分大且方差小的同学参赛进行求解即可．

【详解】解：从平均分看，乙、丙的平均分相同且都高于甲、丁的平均数，故应从乙、丙中选择一人参赛，

从方差来看，乙、丁的方差相同且都低于甲、丙的方差，故应从乙、丁中选择一人参赛，

综上所述，应选择乙同学参赛，

故答案为：乙．

【点睛】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，正确理解题意是解题的关键．

16．/

【分析】根据平行四边形的性质得出，则，根据平分，可得，从而得出，则，根据，得出，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵平分，

∴

∴，

∴

∵

∴

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

17．9

【分析】根据四边形为矩形，结合，得出点B、D的坐标，然后再根据点B、D在反比例函数的图象上，列出关于m的方程，解方程即可得出m的值，最后求出k的值即可．

【详解】解：∵矩形的边与y轴平行，，

∴点B的坐标为，点D的坐标为，

∵点B、D在反比例函数的图象上，

∴，

解得：，

∴点B的坐标为，

∴．

故答案为：9

【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，解题的关键是根据题意得出，．

18．         

【分析】连接，由列出比例式，整理可得，然后分别用含的式子表示出，即可解决问题.

【详解】解：连接，点，，在同一直线上，

，，，，，

，

，

∴，即，

整理可得：，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及勾股定理，作出辅助线根据相似三角形的性质得出是解题关键.

19．

【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．

20．，

【分析】根据分式混合运算，先化简，再代值即可得到答案．

【详解】解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据菱形的性质得出，即可证明；

（2）设，，勾股定理得出，进而求得，则，在中，勾股定理即可求解．

【详解】（1）解：∵，，

∴，

∵在菱形中， ，，

∴在和中，

；

（2）∵在中，，

设，，

在中，，

∴，

∵

∴

解得：

∴

∵，

在中，

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，已知正切求边长，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键．

22．(1)该支架的边的长为米；

(2)

【分析】（1）在中，，根据已知可得，即可求解．

（2）由代入数据求得，进而根据，即可求解．

【详解】（1）解：∵，

∴是直角三角形，

在中，，

∵，

∴，

即该支架的边的长为米；

（2）根据已知可得，在，中，且，

∴，

即，

解得：，

在矩形中，，

∴米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．

23．(1)7、3

(2)补全频数分布直方图见解析

(3)300人

(4)17

【分析】（1）整理样本中的数据，得满足的共7个；满足有共3个；即可得到答案；

（2）根据（1）中所得的数据，绿星级对应的频数是7，青星级对应的频数是3，画图即可；

（3）总人数乘以样本中绿星级以上的人数所占比例即可；

（4）找到的最大值、的最小值，相减即可得出答案．

【详解】（1）解：由样本数据得的有7人，的有3人，则，，

故答案为：7；3；

（2）解：由（1）中，，补全频数分布直方图如下：

（3）解：样本中，积分在绿星级以上的人数，占抽样人数的，

（人，

答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人；

（4）解：俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知，的最大值为58，的最小值为41，

的最大值为，

故答案为：17．

【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

24．(1)，

(2)

【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式即可求解；

（2）由（1）可得反比例函数解析式，进而设，根据，求得，继而求得直线的表达式为，得出，进而根据三角形面积公式即可求解．

【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点

∴

解得：

∴

∵反比例函数经过点，

∴；

（2）由（1）可得反比例函数解析式为，

设，

∵，，

∴，

解得：，

∴，

设直线的解析式为，

将,代入得，

，

解得：，

∴直线的表达式为，

当时，，

∴，

由，当时，，则，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．

25．(1)见解析

(2)

(3)见解析

【分析】（1）圆周角定理，得到，进而得到，即可得出结论；

（2）勾股定理求出的长，平行得到，进而得到，证明，得到，同角的余角相等，得到，解，即可得解；

（3）等边对等角得到，圆周角定理，得到，利用等角的余角相等，得到，即可得证．

【详解】（1）证明：∵为的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵为的半径，

∴是的切线．

（2）解：∵为的直径，

∴，，

∴，

∵ ，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即：，

∴，

∴．

（3）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．

26．(1)

(2)①见解析；②

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解；

（2）①根据抛物线解析式求得的坐标，得出直线的解析式，进而求得的坐标，证明，进而得出，根据根与系数的关系以及勾股定理的逆定理进行证明即可求解；

②根据正方形的性质得出，即结合①的条件，得出，代入，根据二次函数的性质即可求解．

【详解】（1）∵，且该二次函数的图象经过点，

∴

∴

∴

（2）①由，当时，，

∴，顶点坐标为，

设直线的解析式为，

∴

解得：

∴直线的解析式为：

当时，。

∴，

∵，，

∴,

∴

即，

设的横坐标分别为，

∴，,

∴

即，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴

，

又∵，

∴，

∴；

②∵轴，

∴，

∴,

∵四边形是正方形，

∴，

∴，即，

由①可得，

∴

将，代入，

，

∴当时，有最小值为．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．