精品解析：天津市五校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题

2021~2022学年第二学期期末学习成果认定

高一数学

一､选择题（本题共8小题，共32分）

1. 已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或1

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的定义直接列式计算作答.

【详解】依题意，，解得，所以的值为1.

故选：C

2. 在中，若，则是（    ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根据内角和定理和正弦的差角公式得，进而结合已知得，,进而可得答案.

【详解】解：因为，所以

所以，即，

因为，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，即是直角三角形.

故选：A

3. 已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面，下列说法正确是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，举例说明判断选项A，B，D；利用线面平行、垂直的性质推理判断C作答.

【详解】对于A，因，当时，满足，显然不成立，A不正确；

对于B，如图，长方体中，平面为平面，平面为平面，直线为直线m，

显然有，，而，B不正确；

对于C，因，则存在经过直线m的平面，使得，则，而，有，因此，C正确；

对于D，因，则在平面内存在直线，满足，即不成立，D不正确.

故选：C

4. 某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.记这组数据的中位数为a，平均数为b，众数为c，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接计算这组数据的中位数，平均数，众数即可.

【详解】这10个数据已经从小到大进行了排序，中位数，众数，平均数，.

故选：C

5. 如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得，，，化简计算即可得出结果.

【详解】.

故选：C.

6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 事件A与事件B互斥

C. 事件A与事件B相互独立 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件、相互独立事件意义及古典概率公式逐项计算判断作答.

【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；

事件B含有的基本事件有8个：，

其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；

抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，

即事件A与事件B相互独立，C正确；

，D不正确.

故选：C

7. 已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面圆半径为，故可得，解得，

设圆锥的高为，则，

则圆锥的体积.

故选：A

8. 已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为是（    ）

A. 17 B. 13 C. 12 D. 15

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，画图建立坐标系，根据向量单位化运算，可表示出每一个点的坐标，根据数量积的坐标公式，结合基本不等式，可得答案.

【详解】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，

，，

，，

，当且仅当时，等号成立，

故选：B.

二､填空题（本题共6小题，共24分）

9. 已知复数（为虚数单位），则 ___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数除法运算得，再计算模即可得答案.

【详解】解：因，

所以.

故答案为;

10. 已知向量，，若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据求出值，从而得到的坐标，代入向量模长的坐标公式计算即可.

【详解】向量，，且，，，，.

故答案为：

11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄､学历､职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[1500，3000]（元）月收入段应抽出___________人.

【答案】70

【解析】

【分析】根据频率分布直方图的性质，计算出所求区间的频率，根据分层抽样的定义，可得答案.

【详解】抽到在[1500，3000]（元）月收入段的频率为，

在[1500，3000]（元）月收入段应抽出（人），

故答案为：70.

12. 在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.

【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，

因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，

而，等腰中，，

所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.

故答案为：

13. 现对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.6，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理. 设每台设备是否合格相互独立，则每台设备报废的概率为___________.检测3台设备，则恰有2台合格的概率为___________.

【答案】    ①. 0.2；    ②. 0.384

【解析】

【分析】①设备报废即连续两次检测都不合格，则可得每台设备报废概率；

②由①得出每台设备合格的概率P， 即可由独立重复试验概率公式求得概率

【详解】①设备报废即连续两次检测都不合格，则每台设备报废概率为：；

②每台设备合格的概率，每台设备是否合格相互独立，

则检测3台设备，则恰有2台合格的概率为.

故答案为：0.2；0.384.

14. 在我国古代的数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，鳖臑的体积为，若，则阳马外接球的表面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】阳马(四棱锥)所在的三棱柱为直三棱柱，则两个几何体的外接球是同一个球，则求直三棱柱外接球半径即可.由等体积法得出三棱锥的体积为2，并由此求出直三棱柱的高，根据几何关系找到外接球球心，求出外接球半径即可求其表面积．

【详解】阳马(四棱锥)所在的三棱柱为直三棱柱，则两个几何体的外接球是同一个球．

由于三棱锥与三棱锥等底同高，∴这两个三棱锥的体积相等，即三棱锥的体积为2．

，，△的面积为，

∴，

如图，分别为直三棱柱上下底面外接圆圆心，则中点O为外接球球心，OB即为外接球半径R，

Rt的外接圆半径为，

则，

∴阳马外接球的表面积为．

故答案为：．

三､解答题（本大题共5小题，共64分）

15. 已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为.

（1）求；

（2）求

（3）若与垂直，求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由题意，根据向量模长的坐标表示，结合数量积的定义式，可得答案；

（2）由（1），根据数量积的性质，求解模长，可得答案；

（3）根据垂直向量的数量积性质，可得答案.

【小问1详解】

，，.

【小问2详解】

，∴.

【小问3详解】

若与垂直，则，

即，∴，即，

∴.

16. 如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.

（1）求证：平面BEC；

（2）求证：BC⊥平面BDE；

（3）求直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）取EC中点N，证明，再利用线面平行的判定推理作答.

（2）由已知结合余弦定理证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理作答.

（3）作出线面角，再在直角三角形中计算作答.

【小问1详解】

取EC中点N，连接MN，BN，如图，在△EDC中，M为ED的中点，

则，且，而，，即有，

因此四边形ABNM为平行四边形，有，因平面BEC，且平面BEC，

所以平面BEC.

【小问2详解】

由正方形ADEF知，ED⊥AD，而平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，

平面ADEF，则ED⊥平面ABCD，而平面ABCD，即有，

在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，，则，，

而，有，即，

因此，又，平面BDE，

所以平面BDE.

【小问3详解】

延长CB与DA交于P点，由（2）知，而，，面ADEF，

于是得CD⊥面ADEF，即为直线BC与平面ADEF所成角，而，则，

所以直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.

17. 某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲､乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）.

（1）根据样本数据，求甲､乙两厂产品质量的平均数和中位数；

（2）若从甲厂6件样品中随机抽取两件，列举出所有可能的抽取结果；记它们的质量分别是a克，b克，求的概率.

【答案】（1）甲厂质量的平均数，甲的中位数是113；乙厂产品质量的平均数是，乙的中位数是113   

（2）

【解析】

【分析】（1）把甲、乙两组数据分别从小到大排序，即可计算得甲､乙两厂产品质量的平均数和中位数；

（2）列举出甲厂6件样品中随机抽取两件的所有可能的抽取结果，然后结合题意分析计算即可.

【小问1详解】

甲厂质量的平均数，

甲的中位数是，

乙厂产品质量的平均数是，

乙的中位数是.

【小问2详解】

从甲厂6件样品中随机抽两件，结果共有个，分别为：

，，

，

设“ ”为事件为A，由事件A共有5个结果：

，

∴的概率.

18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）若，求的值；

（2）若，的面积为，求边a，b的值.

【答案】（1）   

（2），或，

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，最后利用两角和的余弦公式计算可得；

（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.

【小问1详解】

解：因为，

由正弦定理得，

即，

因为，，所以，

由为三角形内角得；

由，则，

所以，

，

；

【小问2详解】

解：因为的面积，所以①，

由余弦定理得，则②，

由①②解得，或，

19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求证：平面；

（3）求平面与平面的夹角的大小.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）取中点，连接，易知且底面，由此即可求出答案；

（2）由题意易证面，则可得，再结合，利用线面垂直的判定定理即可得证；

（3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案.

【小问1详解】

取中点，连接，

在中，分别为中点，

∴为的中位线，

∴，且，

又∵，

∴

∵底面，

∴底面，

∴；

【小问2详解】

∵底面，且面

∴，

∵底面是正方形，

∴，

又,面,

∴面,

又面

∴

∵，且，

∴是等腰直角三角形，又是斜边的中线，

∴，

又,面,

∴面，

∵面

∴,

∵,

又,面

∴平面；

【小问3详解】

由（2）可知，

故是平面与平面的夹角，

∵

∴，

在中，，，，

又面，

∵面

∴,

在中，，

∴，

故平面CPB与平面PBD的夹角的大小.