2023年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号运载火箭的重量大约是将数据用科学记数法表示，结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，为的直径，，是圆周上的两点，若，则锐角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  据调查，某班名学生所穿鞋子鞋号统计如表：

则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  已知，下列不等式的变形不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：共有几个人？”设有个人共同买鸡，依题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；连接并延长，交于点连接，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点，连结交于点，且，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  关于一元二次方程，有以下命题：若，则；若方程两根为 和 ，则 ；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若有两个相等的实数根，则无实数根．其中真命题是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若，则锐角        ．

12.  分解因式：______．

13.  一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为、、、，随机取出一个小球，标号为偶数的概率为______ ．

14.  如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为______ ．

15.  传统服饰日益受到关注，如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为______ ．

16.  已知如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

小红解答下题“先化简，再求值：，其中”的过程如下：

    解：原式，当时， 原式．

    小红的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的答案．

18.  本小题分
某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表

请根据所给信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
请补全频数分布直方图；
已知该年级有名学生参加这次比赛，若成绩在分以上含分的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？

19.  本小题分
如图，在中，，为上的一点，以为直径的半圆与交于点，且切于点．
求证：；
若，，求的长．

20.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
求一次函数和反比例函数的表达式；
设点，分别是两函数图象上的点；
试直接写出当时的取值范围；
若，试求的值．

21.  本小题分
在中，，将在平面内绕点顺时针旋转旋转角不超过，得到，其中点的对应点为点，连接，．
如图，试猜想与之间满足的等量关系，并给出证明；
如图，若点在边上，，，求的长．

 

22.  本小题分
设二次函数是常数，．
若，求该函数图象的顶点坐标．
若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：．

23.  本小题分
如图，点是正方形边上一点，过作，交于，连接，是的中点，过作交于点．
连接，，求证：．
若，
若，，求的长；
连接，求的值用含的代数式表示
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【解答】
解：，，，，
所给的实数中，比小的数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得，又由，即可求得的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角．
【解答】
解：连接，






是的直径，
，
，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：名学生所穿鞋子鞋号从小到大排列后处在中间位置的两个鞋号都是，
中位数为，
出现次数最多的鞋号是，共出现次，故众数为，
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是，．
故选：．
数据按照大小排列后处在中间位置或中间位置两个数的平均数，就是中位数，出现次数最多的数据叫做众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可．
本题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项正确，不符合题意；
B.，
，故本选项正确，不符合题意；
C.，
，故本选项正确，不符合题意；
D.当时，，故本选项错误，符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

7.【答案】 

【解析】解：设有个人共同出钱买鸡，根据题意得：
．
故选：．
设有个人共同出钱买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设交于点．

由作图可知：，平分，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，
在中，，
故选：．
首先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的外角平分线，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故A正确，
设，，则，
，
，
故B错误；
，
故C正确；
，
故D正确；
故选：．
设，，表示出有关的角，由圆周角定理，圆内接四边形的性质，可以解决问题．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是设，，表示出有关的角．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，方程有一根为，又，则，正确；
由两根关系可知，，整理得：，正确；
若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确．
若有两个相等的实数根，则，
若，即，，有无实数根无法确定，故错误．
故选：．
，即系数和为，说明原方程有一根是，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有；
已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
根据有两个相等的实数根判断即可．
本题考查一元二次方程的解和命题，属于中等题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
锐角．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
解：原式
．
故答案为：．
 

13.【答案】 

【解析】解：、、、中，偶数有个，
随机取出一个小球，标号为偶数的概率为：．
故答案为：．
直接利用概率公式求出得到偶数的概率．
此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，
五边形花环为正五边形，
，
，
，
．
故答案为：．
利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出，然后根据三角形内角和求解即可．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于，熟记有关知识是解题的基础．
 

15.【答案】米 

【解析】解：由题意知，，，
解得，，
米，
故答案为：米．
由题意知，，计算求解，的值，然后根据计算求解即可．
本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连结，

是的中点，
，
在矩形中，，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，
即，，
解得：，
即，
，
，
由折叠易知：，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
连结，通过求证≌，再设设，则，，利用勾股定理求出即的长，再通过设，则，在中利用即可求出的长．
本题考查矩形的性质以及折叠的性质特点，勾股定理的应用等知识，本题的关键在于通过矩形性质、折叠性质、方程思想求出的长，再在中利用即可求出的长．
 

17.【答案】解：小红的解答错误．
原式


，
当时，
原式．
故正确答案是 

【解析】根据分式的加减运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次调查的总人数为人，
，，
故答案为：、；
补全图形如下：

人，
答：估计该年级成绩为优的有人．
由第段频数及其频率求出被调查的总人数，再根据频率频数总人数求解即可；
根据所求的值即可补全图形；
总人数乘以样本中第段的频率即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

19.【答案】证明：连接，，如图，
切于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
解：设的半径为，则，
在中，，
，
，
，
解得，
即，
在中，，，
，，
，
为等边三角形，
，
． 

【解析】连接，，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，根据平行线的性质得到，，则可证明，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
设的半径为，则，在中利用含度角的直角三角形三边的关系得到，解得，所以，接着在中计算出，然后证明为等边三角形得到，最后计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含度角的直角三角形三边的关系．
 

20.【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，
，
把，代入得，
解得，
一次函数解析式为；
当时的取值范围为或；
点是一次函数的图象的点，是反比例函数的图象的点，
，，
，
，解得． 

【解析】先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
根据交点坐标结合图象即可求得；
根据题意得到，解方程即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
 

21.【答案】解：
理由如下：旋转





如图，过点作于点，

旋转
，，，
，



是等边三角形
，，且，

，
在中，

 

【解析】由旋转的性质可得，可得，由平行线的性质可得；
过点作于点，由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，可得，即可得的长．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
 

22.【答案】解：当时，二次函数，
顶点坐标为；
当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，，
，抛物线的关系式为；
二次函数是常数，的图象与轴交于点，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，时，，
，
，，
，
，
．
故． 

【解析】当时，二次函数，即可求出顶点坐标；
先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式；
分和两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出的不等式便可求得结果．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出的不等式．
 

23.【答案】解：垂直平分，

又正方形关于轴对称，

；
，，
，，，
如图，过点作的垂线交于点，
由知，
垂直平分线段，
，，

在中，，
点是的中点，
，
在中，；
证明：设，
，
，
，，
由知．
，，，
≌，
，
． 

【解析】根据正方形的性质和已知条件即可证明；
根据已知条件结合利用勾股定理即可求出的长；设，根据，可得，，，证明≌可得，利用锐角三角函数即可得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．