天津市五校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

天津市五校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知a,，i是虚数单位，若，则(  )

A.0 B.1 C.2 D.-2

2、北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和15个相同的北京2022年冬奥会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为(   )

A.3 B.5 C.9 D.10

3、数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为(   )

A.6 B.7 C.6.5 D.6或7

4、已知向量,,.若，则(   )

A.-1 B.0 C.1 D.2

5、盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于(   )

A. B. C. D.

6、在矩形ABCD中，,．若点M，N分别是CD，BC的中点，则(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

7、在中，，，若该三角形有两个解，则b边范围是(   )

A. B. C. D.

8、如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）(   )

A. B.  C.  D.

9、设锐角内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，，则面积的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

10、已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若，则的虚部为_______.

11、已知向量,的夹角为，，则_______.

12、某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为________.

13、已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的周长的最大值为_________.

14、如图，在中，，点E在线段AD上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.

三、解答题

15、已知：复数，.（i是虚数单位）

（1）若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围；

（2）若z是纯虚数，求m的值；

（3）若z是实数，求的值.

16、已知向量，满足：，，.

（1）求与的夹角；

（2）若，求实数的值；

（3）若向量与所成的夹角为锐角，求实数的取值范围.

17、已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，．

（1）求A；

（2）若，的面积为，求b、c．

18、新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有660人.

（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；

（2）从频率分布直方图中，估计本次评测分数中位数和平均数（精确到0.1）；

（3）为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分在的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率.

19、设函数，其中向量，.

（1）求的最大值；

（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，，的面积为，求的值.

参考答案

1、答案：A

解析：因，

所以，

所以，所以.

故选：A

2、答案：D

解析：抽样比为，

所以.

故选：D

3、答案：B

解析：数据共有9个，，所以分位数为第7个数，即7，

故选：B

4、答案：B

解析：因为向量，

所以，

因为，

所以，

解得，

故选：B

5、答案：C

解析：记3个红色球分别为a、b、c，记个黄色球分别为A、B，

从这5个球中随机抽取2个，所有的基本事件有：ab、ac、aA、bB、、、、、、，共个，

其中，事件“所取出的2个球颜色相同”包含的基本事件有：ab、ac，bc，AB，共4个.

故所求概率为.

故选：C.

6、答案：C

解析：由题意作出图形，如图所示：

由图及题意，可得：

，

.

.

故选C．

7、答案：D

解析：因为三角形有两个解，所以，

所以，所以.

故选：D

8、答案：A

解析：如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作于点D，则，所以，

在中，，

由正弦定理得，

则，

因为，所以，

所以山顶的海拔高度大约为.

故选：A.

9、答案：B

解析：因为，所以，

因为B为锐角，所以，所以

根据正弦定理得，得，

所以

，

因为，所以，所以，

所以，所以，所以，

所以面积的取值范围为.

故选：B

10、答案：

解析：由题，因为，所以，

所以，

故答案为：

11、答案：

解析：.

故答案为：

12、答案：

解析：该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为：

，解得．

故答案为：

13、答案：6

解析：因为，

所以，

因为，

所以，则，

所以的周长为，

，

，

，

当，即时， 的周长取得最大值为6，

故答案为：6

14、答案：①2    ②

解析：因为在中，，

所以,

即.

因为点E在线段AD上移动（不含端点），所以设.

所以，对比可得,.

代入，得；

代入,可得，根据二次函数性质知当时，.

故答案为：2;

15、答案： (1)

(2)

(3)0

解析：（1）复数的实部为，虚部为，

在复平面内所对应的点的坐标为，

z对应复平面上的点在第三象限，

，解得

（2）z是纯虚数， ，

（3）z是实数， ，解得，

，则；

16、答案：(1)

(2)

(3)

解析：（1）因为，

所以，

所以，所以，

因为，所以

（2）因为，所以，

所以，

所以，解得.

（3）若向量与所成的夹角为锐角，

则且与不共线，

所以，

所以，得，

当与共线时，存在，使得，

则，

因为与不共线，所以，

所以且.

所以的取值范围为.

17、答案：(1)

(2)2

解析：（1）由正弦定理得：，又，则，

则，整理得，又，

故，即，，又，故；

（2），故，由余弦定理得，即，

则，，故

18、答案：(1) 1200人

(2)中位数为82.9,平均数为80.7

(3)

解析：（1）由频率分布直方图知

即，解得

设总共调查了n人，则，解得，

即调查的总人数为1200人；

（2）因为，

所以中位数位于区间，设中位数为x，则，

解得：，所以中位数为82.9，

所以估计本次考试成绩的中位数为82.9.

由频率分布直方图知各段频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，

所以，设平均数为，

则.

所以所以估计本次考试成绩的平均数为80.7.

（3）用分层抽样的方法应该从评分在抽出2人，记编号为1，2，从评分在抽出4人，记编号为3，4，5，6，.则样本空间为，，，，，，，，，，，，，，．

用A表示抽出的2人恰好来自于评分在，则．

所以选出的两人恰好都是评分在之间的概率为.

19、答案： (1) 3

(2)2

解析：（1）由题设，

，

所以，当时，的最大值为3.

（2）由，得：，则，

又，

所以，故，则，

由，可得，

因为，

则在中，由余弦定理得，

所以，

则.