2023年河南省焦作市温县黄庄一中中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省焦作市温县黄庄一中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位“二万八千亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，把矩形纸片沿折叠，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列说法中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  关于的方程有两个不相等的实数根，则实数可取的最大整数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某班甲、乙、丙三位同学次数学成绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误的是(    )
 

A. 甲的数学成绩高于班级平均分
B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动
C. 丙的数学成绩逐次提高
D. 甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定

8.  如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，，点为边上一动点，过点作直线，交折线于点设，，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，正方形边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是          ．

12.  不等式组的解集为______ ．

13.  某校为了解九年级男生中考体育项目的训练情况，决定让每名九年级男生通过抽签的方式从掷实心球、足球、米跑、分钟跳绳四个项目中随机选择一项进行测试，则甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为______ ．

14.  在矩形中，，，分别以，为直径在矩形中作半圆，则图中的阴影部分面积为______ ．

15.  如图，在中，，，，正方形的边长为，将正方形绕点旋转一周，点为的中点，连接，则线段的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
年月第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行为了让全校学生了解冬奥知识，某校开展了形式多样的“冬奥知识知多少”活动八、九年级各名学生举行了一次奥运知识竞赛百分制，然后随机抽取了八，九年级各名学生的成绩进行了整理与分析，部分信息如下：
抽取九年级名学生的成绩如下：

抽取九年级名学生成绩的频数分布直方图如下
数据分成组：，，，，：
九年级抽取的名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：

请根据以上信息，回答下列问题：
补全频数分布直方图，表中的值为______ ；
若分及以上为优秀，估计此次知识竞赛中九年级成绩优秀的学生人数；
通过分析随机抽取的八年级名学生的成绩发现：这名学生成绩的中位数为，方差为，且八、九两个年级随机抽取的共名学生成绩的平均数是．
求八年级这名学生成绩的平均数；
你认为哪个年级的成绩较好，说明理由至少从两个不同的角度说明推断的合理性．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点，与轴交于点，点在第四象限，且，．
利用尺规作出点不写作法，保留作图痕迹；
若，求反比例函数与一次函数的解析式，并直接写出不等式的解．

19.  本小题分
灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河渭河上游上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥图，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图，点为桥拱梁顶部最高点，在地面上选取，两处分别测得和的度数在同一条直线上，河边处测得地面到水面的距离在同一条直线上，，，．
数据收集：实地测量地面上，两点的距离为，地面到水面的距离，，．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部到水面的距离结果保留一位小数．
参考数据：，，，，，．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

 

20.  本小题分
第届国际世界杯足球赛于年月日至月日在卡塔尔境内座球场举行某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖恤衫能畅销市场，就用元购进一批这种恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵元．
该店铺购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
如果两批恤衫按相同的标价销售，最后断码的件恤衫按五折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于除去元的快递费用，那么每件恤衫的标价至少是多少元？

21.  本小题分
如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，，连接，．
求证：；
若，的半径为，求线段的长．

22.  本小题分
如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．

在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为米，与地面的高度记为米，经多次测试后，得到如下数据：

在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
击球点的高度为______ 米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______ 米；
求出与的函数解析式；
判断排球能否过球网，并说明理由．

23.  本小题分
综合与实践
【问题背景】
如图，在矩形中，，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．

【问题解决】
填空：的长为______ ；
如图，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长．
【拓展探究】
如图，在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为时，直接写出平移的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
即．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：二万八千亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：该几何体的左视图如图所示：．
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图可得答案．
本题考查了简单几何组体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是四边形折叠而成，

，
，
，
，
，
故选：．
先根据平角的性质及折叠的性质可求出的度数，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是折叠的性质及平行线的性质；折叠的性质：图形折叠后与原图形完全重合；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
运用单项式乘以多项式、同底数幂相乘、合并同类项和完全平方公式进行逐一计算、辨别．
此题考查了单项式乘以多项式、同底数幂相乘、合并同类项和完全平方公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识正确地进行计算．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，解得，
可取的最大整数为，
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与，有如下关系：当，时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；
C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确
D.就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．
故选：．
折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题是折线统计图，关键是读懂本图，根据图中信息解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设的中点为，连接，如图所示：
以量角器的直径为斜边画直角三角形，
、、、四点共圆，
量角器上点对应的读数是，
，
，
故选：．
根据以量角器的直径为斜边画直角三角形，可知、、、四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，
当点在时，

直线，
，
，
∽，
，
即，
解得：；
当点在时，如图，

直线，
，
，
∽，
，
即，
解得：；
综上所述，关于的函数图象大致是：

故选：．
分两种情况：当点在时，当点在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，即，
第个正方形的边长，
第个正方形的边长，
第个正方形的边长，

第个正方形的边长为，
所以第个正方形的面积为，
故选：．
根据相邻两个正方形边长之间的关系以及各个正方形边长所呈现的规律进行计算即可．
本题考查图形的变化类，正方形的性质，掌握正方形的性质、正方形面积面积的计算以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
解得，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将掷实心球、足球、米跑、分钟跳绳分别用，，，的标签表示，根据题意列表如下：
 

由表中可以看出，抽取的两张卡片可能出现的结果共有种且它们出现的可能性相等，其中甲、乙两名男生抽到同一个项目有种结果，
所以甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为．
故答案为：．
列表得出所有等可能的情况数，再找出甲、乙两名男生抽到同一个项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：取中点，中点，两半圆交于、，连接、、、，连接交于，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积，的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积．
故答案为：．
取中点，中点，两半圆交于、，连接、、、，连接交于，可以证明四边形是菱形，推出是等边三角形，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，关键是证明四边形是菱形，得到是等边三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

四边形是边长为的正方形，点为的中点，
，
在中，由勾股定理得，
在正方形绕点旋转一周的过程中，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，
当点在线段上时，最小，此时点与点重合，当点在线段上时，最大，此时点与重合，
在中，，，，
，
，
，
故答案为：．
如图所示，连接，先根据正方形的性质和勾股定理求出，再根据题意可知点在以点为圆心，半径为的圆上运动，故当点在线段上时，最小，此时点与点重合，当点在线段上时，最大，此时点与重合，利用勾股定理求出，则，即可得到．
本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，正方形的性质，勾股定理，正确确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；



． 

【解析】根据立方根的定义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先算括号里面的，再算除法即可．
本题主要考查立方根定义、幂的运算法则、分式的运算等，熟练相关定义和法则是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据题意可知第二组的频数为，补全条形统计图如图所示，．

故答案为：；
人，
此次知识竞赛中九年级成绩优秀的学生为人；
平均数为；
选择八年级，理由如下：因为八年级的平均数较九年级高，且方差较九年级小，数据稳定，所以选择八年级．
用总数分别减去其它组的频数，可得频数，再补全频数分布直方图，然后确定第个数是，第个数是，可求出中位数；先求出样本中成绩优秀的百分率，再乘以总数即可；先用八，九年级的总分数减去九年级的总分数，再除以可得答案；
可以从平均数的大小，方差的大小分析即可．
本题主要考查了频数分布直方图的绘制，中位数、平均数和方差的应用，样本估计总体等，要学会收集分析数据，更要会用数据解释实际意义．
 

18.【答案】解“如图点为所求：


过点作轴于点，过点作轴于点，

，，，
，，
，
在 与中，
，
≌，
，，
，，
，
，
将点、代入一次函数中得：
，
解得：，
一次函数解析式为：，
将点代入反比例函数中得：，
解得，
反比例函数解析式为，
联立，
解得或，
得，
由图象可得时，或． 

【解析】先过作的垂线，再在垂线右下方上取即可；
先构造三垂直模型，结合点、坐标，求出点坐标，再代入函数解析式求解函数解析式，然后联立方程求解出交点，最后由不等式与函数思想结合图象得出不等式的解．
本题考查一次函数与反比例函数综合问题，结合等腰直角三角形三垂直模型，解题时需要逐步计算，再使用不等式与函数思想，数形结合得到不等式的解．
 

19.【答案】解：设，
由题意得：
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
灞陵桥拱梁顶部到水面的距离约为． 

【解析】设，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：设该店铺购进第一批恤衫每件的进价是元，则购进第二批恤衫每件的进价是元，依题意有，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：该店铺购进第一批恤衫每件的进价是元，购进第二批恤衫每件的进价是元；

件，
件，
设每件恤衫的标价是元，依题意有：
，
解得．
答：每件恤衫的标价至少是元． 

【解析】设该店铺购进第一批恤衫每件的进价是元，则购进第二批恤衫每件的进价是元，根据第二批这种恤衫所购数量是第一批购进量的倍，列出方程求解即可；
设每件恤衫的标价是元，根据利润率不低于除去元的快递费用，列出不等式，再进行求解即可．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，

，
是的切线，，
，
，
，
．
连接，

是的直径，
，
，
的半径为，，
，
，
在中，，
，
，
且，
，故的三边之比为，
． 

【解析】连接，得，再根据题意得，即可解答．
连接，根据题意得，再根据的半径为，，得到，再根据，得的三边之比为，即可解答．
本题考查了切线的判定定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：函数图象如图所示，

由抛物线可得，击球点的高度为米，排球飞行过程中可达到的最大高度为米，
故答案为：，；
设解析式为，
把代入，得，
所以，
所以解析式为；
排球能过球网，理由如下：
当时，，
排球能过球网．
将表格中的对应值分别描点即可画出函数的图象；
根据图象可得答案；
设抛物线的解析式为：，把代入可得关系式；
求出时的值，再与比较即可．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，
，
故答案为：．
由得：，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，，
连接，如图所示：

由平移的性质得：，，，
∽∽，
，
，
当在内的左侧时，连接，
如图所示：

由平移的性质得：，，，
∽∽，
，
，
，
，
当在射线上的右侧时，连接，如图

由平移的性质得：，，，
∽，∽，
，，
即，，
，，
即，
求解得，
，，
故答案为：或．
由矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求解即可；
由折叠的性质得，设，则，在中，由
求出，，连接，根据相似三角形的判定可得∽∽，即可求解；
分类讨论：当在内的左侧时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，根据平移的性质和等角对等边的性质可得，即可求得；当在射线上的右侧时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，，求解可得，即可求得．
本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．