天津市五校联考2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试题

这是一份天津市五校联考2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1．经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．已知向量,且，则（ ）
A．B．C．D．
3．是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
8．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
10．经过点，且与直线垂直的直线方程是_____________.
11．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________.
12．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_____________.
13．椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与C交于两点，与轴相交于点D，若，则椭圆C的离心率为_____________.
14．若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_____________.
15.已知点，若圆上存在点使得,则实数的取值范围是_____________.
三、解答题（共5题，共75分）
16．（本小题满分14分）
已知点，圆．
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于A，B两点，弦的长为，求的值．
17．（本小题满分15分）
D
P
E
A
C
B
F
如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点，，为棱上的点且.
（1）证明：平面；
（2）证明：直线平面；
（3）求二面角的余弦值；
18．（本小题满分15分）
已知椭圆的上顶点为A，左顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过的右焦点交椭圆于两点，，求直线的方程．
19.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面,，分
别是的中点
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分16分）
已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若直线的斜率为，且与椭圆的另一个交点为，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（直线的斜率不为）与椭圆交于、两点，点在点的上方，若，求直线的斜率．
天津市2021～2022学年度第一学期期中五校联考
高二数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1—5 A C B C B 6—9 A D A D
二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）
10．11．12．
13．14．15．
三．解答题（共5题，共75分）
16．（本小题满分14分）
解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，分
当过点的直线斜率不存在时，方程为，
由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，
分
当过点的直线存在斜率时，
设方程为，即．分
由题意知，解得，
直线的方程为．分
故过点的圆的切线方程为或．分
（2）圆心到直线的距离为，分
，.分
解得．分
17．（本小题满分15分）
证明：
（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由，则，，，，
D
P
E
A
C
B
F
y
z
x
则，，，
设是平面的一个法向量，
则由，得，取，
得.
，，
又平面，
平面. 分
由
又，
故，分
又
所以直线平面分
（3）解：由（1）知是平面的一个法向量，分
又是平面的一个法向量.
，分
故二面角的平面角的余弦值为分
18．（本小题满分15分）
解：
（1）由可得，又，解得，
∴椭圆的方程为．分
（2）①当直线斜率不存在时，由椭圆的方程可知：椭圆的右焦点坐标为：，
所以直线方程为：，代入椭圆方程中，得，
不妨设，，不合题意；分
②设直线，
由得：，
分
，即
分
解得，分
∴直线的方程为分
19．（本小题满分15分）
解：
（1）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，分
则，设平面的法向量为
，则，即，令，
可得，即，分
所以，分
所以直线与平面所成角的正弦值为.分
（2）假设在棱是存在一点，设，可得， 分
由，可得，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，即，
分
又由平面的一个法向量为，
所以，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
可得，解得，分
此时，符合题意，
所以在棱上存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为分
20.（本小题满分16分）
解：由的周长为，所以，则.
由直线的斜率为，所以，又，所以.
所以椭圆的标准方程为 分
由题意可得直线方程为，联立得得，解得
，解得,所以 分
因为，则，
所以 分
当直线的斜率为时，不符合题意；
故设直线的方程为，设点
由点在点的上方，且，则有分
联立，所以，则
将，代入，可得，进而有
分
解得，. 分
由题意知，所以 分
故直线的斜率为 分