2023年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  抛掷一枚质地均匀的骰子六个面分别标有数字一次，则正面朝上的数字(    )

A. 一定是 B. 可能是 C. 一定大于 D. 一定小于

4.  点在轴上，则点的坐标可能为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务，设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，是上一点，连接，若，，，则的长可表示为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知二次函数和一次函数为常数若当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

10.  如图，在边长为的正方形中，点为的中点连接，把沿直线折叠，使点落在点处，交对角线于点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若有意义，请写出符合条件的一个的值：______ ．

12.  若多项式满足，，则 ______ ．

13.  如图，点是外一点，是的切线，为切点，连接若，则 ______ ．

14.  已知圆锥的母线长，圆锥的高，则这个圆锥的侧面积是______ ．

15.  已知实数，，满足，若，，那么的取值范围是______ ．

16.  如图，在中，，，是边上的高，绕点旋转，点落在线上的点处，点落在点处，那么 ______ ， ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式：．

18.  本小题分
每年的月日是“世界读书日”，今年月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动活动结束后，校教导处对本校八年级学生月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量单位：本进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
补全两幅统计图．
本次抽取学生月份“读书量”的中位数为______ 本
已知该校八年级有名学生，请你估计该校八年级学生中月份“读书量”不少于本的学生人数．

19.  本小题分
如图，在边长为的等边三角形中，点，、分别在边、、上，．
求证：∽；
若，，求的长．

20.  本小题分
平面直角坐标系中，反比例函数为常数，和一次函数为常数，的图象都经过点．
若，求的值．
若点是反比例函数与一次函数图象的另一个交点，
求，的函数表达式．
若，直接写出的取值范围．

21.  本小题分
如图，在▱中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的值．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，设二次函数是常数．
当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
若函数图象经过点，，求证：；
已知函数图象经过点，，点，若对于任意的都满足，求的取值范围．

23.  本小题分
已知的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点．
如图，若，求的长．
如图，若为弦的中点，求证：．
连接、、，若是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据负实数的绝对值是它的相反数，求出的绝对值即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：当是正实数时，的绝对值是它本身；当是负实数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：。
根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可。
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键。
 

3.【答案】 

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子六个面分别标有数字一次，则正面朝上的数字可能是，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
．
故选：．
根据轴上的点的横坐标为判断即可．
本题考查了点的坐标，掌握轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，首先根据直角三角形两锐角互余可算出和的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数．
【解答】
解：在和中，
，，，
，
，
，
，
在中，．  

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】
解：，
，
，故A错误．
当，时，
，，
即，故B错误．
当时，时，
，，
即，故C错误．
，
，
，故D正确．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
在中，，
，，
在中，，
，
即．
故选：．
在中，先用表示出，然后在中用表示即可．
本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义并灵活运用是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，

，
又，
，
抛物线经过点，
，
或也可以写成或也可以写成或．
故选：．
把和代入中可以求出，然后把代入，得出关于，等式即可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长交于，连接．
四边形是正方形，
，，，
，
由翻折的性质可知，，，，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
．
故选：．
延长交于，连接证明∽，推出，推出，，由，推出，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由于有意义，
所以，
即，
所以可以为：答案不唯一．
根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再写成符合条件的数即可．
本题考查二次根式有意义的条件，理解“负数没有平方根”是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
注意到满足两数的平方差，则可利用平方差公式进行计算．
此题主要考查平方差公式的逆运算，同时考查利用平方差公式化简分式求值．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的切线，为切点，
半径，
，
，
．
故答案为：．
由切线的性质定理得到，由直角三角形的性质，即可求出的度数．
本题考查切线的性质，直角三角形的性质，关键是掌握切线的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理得，圆锥的底面半径，

故答案为：．
利用勾股定理，计算出圆锥的底面半径，然后根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的有关计算，要理解圆锥的有关概念；也考查了勾股定理以及圆的周长公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：联立方程组，
将作为参数解得：，
，
，
可得：．
故答案为：．
把当作参数，联立方程组求出，的值，然后用表示出，利用不等式的性质求解．
本题主要考查了不等式的性质和解二元一次方程组，掌握把当作参数，联立方程组求出，的值，然后利用不等式的性质求解是关键．
 

16.【答案】 ． 

【解析】解：如图，过点作于点，

将绕点旋转，点落在线段上的点处，点落在点处，
，，
，是边上的高，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，，
，
，
故答案为：，．
如图，过点作于点，由旋转可知：，，利用三角函数可得，进而可得：，，运用勾股定理可得，，由等腰三角形性质可得的长，再运用三角函数可得答案．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质．
 

17.【答案】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

18.【答案】 

【解析】解：本次接受随机抽样调查的学生人数为人，
读本的人数为人，
读本的百分比为：，
读本的百分比为：，
补全两幅统计图如图：

把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则中位数是本；
故答案为：；
根据题意得：人，
答：估计该校八年级学生中月份“读书量”不少于本的学生人数为人．
根据读本的人数和所占的百分比求出总人数，再可求出读本的人数和读本、本的百分比，即可补全两幅统计图；
根据平均数、众数和中位数的定义即可得出答案；
用八年级的总人数乘以“读书量”为本的学生人数所占的百分比即可．
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

19.【答案】证明：为等边三角形，
，
，
即，
而．
，
，
∽；
解：，，
，
∽，
，即，
解得，
即的长为． 

【解析】先根据等边三角形的性质得到，再利用三角形外角性质证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
由于∽，根据相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了等边三角形的性质．
 

20.【答案】解：若，则，
反比例函数为常数，图象经过点，
；
反比例函数为常数，和一次函数为常数，的图象都经过点，，
，
解得：，
，
，，
解得：，，
，的函数表达式分别为，；
如图：

令，则，
解得：，
一次函数与轴的交点为，
由图象可得，当时，或． 

【解析】根据待定系数法即可求得；
根据题意，求得的值，从而得出，然后分别代入，，利用待定系数法即可求得；
根据图象，结合、的坐标以及直线与轴的交点即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
 

21.【答案】解：证明：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
如图，过作于，

，，，且四边形为菱形，
，，
为等边三角形，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得，
即的值为． 

【解析】本题主要考查平行四边形的性质及菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键，在求的值时注意构造直角三角形．
利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，可证得结论；
过作于，在中可求得和的长，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长．
 

22.【答案】解：当时，，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
证明：函数图象经过点，，
，，
，
，
；
解：对于任意的都满足，
点，，存在如下情况：
情况，如图，当时，，

，
解得；
情况，如图，当时，，

，
，解得，
综上所述，或． 

【解析】由配方法可求出顶点坐标，时，，时，，则可得出答案；
将已知两点代入求出，，再表示出，由，即可求解；
分两种情况，当时，当时，由二次函数的性质可得出答案．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，，
又，
，即，
，
，
，
，
，
；

证明：如图，连接，

为直径，，
，，
，
，
、，
≌，
，
，，
，
；

如图，

是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，
、，
则，
解得：或，舍去．
、，
，
，
，
则，
． 

【解析】由知，得，根据知，从而得，即可知，利用可得答案；
连接，设，证为中位线及≌得，再利用三角形中位线定理证明即可；
先求出、、所对圆心角度数，从而求得、，从而根据三角形面积公式计算可得．
本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．