天津市西青区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

2022~2023学年度第二学期______学校学习质量检测

高一数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设，为两个平面，则的充要条件是

A 内有无数条直线与平行

B. 内有两条相交直线与平行

C. ，平行于同一条直线

D. ，垂直于同一平面

3. 已知△ABC是等边三角形，边长为2，则满足（    ）

A. 2 B. －2 C.  D.

4. 如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（    ）

A.  B.  C.  D. 6

5. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8，①这组数据的中位数是3；②这组数据的方差是；③这组数据的众数是8；④这组数据的第百分位数是.以上四个结论正确的个数为（    ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A＝“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C＝“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则（    ）

A. 事件A和事件C互斥 B. 事件B和事件C互为对立

C. 事件A和事件B相互独立 D. 事件A和事件C相互独立

9. 某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：

则以此估计总体的方差为（    ）

A. 3.56 B. 2 C. 0.2 D. 3.25

10. 第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛将于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区县区域地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为；基站A，B在河的北岸，测得，则A，B两个基站的距离为（    ）

A.  B.  C. 15km D.

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．

11. 若复数是纯虚数，则实数m=____.

12. 已知为一个单位向量，与夹角为45°，若在上的投影向量为，则______．

13. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为______．

14. 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为___________.

15. 2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为______，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为______．

16. 在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，若，与的夹角为，则以下四个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为______．

三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

（1）求角A的值；

（2）若，求的面积．

18. 已知向量，满足，．

（1）若，求向量的坐标；

（2）若，求与的夹角．

19. 今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期．五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期．西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄（单位：岁）在内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数（精确到整数）；

（3）在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄内的女居民中抽取4人，从年龄在的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人．

①求人数m的值；

②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；

③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率．

20. 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，M是SD的中点，，且交SC于点N.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求直线与平面所成角的余弦值.

2022~2023学年度第二学期______学校学习质量检测

高一数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】B

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】A

【10题答案】

【答案】D

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．

【11题答案】

【答案】2

【12题答案】

【答案】

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】    ①. ##0.375    ②.

【16题答案】

【答案】①②③

三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）或；   

（2）.

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）①；②；③

【20题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）