精品解析：天津市六校高一下学期期末联考数学试题

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~第二学期期末六校联考高一数学出题学校：蓟州一中  宝坻一中一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）1. 已知是实数，是纯虚数，则 等于A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，为纯虚数，则：，据此可知.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知向量，，若，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由先求得,进而求解.【详解】由题,因为,所以,即,所以,故选:A【点睛】本题考查由向量平行求参数,考查向量加法的坐标运算,属于基础题.3. 正四面体中，，分别为，中点，则异面直线与成的角等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】作出正四面体，取的中点，连结，可得为异面直线所成的角，在中求得的度数，即可得到答案.【详解】如图所示，在正四面体中，取的中点，连结，则，∴为异面直线所成的角，设，则在中，，，∵，∴为等腰直角三角形，∴.故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意“一作、二证、三求”三个步骤的应用.4. 在△中，若，，，则等于A.  B.  C. 或 D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：利用余弦定理：，∴，∴，∴或8，∴或，故选C.考点：余弦定理、三角形面积公式.5. 如图，已知中，为的中点，，若，则A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.【详解】因为，所以，.故.故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.6. 有编号为,,的三个盒子和编号分别为,,的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】以表示编号为、、的盒子分别放编号为、、的小球，则所有的基本事件有：、、、、、，共种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：、，共个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为.故选：D.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.7. 一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（    ）A.  B. C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.8. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则【答案】B【解析】【详解】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系9. 如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C【解析】【分析】三棱锥的底面积是长方体底面积的一半，高为长方体的，故体积为长方体的.【详解】故选：C.10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题设及正弦定理判断三角形内角，再由和角正切公式和基本不等式求最值，注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件.【详解】由正弦定理得：,所以,因此，中有一钝角, 角必为锐角,因为，所以，当且仅当时等号成立，故，即角的最大值为.故选：A二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）11. i是虚数单位，复数________________.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】，故答案为：.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为___【答案】808【解析】【分析】由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.【详解】由题意可得抽样比：本题正确结果：【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.13. 在△中，，，且的大小是，则___【答案】【解析】【分析】根据正弦定理可知，AC已知，可得BC，又，由余弦定理可得AB．【详解】由题得，，，又，，解得.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题．14. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形，可把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，又由长方体的对角线长等于球的直径，且，即，即，所以球的表面积为．故答案为【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15. 如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，当取到最小值时，的长为______．【答案】【解析】【分析】设，由已知结合余弦定理可求，而，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果．【详解】设，，中，由余弦定理可得，，中，，，此时，故答案为：．【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．三、解答题（共60分）16. 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.（1）请列出所有可能的结果；（2）求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；（3）求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.【答案】（1）答案见解析；    （2）；    （3）.【解析】【分析】（1）列举法写出所有基本事件即可；（2）求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求解；（3）求出满足两个球的编号之和与编号之积都不小于4的事件的个数，利用古典概型求解.【小问1详解】从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况.【小问2详解】设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件，事件所有可能的结果为：，，，，，，共6种情况，∴.【小问3详解】设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件，事件的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，共11种情况，∴.17. 在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 已知，，．（1）求与的夹角θ；（2）求；（3）若，求实数λ的值．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）利用数量积的运算律即可求解；（2）由（1）中的结果结合模平方之后转化为数量积运算即可求解；（3）由向量垂直得出数量积为零的等式，进而求出实数λ的值.【小问1详解】解：∵ 即又因为，∴64-8×4×3cosθ+27=43，∴．∵θ∈[0，π]，∴．【小问2详解】解：由（1）得．小问3详解】解：∵，∴，∴即，∴3λ=10，∴．19. 在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，ADBC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点.（1）求证：CE//平面PAB；（2）求证：平面PAC⊥平面PDC；（3）求直线EC与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）先证明以DC⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定定理求解即可；（3）取PC的中点F，证明∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，再解三角形即可．【详解】（1）取PA的中点M，连接BM，ME，则MEAD且ME=AD，又因为BCAD且BC=AD，所以MEBC且ME=BC，所以四边形MECB为平行四边形，所以BMCE，又CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，所以CE平面PAB.（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥DC，又因为AC2+CD2=2+2=AD2，所以DC⊥AC，因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，所以DC⊥平面PAC.又因为DC⊂平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC.（3）解：取PC的中点F，连接EF，则EFDC，由（2）知DC⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC，所以∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角.因为，EF=CD=，所以tan∠ECF==即直线EC与平面PAC所成角的正切值为.20. 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；    （2）证明见解析；    （3）.【解析】【分析】（1）设和交于点，连接，根据线面平行的判定定理求解；（2）由线面垂直可得线线垂直，再由菱形对角线垂直可得线面垂直，即可得证；（3）连接，，可证明为二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.【小问1详解】设和交于点，连接，如图，由于，分别是，的中点，故，∵平面，平面，所以直线平面.【小问2详解】在四棱柱中，底面是菱形，则，又平面，且平面，则，∵平面，平面，∴平面.平面，∴.小问3详解】连接，，因为，是中点，所以，因为平面，平面，所以，∴为二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值为.