精品解析：天津市西青区2021-2022年高一下学期期末数学试题

2021～2022学年度第二学期学校学习质量监测

高一数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分.

第Ⅰ卷（40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 四边形中，若，则（    ）

A. 四边形是矩形 B. 四边形是菱形

C. 四边形是正方形 D. 四边形是平行四边形

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；

【详解】解：，，

，且，四边形是平行四边形．

故选：D．

2. 在中，，，，则此三角形（    ）

A. 无解 B. 两解 C. 一解 D. 解的个数不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，即可做出判断．

【详解】∵在中，，，，

∴由正弦定理得：，

又∵，

∴此三角形有两解．

故选：B.

【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的情况，解题关键是能够熟练掌握正弦定理，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

4. 已知复数

①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；

②复数的虚部为；

③复数的共轭复数为；

④；

⑤复数是方程在复数范围内的一个根.

以上5个结论中正确的命题个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数除法运算求得，根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正误，根据复数的概念判断②的正误，根据复数的共轭复数可以判断③的正误，根据复数模的概念判断④的正误，利用方程在复数范围内求解判断⑤的正误.

【详解】因为，

所以在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；

复数的虚部为，所以②错误；

复数的共轭复数为，所以③错误；

，所以④正确；

方程在复数范围内的根为，

所以复数是方程在复数范围内的一个根，所以⑤正确；

所以正确的命题个数为3个，

故选：C.

5. 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课中，老师将这5个颜色的环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学作为模型进行制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（    ）

A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 两个不可能事件 D. 相互独立事件

【答案】B

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.

【详解】由互斥事件和对立事件的定义可知：

事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件，

故选：B

6. 平面与平面平行的充分条件可以是（    ）

A. 内有无穷多条直线都与平行；

B. 直线，直线，且；

C. 直线，且直线不在内，也不在内；

D. 内的任何一条直线都与平行.

【答案】D

【解析】

【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.

【详解】对于A，内有无穷多条直线都与平行，推不出平面与平面平行，平面与平面可以相交，A错误；

对于B，推不出平面与平面平行，平面与平面也可以相交，B错误；

对于C，推不出平面与平面平行，平面与平面也可以相交，C错误；

对于D，由面面平行的定义知能推出平面与平面平行，D正确.

故选：D

7. 从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样､不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率分别是（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】分别利用独立事件概率的乘法公式求解即可.

【详解】从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用有放回简单随机抽样抽到的两球都是白球的概率是；

从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用不放回简单随机抽样，抽到两球都是白球的概率是.

故选：A.

8. 2022年4月16号，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，为增强爱国主义教育、普及航天知识、传承中国航天精神，西青区某校特举行“致敬航天人，筑我中国梦”演讲比赛.在演讲比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，根据两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图

①小组A打分的分值的众数为47；

②小组B打分的分值第80百分位数为69；

③小组B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值

④小组A更像是由专业人士组成.

以上4个结论中正确的命题个数为（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】由众数的概念、百分位数及均值的求法以及离散程度依次判断4个命题即可.

【详解】由图可知，小组A打分分值的众数为47，①正确；

将小组B打分的分值从小到大排列为36，55，58，62，66，68，68，70，75，，则第80百分位数为70，②错误；

小组A打分的分值的均值为，小组B打分的分值的均值为，

小组B打分的分值的均值大于小组A打分的分值的均值，③错误；

小组A的分数相对更集中，更像是由专业人士组成，④正确；正确的命题个数为2个.

故选：C.

9. 已知在中，，分别是，上的点，，，若（，为实数），则的值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形法则结合已知条件化简即可求解．

【详解】解：因为，

所以

，

又（，为实数）

所以，

则，

故选：．

10. 今年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度 AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得A点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点、P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线）.则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（    ）（参考数据：，，）

A. 59 B. 60 C. 65 D. 68

【答案】A

【解析】

【分析】在中，求得PM，在中，利用正弦定理求得AM，然后在中，由 求解.

【详解】如图所示：

由题意得：，

在中，，

在中，由正弦定理得，

所以，

在中， ，

所以，

所以赛道造型最高点A距离地面的高度约59.

故选：A.

第Ⅱ卷（80分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.把答案写在答题纸相应的横线上.

11. 在正方体中，直线与所成的角为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】采用平移的方法即作平行线，找到直线与所成的角 ，然后构造三角形，解得答案.

【详解】在正方体中，连接，,则 ,

故与所成的角即为直线与直线所成角，

因为正方体中， ,

即为等边三角形，故，

所以直线与所成的角为.

故答案为：

12. 若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】向量在上的投影向量为.

故答案为：.

13. 在机动车驾驶证科目二考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.8，0.6，两人考试相互独立，则两人都通过的概率为__________.两人至少有一人通过的概率为__________.

【答案】    ①. 0.48    ②. 0.92

【解析】

【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．

（2）先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可

【详解】（1）因为两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件，所以同时发生的概率为.

（2）两人都未通过的概率为，故两人至少有一人通过的概率为

故答案为：0.48；0.92

14. 已知正的边长为，那么的直观图的面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由直观图先求出，再求出高，即可求得面积.

【详解】

如图是△ABC和直观图，易知：，，在图中作于，则，故.

故答案为：.

15. 已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若，且则角A的大小为__________；若，的面积是__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由可得等式，再根据正弦定理及余弦定理可得，再由余弦定理及三角形面积公式可求解.

【详解】由，有，化简得，即，从而可得；

当时，，

所以.

故答案为：；

16. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出总体的均值，再根据分层抽样的性质可求出总体的方差.

【详解】由题意，总体的均值为，

根据分层抽样的性质，则总体的方差为.

故答案为：0.76.

三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝，c＝2.

（1）求角B的大小；

（2）求sinC的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理结合角度范围求解即可；

（2）法一：根据正弦定理求解；

法二：根据余弦定理求解

【小问1详解】

由余弦定理得：，，

【小问2详解】

法一：，，由正弦定理得：

得：

法二：由余弦定理得，，

18. 已知向量满足，，.

（1）求；

（2）求与的夹角；

（3）求

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据数量积的运算律可直接构造方程求得结果；

（2）由向量夹角公式直接计算可得结果；

（3）由向量数量积运算律可求得，进而可得结果.

【小问1详解】

，.

【小问2详解】

，又，.

【小问3详解】

，.

19. 自年开始天津市实施高考综合改革，新高考规定：新高考不再分文理科，采用“”模式，语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个等级考试中选取个作为选考科目.年春季新冠病毒突袭津城，受疫情影响，天津市春季学期展开了线上和线下混合式教学模式的教学工作.在线上教学期间，为了了解高一学生选科意向，某校对学生所选科目进行检测，下面是名学生物理、化学、生物三科总分成绩，以为组距分成组：，，，，，，，画出频率分布直方图，如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计这名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）为了进一步了解选科情况，在物理、化学、生物三科总分成绩在和的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取名学生.

①求应从和的两组学生中分别抽取人数；

②从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；

③设事件“抽取的这两名学生来自不同组”，写出事件的样本点，并求出事件的概率.

【答案】（1）   

（2）   

（3）①成绩在的应抽取人，成绩在的应抽取人；②答案见解析；③样本点见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得；

（2）根据频率分布直方图估计平均数的方法可直接求得结果；

（3）①根据频率之比可得抽样比，进而确定抽样人数；②列举出所有可能的结果即可得到样本空间；③由样本空间可选出满足事件的样本点，根据古典概型概率公式可得结果.

【小问1详解】

，.

【小问2详解】

三科总成绩的平均数.

【小问3详解】

①三科总分成绩在和的两组的频率之比为；

成绩在的应抽取人；成绩在的应抽取人；

②三科总分成绩在的人记为；三科总分成绩在的人记为，

则样本空间，共个样本点；

③事件的样本点有，共个样本点，

.

20. 如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线与平面所成角正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）连接D1C交DC1于点O，先证明OE∥D1B，再由线面平行判定定理可证明；

（2）由题意可证明 DE⊥BC，CC1⊥DE，即可证明DE⊥平面B1BCC1，再由面面垂直的判定定理即可证明

（3）在平面B1BCC1内做CP⊥C1E,可证明CP⊥平面DEC1, 所以∠CC1P是直线CC1与平面DEC1所成角，求出，代入sin∠PC1C，即可得出答案.

【小问1详解】

因为：连接D1C交DC1于点O，则O为D1C中点,

点E为CD中点 ∴OE∥D1B.

∵OE在平面C1DE内，D1B⊄平面C1DE.

直线BD1∥平面C1DE.

【小问2详解】

∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2，E是BC的中点. ∴DE⊥BC,

∵CC1⊥平面ABCD 且DE在平面ABCD内,

∴CC1⊥DE,

∵CC1在平面B1BCC1内，CB在平面B1BCC1中且CC1∩BC＝C

∴DE⊥平面B1BCC1,

∵DE在平面DEC1内∴平面DEC1⊥B1BCC1

【小问3详解】

平面DEC1⊥B1BCC1且交线为C1E，CP⊆平面B1BCC1

在平面B1BCC1内做CP⊥C1E,

∴CP⊥平面DEC1,

∴∠CC1P是直线CC1与平面DEC1所成角，

在Rt△C1EC中，CC1＝AA1＝2，CE＝1

∴C1E＝，∴sin∠PC1C.